Integral de Stratonovich

En procesos estocásticos , la integral de Stratonovich o integral de Fisk-Stratonovich (desarrollada simultáneamente por Ruslan Stratonovich y Donald Fisk) es una integral estocástica , la alternativa más común a la integral de Itô . Aunque la integral de Itô es la opción habitual en matemáticas aplicadas, la integral de Stratonovich se utiliza con frecuencia en física.

En algunas circunstancias, las integrales de la definición de Stratonovich son más fáciles de manipular. A diferencia del cálculo de Itô , las integrales de Stratonovich se definen de manera que se cumple la regla de la cadena del cálculo ordinario.

Quizás la situación más común en la que se encuentran es como solución a las ecuaciones diferenciales estocásticas (SDE) de Stratonovich. Estos son equivalentes a Itô SDE y es posible convertir entre los dos siempre que una definición sea más conveniente.

Definición

La integral de Stratonovich se puede definir de manera similar a la integral de Riemann , es decir, como un límite de las sumas de Riemann . Supongamos que es un proceso Wiener y es una semimartingala adaptada a la filtración natural del proceso Wiener. Entonces la integral de Stratonovich ${\displaystyle W:[0,T]\times \Omega \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X:[0,T]\times \Omega \to \mathbb {R} }$

${\displaystyle \int _{0}^{T}X_{t}\circ \mathrm {d} W_{t}}$

es una variable aleatoria definida como el límite en el cuadrado medio de ^[1] ${\displaystyle :\Omega \to \mathbb {R} }$

${\displaystyle \sum _{i=0}^{k-1}{X_{t_{i+1}}+X_{t_{i}} \over 2}\left(W_{t_{i+1}}-W_{t_{i}}\right)}$

ya que la malla de la partición de tiende a 0 (al estilo de una integral de Riemann-Stieltjes ). ${\displaystyle 0=t_{0}<t_{1}<\dots <t_{k}=T}$ ${\displaystyle [0,T]}$

Cálculo

Se pueden utilizar muchas técnicas de integración del cálculo ordinario para la integral de Stratonovich, por ejemplo: si es una función suave, entonces ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$

${\displaystyle \int _{0}^{T}f'(W_{t})\circ \mathrm {d} W_{t}=f(W_{T})-f(W_{0})}$

y de manera más general, si es una función suave, entonces ${\displaystyle f:\mathbb {R} \times \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$

${\displaystyle \int _{0}^{T}{\partial f \over \partial W}(W_{t},t)\circ \mathrm {d} W_{t}+\int _{0}^{T}{\partial f \over \partial t}(W_{t},t)\,\mathrm {d} t=f(W_{T},T)-f(W_{0},0).}$

Esta última regla es similar a la regla de la cadena del cálculo ordinario.

Métodos numéricos

Las integrales estocásticas rara vez se pueden resolver en forma analítica, lo que hace que la integración numérica estocástica sea un tema importante en todos los usos de las integrales estocásticas. Varias aproximaciones numéricas convergen a la integral de Stratonovich, y se utilizan variaciones de ellas para resolver las EDE de Stratonovich (Kloeden y Platen 1992). Sin embargo, tenga en cuenta que el esquema de Euler más utilizado (el método de Euler-Maruyama ) para la solución numérica de ecuaciones de Langevin requiere que la ecuación esté en forma Itô. ^[2]

Notación diferencial

Si , y son procesos estocásticos tales que ${\displaystyle X_{t},Y_{t}}$ ${\displaystyle Z_{t}}$

${\displaystyle X_{T}-X_{0}=\int _{0}^{T}Y_{t}\circ \mathrm {d} W_{t}+\int _{0}^{T}Z_{t}\,\mathrm {d} t}$

para todos , también escribimos ${\displaystyle T>0}$

${\displaystyle \mathrm {d} X=Y\circ \mathrm {d} W+Z\,\mathrm {d} t.}$

Esta notación se utiliza a menudo para formular ecuaciones diferenciales estocásticas (SDE), que en realidad son ecuaciones sobre integrales estocásticas. Es compatible con la notación del cálculo ordinario, por ejemplo

${\displaystyle \mathrm {d} (t^{2}\,W^{3})=3t^{2}W^{2}\circ \mathrm {d} W+2tW^{3}\,\mathrm {d} t.}$

Comparación con la integral de Itô

La integral de Itô del proceso con respecto al proceso de Wiener se denota por ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle W}$

$${\displaystyle \int _{0}^{T}X_{t}\,\mathrm {d} W_{t}}$$

${\displaystyle X}$

${\displaystyle X_{t_{i}}}$en lugar de ${\displaystyle (X_{t_{i+1}}+X_{t_{i}})/2}$

Esta integral no obedece la regla de la cadena ordinaria como lo hace la integral de Stratonovich; en su lugar, hay que utilizar el lema de Itô, un poco más complicado .

La conversión entre las integrales de Itô y Stratonovich se puede realizar utilizando la fórmula

${\displaystyle \int _{0}^{T}f(W_{t},t)\circ \mathrm {d} W_{t}={\frac {1}{2}}\int _{0}^{T}{\partial f \over \partial W}(W_{t},t)\,\mathrm {d} t+\int _{0}^{T}f(W_{t},t)\,\mathrm {d} W_{t},}$

donde es cualquier función continuamente diferenciable de dos variables y la última integral es una integral de Itô (Kloeden y Platen 1992, p. 101). ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle t}$

Las ecuaciones de Langevin ejemplifican la importancia de especificar la interpretación (Stratonovich o Itô) en un problema determinado. Supongamos que es una difusión de Itô homogénea en el tiempo con un coeficiente de difusión continuamente diferenciable , es decir, que satisface la SDE . Para obtener la versión correspondiente de Stratonovich, el término (en la interpretación de Itô) debe traducirse como (en la interpretación de Stratonovich) como ${\displaystyle X_{t}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \mathrm {d} X_{t}=\mu (X_{t})\,\mathrm {d} t+\sigma (X_{t})\,\mathrm {d} W_{t}}$ ${\displaystyle \sigma (X_{t})\,\mathrm {d} W_{t}}$ ${\displaystyle \sigma (X_{t})\circ \mathrm {d} W_{t}}$

${\displaystyle \int _{0}^{T}\sigma (X_{t})\circ \mathrm {d} W_{t}={\frac {1}{2}}\int _{0}^{T}{\frac {d\sigma }{dx}}(X_{t})\sigma (X_{t})\,\mathrm {d} t+\int _{0}^{T}\sigma (X_{t})\,\mathrm {d} W_{t}.}$

Obviamente, si es independiente de , las dos interpretaciones conducirán a la misma forma para la ecuación de Langevin. En ese caso, el término de ruido se denomina "aditivo" (ya que el término de ruido se multiplica sólo por un coeficiente fijo). De lo contrario, si , la ecuación de Langevin en forma de Itô puede diferir en general de la de Stratonovich, en cuyo caso el término de ruido se llama multiplicativo (es decir, el ruido se multiplica por una función de que es ). ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle X_{t}}$ ${\displaystyle dW_{t}}$ ${\displaystyle \sigma =\sigma (X_{t})}$ ${\displaystyle dW_{t}}$ ${\displaystyle X_{t}}$ ${\displaystyle \sigma (X_{t})}$

De manera más general, para dos semimartingalas cualesquiera y ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

${\displaystyle \int _{0}^{T}X_{s-}\circ \mathrm {d} Y_{s}=\int _{0}^{T}X_{s-}\,\mathrm {d} Y_{s}+{\frac {1}{2}}[X,Y]_{T}^{c},}$

donde es la parte continua de la covariación . ${\displaystyle [X,Y]_{T}^{c}}$

Integrales de Stratonovich en aplicaciones.

La integral de Stratonovich carece de la importante propiedad de la integral de Itô, que no "mira hacia el futuro". En muchas aplicaciones del mundo real, como la modelización de los precios de las acciones, sólo se dispone de información sobre acontecimientos pasados ​​y, por tanto, la interpretación de Itô es más natural. En matemáticas financieras se suele utilizar la interpretación de Itô.

En física, sin embargo, las integrales estocásticas aparecen como soluciones de las ecuaciones de Langevin . Una ecuación de Langevin es una versión burda de un modelo más microscópico; Dependiendo del problema considerado, son apropiadas la interpretación de Stratonovich o Itô o incluso interpretaciones más exóticas como la interpretación isotérmica. La interpretación de Stratonovich es la interpretación más utilizada dentro de las ciencias físicas.

El teorema de Wong-Zakai establece que los sistemas físicos con espectro de ruido no blanco caracterizado por un tiempo de correlación de ruido finito pueden aproximarse mediante ecuaciones de Langevin con ruido blanco en la interpretación de Stratonovich en el límite donde tiende a cero. ^{[ cita necesaria ]} ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau }$

Debido a que el cálculo de Stratonovich satisface la regla de la cadena ordinaria, las ecuaciones diferenciales estocásticas (EDE) en el sentido de Stratonovich son más sencillas de definir en variedades diferenciables , en lugar de solo en . La complicada regla de la cadena del cálculo de Itô lo convierte en una elección más incómoda para las variedades. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Interpretación de Stratonovich y teoría supersimétrica de las SDE.

En la teoría supersimétrica de las SDE, se considera el operador de evolución obtenido promediando el retroceso inducido en el álgebra exterior del espacio de fase por el flujo estocástico determinado por una SDE. En este contexto, resulta natural utilizar la interpretación de Stratonovich de las EDE.

Notas

1. Gardiner (2004), pág. 98 y el comentario de la p. 101
2. Pérez-Carrasco R.; Sancho JM (2010). "Algoritmos estocásticos para ruido blanco multiplicativo discontinuo" (PDF) . Física. Rev. E. 81 (3): 032104. Código bibliográfico : 2010PhRvE..81c2104P. doi : 10.1103/PhysRevE.81.032104. PMID  20365796.

Referencias

• Øksendal, Bernt K. (2003). Ecuaciones diferenciales estocásticas: una introducción con aplicaciones . Springer, Berlín. ISBN 3-540-04758-1.
• Gardiner, Crispin W. (2004). Manual de métodos estocásticos (3 ed.). Springer, Berlín Heidelberg. ISBN 3-540-20882-8.
• Jarrow, Robert; Protter, Philip (2004). "Una breve historia de la integración estocástica y las finanzas matemáticas: los primeros años, 1880-1970". Monografía de notas de conferencias de IMS . 45 : 1–17. CiteSeerX  10.1.1.114.632 .
• Kloeden, Peter E.; Platina, Eckhard (1992). Solución numérica de ecuaciones diferenciales estocásticas . Aplicaciones de las Matemáticas. Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-54062-5..