Proceso detenido

Proceso estocástico

En matemáticas , un proceso detenido es un proceso estocástico que se ve obligado a asumir el mismo valor después de un tiempo prescrito (posiblemente aleatorio).

Definición

Dejar

• ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$sea ​​un espacio de probabilidad ;
• ${\displaystyle (\mathbb {X} ,{\mathcal {A}})}$ser un espacio medible ;
• ${\displaystyle X:[0,+\infty )\times \Omega \to \mathbb {X} }$ser un proceso estocástico;
• ${\displaystyle \tau :\Omega \to [0,+\infty ]}$sea ​​un tiempo de parada con respecto a alguna filtración de . ${\displaystyle \{{\mathcal {F}}_{t}|t\geq 0\}}$ ${\displaystyle {}{\mathcal {F}}}$

Entonces el proceso detenido se define para y por ${\displaystyle X^{\tau }}$ ${\displaystyle t\geq 0}$ ${\displaystyle \omega \in \Omega }$

${\displaystyle X_{t}^{\tau }(\omega ):=X_{\min\{t,\tau (\omega )\}}(\omega ).}$

Ejemplos

Juego

Consideremos a un jugador que juega a la ruleta . X _t denota las posesiones totales del jugador en el casino en el momento t ≥ 0, que pueden ser negativas o no, dependiendo de si el casino ofrece crédito o no. Sea Y _t lo que serían las posesiones del jugador si pudiera obtener crédito ilimitado (de modo que Y puede alcanzar valores negativos).

• Detención en un momento determinista: supongamos que el casino está dispuesto a prestarle al jugador un crédito ilimitado, y que el jugador decide abandonar el juego en un momento predeterminado T , independientemente del estado del juego. Entonces X es realmente el proceso detenido Y ^T , ya que la cuenta del jugador permanece en el mismo estado después de abandonar el juego que en el momento en que el jugador abandonó el juego.
• Detenerse en un momento aleatorio: supongamos que el jugador no tiene otras fuentes de ingresos y que el casino no le concederá crédito a sus clientes. El jugador decide jugar hasta que se arruine. Entonces, el momento aleatorio

${\displaystyle \tau (\omega ):=\inf\{t\geq 0|Y_{t}(\omega )=0\}}$

es un tiempo de detención para Y , y, dado que el jugador no puede seguir jugando después de haber agotado sus recursos, X es el proceso detenido Y ^τ .

Movimiento browniano

Sea un movimiento browniano estándar unidimensional que comienza en cero. ${\displaystyle B:[0,+\infty )\times \Omega \to \mathbb {R} }$

• Detención en un tiempo determinista : si , entonces el movimiento browniano detenido evolucionará como de costumbre hasta el tiempo , y a partir de entonces permanecerá constante: es decir, para todo . ${\displaystyle T>0}$ ${\displaystyle \tau (\omega )\equiv T}$ ${\displaystyle B^{\tau }}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle B_{t}^{\tau }(\omega )\equiv B_{T}(\omega )}$ ${\displaystyle t\geq T}$
• Detención en un tiempo aleatorio: define un tiempo de detención aleatorio según el primer tiempo de impacto en la región : ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} |x\geq a\}}$

${\displaystyle \tau (\omega ):=\inf\{t>0|B_{t}(\omega )\geq a\}.}$

Entonces, el movimiento browniano detenido evolucionará como de costumbre hasta el tiempo aleatorio y, a partir de entonces, será constante con valor : es decir, para todo . ${\displaystyle B^{\tau }}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle B_{t}^{\tau }(\omega )\equiv a}$ ${\displaystyle t\geq \tau (\omega )}$

Véase también

• Proceso asesinado

Referencias

• Robert G. Gallager. Procesos estocásticos: teoría para aplicaciones. Cambridge University Press, 12 de diciembre de 2013, pág. 450