Topología de Émery

Topología en el espacio de semimartingalas

En la teoría de la martingala , la topología de Émery es una topología en el espacio de semimartingalas . La topología se utiliza en matemáticas financieras . La clase de integrales estocásticas con integrandos generales predecibles coincide con el cierre del conjunto de todas las integrales simples. ^[1]

La topología fue introducida en 1979 por el matemático francés Michel Émery. ^[2]

Definición

Sea un espacio de probabilidad filtrado , donde la filtración satisface las condiciones usuales y . Sea el espacio de semimartingalas reales y el espacio de procesos predecibles simples con . ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\{{\mathcal {F_{t}}}\},P)}$ ${\displaystyle T\in (0,\infty )}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}(P)}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}(1)}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle |H|=1}$

Nosotros definimos

${\displaystyle \|X\|_{{\mathcal {S}}(P)}:=\sup \limits _{H\in {\mathcal {E}}(1)}\mathbb {E} \left[1\wedge \left(\sup \limits _{t\in [0,T]}|(H\cdot X)_{t}|\right)\right].}$

Entonces con la métrica se tiene un espacio métrico completo y la topología inducida se llama topología de Émery . ^{[3] [1]} ${\displaystyle ({\mathcal {S}}(P),d)}$ ${\displaystyle d(X,Y):=\|X-Y\|_{{\mathcal {S}}(P)}}$

Referencias

1. Kardaras, Constantinos (2013). "Sobre el cierre en la topología de Emery de conjuntos de procesos de riqueza de semimartingala". Anales de probabilidad aplicada . 23 (4): 1355–1376. arXiv : 1108.0945 . doi : 10.1214/12-AAP872 .
2. Emery, Michel (1979). "Une topologie sur l'espace des semimartingales". Séminario de probabilidades de Estrasburgo . 13 : 260–280.
3. De Donno, M.; Pratelli, M. (2005). "Una teoría de la integración estocástica para los mercados de bonos". Anales de probabilidad aplicada . 15 (4): 2773–2791. arXiv : math/0602532 . doi :10.1214/105051605000000548.