El cálculo estocástico es una rama de las matemáticas que opera sobre procesos estocásticos . Permite definir una teoría consistente de integración para integrales de procesos estocásticos con respecto a procesos estocásticos. Este campo fue creado e iniciado por el matemático japonés Kiyosi Itô durante la Segunda Guerra Mundial .
El proceso estocástico más conocido al que se aplica el cálculo estocástico es el proceso de Wiener (llamado así en honor a Norbert Wiener ), que se utiliza para modelar el movimiento browniano descrito por Louis Bachelier en 1900 y Albert Einstein en 1905 y otros procesos de difusión física. en el espacio de partículas sujetas a fuerzas aleatorias. Desde la década de 1970, el proceso de Wiener se ha aplicado ampliamente en matemáticas y economía financieras para modelar la evolución en el tiempo de los precios de las acciones y las tasas de interés de los bonos.
Las principales variantes del cálculo estocástico son el cálculo de Itô y su pariente variacional, el cálculo de Malliavin . Por razones técnicas, la integral de Itô es la más útil para clases generales de procesos, pero la integral de Stratonovich relacionada suele ser útil en la formulación de problemas (particularmente en disciplinas de ingeniería). La integral de Stratonovich se puede expresar fácilmente en términos de la integral de Itô y viceversa. El principal beneficio de la integral de Stratonovich es que obedece la regla de la cadena habitual y por tanto no requiere el lema de Itô . Esto permite expresar los problemas en una forma invariante del sistema de coordenadas, lo cual es invaluable cuando se desarrolla cálculo estocástico en variedades distintas de R n . El teorema de la convergencia dominada no se cumple para la integral de Stratonovich; en consecuencia, es muy difícil probar resultados sin reexpresar las integrales en forma Itô.
La integral de Itô es fundamental para el estudio del cálculo estocástico. La integral se define para una semimartingala X y un proceso predecible localmente acotado H. [ cita necesaria ]
La integral de Stratonovich o integral de Fisk-Stratonovich de una semimartingala contra otra semimartingala Y se puede definir en términos de la integral de Itô como
donde [ X , Y ] t c denota la covariación cuadrática de las partes continuas de X e Y . La notación alternativa
también se utiliza para denotar la integral de Stratonovich.
Una aplicación importante del cálculo estocástico es en las finanzas matemáticas , en las que a menudo se supone que los precios de los activos siguen ecuaciones diferenciales estocásticas . Por ejemplo, el modelo de Black-Scholes valora las opciones como si siguieran un movimiento browniano geométrico , lo que ilustra las oportunidades y riesgos de aplicar el cálculo estocástico.
Además de las integrales clásicas de Itô y Fisk-Stratonovich, existen muchas nociones diferentes de integrales estocásticas, como la integral de Hitsuda-Skorokhod , la integral de Marcus, la integral de Ogawa y más.
![{\displaystyle \int _{0}^{t}X_{s-}\circ dY_{s}:=\int _{0}^{t}X_{s-}dY_{s}+{\frac { 1}{2}}\left[X,Y\right]_{t}^{c},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d114cfa898ce74dfe2012e84aa6f63bab93c7db)
