variación cuadrática

Cantidad definida para un proceso estocástico

En matemáticas , la variación cuadrática se utiliza en el análisis de procesos estocásticos como el movimiento browniano y otras martingalas . La variación cuadrática es sólo un tipo de variación de un proceso.

Definición

Supongamos que se trata de un proceso estocástico de valor real definido en un espacio de probabilidad y con un índice de tiempo que abarca los números reales no negativos. Su variación cuadrática es el proceso, escrito como , definido como ${\displaystyle X_{t}}$ ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle [X]_{t}}$

${\displaystyle [X]_{t}=\lim _{\Vert P\Vert \rightarrow 0}\sum _{k=1}^{n}(X_{t_{k}}-X_{t_{k-1}})^{2}}$

donde abarca las particiones del intervalo y la norma de la partición es la malla . Este límite, si existe, se define mediante la convergencia en probabilidad . Tenga en cuenta que un proceso puede ser de variación cuadrática finita en el sentido de la definición dada aquí y sus caminos pueden ser, no obstante, casi con seguridad de variación 1 infinita para cada en el sentido clásico de tomar el supremo de la suma sobre todas las particiones; este es en particular el caso del movimiento browniano . ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle [0,t]}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle t>0}$

De manera más general, la covariación (o varianza cruzada ) de dos procesos y es ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

${\displaystyle [X,Y]_{t}=\lim _{\Vert P\Vert \to 0}\sum _{k=1}^{n}\left(X_{t_{k}}-X_{t_{k-1}}\right)\left(Y_{t_{k}}-Y_{t_{k-1}}\right).}$

La covariación se puede escribir en términos de variación cuadrática por la identidad de polarización :

${\displaystyle [X,Y]_{t}={\tfrac {1}{2}}([X+Y]_{t}-[X]_{t}-[Y]_{t}).}$

Notación: la variación cuadrática también se anota como o . ${\displaystyle \langle X\rangle _{t}}$ ${\displaystyle \langle X,X\rangle _{t}}$

Procesos de variación finita

Se dice que un proceso tiene variación finita si tiene variación acotada en cada intervalo de tiempo finito (con probabilidad 1). Estos procesos son muy comunes e incluyen, en particular, todas las funciones continuamente diferenciables. La variación cuadrática existe para todos los procesos de variación finita continua y es cero. ${\displaystyle X}$

Esta afirmación se puede generalizar a procesos no continuos. Cualquier proceso de variación finita de càdlàg tiene variación cuadrática igual a la suma de los cuadrados de los saltos de . Para expresar esto con mayor precisión, el límite izquierdo de con respecto a se denota por y el salto de en el tiempo se puede escribir como . Entonces, la variación cuadrática viene dada por ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{t}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle X_{t-}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \Delta X_{t}=X_{t}-X_{t-}}$

${\displaystyle [X]_{t}=\sum _{0<s\leq t}(\Delta X_{s})^{2}.}$

La prueba de que los procesos continuos de variación finita tienen variación cuadrática cero se deriva de la siguiente desigualdad. Aquí, es una partición del intervalo y es la variación de más . ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle [0,t]}$ ${\displaystyle V_{t}(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle [0,t]}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=1}^{n}(X_{t_{k}}-X_{t_{k-1}})^{2}&\leq \max _{k\leq n}|X_{t_{k}}-X_{t_{k-1}}|\sum _{k=1}^{n}|X_{t_{k}}-X_{t_{k-1}}|\\&\leq \max _{|u-v|\leq \Vert P\Vert }|X_{u}-X_{v}|V_{t}(X).\end{aligned}}}$

Por la continuidad de , esto desaparece en el límite cuando llega a cero. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Vert P\Vert }$

procesos itô

La variación cuadrática de un movimiento browniano estándar existe y está dada por , sin embargo, el límite en la definición se entiende en el sentido y no en la trayectoria. Esto se generaliza a los procesos de Itô que, por definición, pueden expresarse en términos de integrales de Itô. ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle [B]_{t}=t}$ ${\displaystyle L^{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}X_{t}&=X_{0}+\int _{0}^{t}\sigma _{s}\,dB_{s}+\int _{0}^{t}\mu _{s}\,d[B]_{s}\\&=X_{0}+\int _{0}^{t}\sigma _{s}\,dB_{s}+\int _{0}^{t}\mu _{s}\,ds,\end{aligned}}}$

donde hay un movimiento browniano. Cualquier proceso de este tipo tiene una variación cuadrática dada por ${\displaystyle B}$

${\displaystyle [X]_{t}=\int _{0}^{t}\sigma _{s}^{2}\,ds.}$

semimartingalas

Se puede demostrar que existen variaciones cuadráticas y covariaciones de todas las semimartingalas . Forman una parte importante de la teoría del cálculo estocástico, apareciendo en el lema de Itô , que es la generalización de la regla de la cadena a la integral de Itô. La covariación cuadrática también aparece en la fórmula de integración por partes

${\displaystyle X_{t}Y_{t}=X_{0}Y_{0}+\int _{0}^{t}X_{s-}\,dY_{s}+\int _{0}^{t}Y_{s-}\,dX_{s}+[X,Y]_{t},}$

que se puede utilizar para calcular . ${\displaystyle [X,Y]}$

Alternativamente, esto se puede escribir como una ecuación diferencial estocástica :

${\displaystyle \,d(X_{t}Y_{t})=X_{t-}\,dY_{t}+Y_{t-}\,dX_{t}+\,dX_{t}\,dY_{t},}$

dónde ${\displaystyle \,dX_{t}\,dY_{t}=\,d[X,Y]_{t}.}$

martingalas

Todas las martingalas càdlàg y las martingalas locales tienen una variación cuadrática bien definida, lo que se deriva del hecho de que tales procesos son ejemplos de semimartingalas. Se puede demostrar que la variación cuadrática de una martingala general integrable localmente cuadrada es el único proceso continuo por la derecha y creciente que comienza en cero, con saltos y cosas así, que es una martingala local. En Karandikar-Rao (2014) se ofrece una prueba de la existencia de (sin utilizar cálculo estocástico). ${\displaystyle [M]}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \Delta [M]=\Delta M^{2}}$ ${\displaystyle M^{2}-[M]}$ ${\displaystyle M}$

Un resultado útil para las martingalas cuadradas integrables es la isometría de Itô , que se puede utilizar para calcular la varianza de las integrales de Itô.

${\displaystyle \operatorname {E} \left(\left(\int _{0}^{t}H\,dM\right)^{2}\right)=\operatorname {E} \left(\int _{0}^{t}H^{2}\,d[M]\right).}$

Este resultado es válido siempre que sea una martingala integrable cuadrada de càdlàg y sea un proceso predecible acotado , y se utiliza a menudo en la construcción de la integral de Itô. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle H}$

Otro resultado importante es la desigualdad Burkholder-Davis-Gundy . Esto da límites para el máximo de una martingala en términos de variación cuadrática. Para una martingala local que comienza en cero, con el máximo denotado por y cualquier número real , la desigualdad es ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M_{t}*=\operatorname {sup} _{s\in [0,t]}|M_{s}|}$ ${\displaystyle p\geq 1}$

${\displaystyle c_{p}\operatorname {E} ([M]_{t}^{p/2})\leq \operatorname {E} ((M_{t}^{*})^{p})\leq C_{p}\operatorname {E} ([M]_{t}^{p/2}).}$

Aquí, son constantes que dependen de la elección de , pero no de la martingala o del tiempo utilizado. Si es una martingala local continua, entonces la desigualdad de Burkholder-Davis-Gundy es válida para cualquier . ${\displaystyle c_{p}<C_{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle p>0}$

Un proceso alternativo, la variación cuadrática predecible, se utiliza a veces para martingalas integrables localmente cuadradas. Esto se escribe como y se define como el único proceso predecible, continuo por la derecha y creciente que comienza en cero, de modo que es una martingala local. Su existencia se deriva del teorema de descomposición de Doob-Meyer y, para martingalas locales continuas, es lo mismo que la variación cuadrática. ${\displaystyle \langle M_{t}\rangle }$ ${\displaystyle M^{2}-\langle M\rangle }$

Ver también

• Variación total
• variación acotada
• p -variación

Referencias

• Protter, Philip E. (2004), Integración estocástica y ecuaciones diferenciales (2ª ed.), Springer, ISBN 978-3-540-00313-7
• Karandikar, Rajeeva L.; Rao, BV (2014). "Sobre la variación cuadrática de las martingalas". Actas - Ciencias Matemáticas . 124 (3): 457–469. doi :10.1007/s12044-014-0179-2. S2CID  120031445.