Teorema de convergencia dominada

Teorema en la teoría de la medida

En la teoría de la medida , el teorema de convergencia dominada de Lebesgue proporciona condiciones suficientes bajo las cuales casi en todas partes la convergencia de una secuencia de funciones implica convergencia en la norma L ¹ . Su poder y utilidad son dos de las principales ventajas teóricas de la integración de Lebesgue sobre la integración de Riemann .

Además de su aparición frecuente en análisis matemático y ecuaciones diferenciales parciales, es ampliamente utilizado en teoría de la probabilidad , ya que da una condición suficiente para la convergencia de los valores esperados de variables aleatorias .

Declaración

Teorema de convergencia dominada de Lebesgue. ^[1] Sea una secuencia de funciones medibles de valores complejos en un espacio de medidas . Supongamos que la secuencia converge puntualmente a una función y está dominada por alguna función integrable en el sentido de que ${\displaystyle (f_{n})}$ ${\displaystyle (S,\Sigma ,\mu )}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$

${\displaystyle |f_{n}(x)|\leq g(x)}$

para todos los números n en el conjunto de índices de la secuencia y todos los puntos . Entonces f es integrable (en el sentido de Lebesgue ) y ${\displaystyle x\in S}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{S}|f_{n}-f|\,d\mu =0}$

lo que también implica

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{S}f_{n}\,d\mu =\int _{S}f\,d\mu }$

Observación 1. La afirmación " g es integrable" significa que la función medible es integrable de Lebesgue; es decir ${\displaystyle g}$

${\displaystyle \int _{S}|g|\,d\mu <\infty .}$

Observación 2. La convergencia de la secuencia y la dominación por se puede relajar para mantener solo μ- en casi todas partes siempre que el espacio de medida ( S , Σ, μ) sea completo o se elija como una función medible que concuerde μ-casi en todas partes con μ -Existe un límite puntual en casi todas partes. (Estas precauciones son necesarias porque, de lo contrario, podría existir un subconjunto no medible de un conjunto μ-nulo N ∈ Σ y, por lo tanto, podría no ser medible). ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

Observación 3. Si , la condición de que exista una función integrable dominante se puede relajar a la integrabilidad uniforme de la secuencia ( f _n ), ver el teorema de convergencia de Vitali . ${\displaystyle \mu (S)<\infty }$ ${\displaystyle g}$

Observación 4. Si bien Lebesgue es integrable, en general no es integrable de Riemann . Por ejemplo, ordene los racionales en y defina on para que tome el valor 1 en los primeros n racionales y 0 en caso contrario. Entonces está la función de Dirichlet en , que no es integrable de Riemann pero sí de Lebesgue. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle f_{n}}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [0,1]}$

Prueba

Sin pérdida de generalidad , se puede suponer que f es real, porque se puede dividir f en sus partes real e imaginaria (recuerde que una secuencia de números complejos converge si y sólo si sus contrapartes reales e imaginarias convergen) y aplicar la desigualdad triangular al final.

El teorema de convergencia dominada de Lebesgue es un caso especial del teorema de Fatou-Lebesgue . A continuación, sin embargo, se muestra una prueba directa que utiliza el lema de Fatou como herramienta esencial.

Dado que f es el límite puntual de la secuencia ( f _n ) de funciones medibles que están dominadas por g , también es medible y dominada por g , por lo tanto es integrable. Además (estos serán necesarios más adelante),

${\displaystyle |f-f_{n}|\leq |f|+|f_{n}|\leq 2g}$

para todo n y

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }|f-f_{n}|=0.}$

La segunda de ellas es trivialmente cierta (según la definición misma de f ). Usando la linealidad y la monotonicidad de la integral de Lebesgue ,

${\displaystyle \left|\int _{S}{f\,d\mu }-\int _{S}{f_{n}\,d\mu }\right|=\left|\int _{S}{(f-f_{n})\,d\mu }\right|\leq \int _{S}{|f-f_{n}|\,d\mu }.}$

Por el lema de Fatou inverso (es aquí donde usamos el hecho de que | f − f _n | está acotado arriba por una función integrable)

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }\int _{S}|f-f_{n}|\,d\mu \leq \int _{S}\limsup _{n\to \infty }|f-f_{n}|\,d\mu =0,}$

lo que implica que el límite existe y se desvanece, es decir

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{S}|f-f_{n}|\,d\mu =0.}$

Finalmente, desde

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left|\int _{S}fd\mu -\int _{S}f_{n}d\mu \right|\leq \lim _{n\to \infty }\int _{S}|f-f_{n}|\,d\mu =0.}$

tenemos eso

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{S}f_{n}\,d\mu =\int _{S}f\,d\mu .}$

El teorema sigue ahora.

Si los supuestos se cumplen sólo μ-casi en todas partes, entonces existe un conjunto μ-nulo N ∈ Σ tal que las funciones f _n 1 _{S  \  N} satisfacen los supuestos en todas partes  de S. Entonces la función f ( x ) definida como el límite puntual de f _n ( x ) para x ∈ S  \  N y por f ( x ) = 0 para x ∈ N , es medible y es el límite puntual de esta secuencia de funciones modificada. Los valores de estas integrales no se ven influenciados por estos cambios en los integrandos en este conjunto nulo μ  N , por lo que el teorema continúa siendo válido.

DCT se cumple incluso si f _n converge a f en medida (medida finita) y la función dominante no es negativa en casi todas partes.

Discusión de los supuestos.

No se puede prescindir del supuesto de que la secuencia está dominada por algún g integrable. Esto puede verse de la siguiente manera: defina f _n ( x ) = n para x en el intervalo (0, 1/ n ] y f _n ( x ) = 0 en caso contrario. Cualquier g que domine la secuencia también debe dominar el supremo puntual h = sup _norte f _norte .

${\displaystyle \int _{0}^{1}h(x)\,dx\geq \int _{\frac {1}{m}}^{1}{h(x)\,dx}=\sum _{n=1}^{m-1}\int _{\left({\frac {1}{n+1}},{\frac {1}{n}}\right]}{h(x)\,dx}\geq \sum _{n=1}^{m-1}\int _{\left({\frac {1}{n+1}},{\frac {1}{n}}\right]}{n\,dx}=\sum _{n=1}^{m-1}{\frac {1}{n+1}}\to \infty \qquad {\text{as }}m\to \infty }$

por la divergencia de la serie armónica . Por tanto, la monotonicidad de la integral de Lebesgue nos dice que no existe ninguna función integrable que domine la secuencia en [0,1]. Un cálculo directo muestra que la integración y el límite puntual no se conmutan para esta secuencia:

${\displaystyle \int _{0}^{1}\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)\,dx=0\neq 1=\lim _{n\to \infty }\int _{0}^{1}f_{n}(x)\,dx,}$

porque el límite puntual de la secuencia es la función cero . Tenga en cuenta que la secuencia ( f _n ) ni siquiera es uniformemente integrable , por lo que tampoco es aplicable el teorema de convergencia de Vitali .

Teorema de convergencia acotada

Un corolario del teorema de convergencia dominada es el teorema de convergencia acotada , que establece que si ( f _n ) es una secuencia de funciones medibles de valores complejos acotadas uniformemente que converge puntualmente en un espacio de medidas acotado ( S , Σ, μ) (es decir, uno en la que μ( S ) es finita) a una función f , entonces el límite f es una función integrable y

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{S}{f_{n}\,d\mu }=\int _{S}{f\,d\mu }.}$

Observación: La convergencia puntual y la acotación uniforme de la secuencia se pueden relajar para mantener solo μ- en casi todas partes , siempre que el espacio de medida ( S , Σ, μ) sea completo o se elija f como una función medible que concuerde μ-casi en todas partes con el μ- existe casi en todas partes el límite puntual.

Prueba

Como la secuencia está uniformemente acotada, existe un número real M tal que | f _norte ( x )| ≤ M para todo x ∈ S y para todo n . Definir g ( x ) = M para todo x ∈ S . Entonces la secuencia está dominada por g . Además, g es integrable ya que es una función constante en un conjunto de medida finita. Por tanto, el resultado se deriva del teorema de convergencia dominada.

Si los supuestos se cumplen sólo μ-casi en todas partes, entonces existe un conjunto μ-nulo N ∈ Σ tal que las funciones f _n 1 _{S \ N} satisfacen los supuestos en todas partes  de S.

Convergencia dominada en espacios L p (corolario)

Sea un espacio de medida , un número real y una secuencia de funciones medibles . ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )}$ ${\displaystyle 1\leq p<\infty }$ ${\displaystyle (f_{n})}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle f_{n}:\Omega \to \mathbb {C} \cup \{\infty \}}$

Supongamos que la secuencia converge casi en todas partes a una función medible y está dominada por a (cf. Lp espacio ), es decir, para cada número natural tenemos: , μ-casi en todas partes. ${\displaystyle (f_{n})}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g\in L^{p}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle |f_{n}|\leq g}$

Entonces todos y también están en y la secuencia converge en el sentido de , es decir: ${\displaystyle f_{n}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle (f_{n})}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle L^{p}}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\|f_{n}-f\|_{p}=\lim _{n\to \infty }\left(\int _{\Omega }|f_{n}-f|^{p}\,d\mu \right)^{\frac {1}{p}}=0.}$

Idea de la prueba: Aplicar el teorema original a la secuencia de funciones con la función dominante . ${\displaystyle h_{n}=|f_{n}-f|^{p}}$ ${\displaystyle (2g)^{p}}$

Extensiones

El teorema de convergencia dominada se aplica también a funciones medibles con valores en un espacio de Banach , siendo la función dominante no negativa e integrable como se indicó anteriormente. El supuesto de convergencia en casi todas partes puede debilitarse para exigir sólo una convergencia en medida .

El teorema de la convergencia dominada se aplica también a las expectativas condicionales. ^[2]

Ver también

• Convergencia de variables aleatorias , Convergencia en media
• Teorema de convergencia monótona (no requiere el dominio de una función integrable, sino que asume la monotonicidad de la secuencia)
• El lema de Scheffé
• Integrabilidad uniforme
• Teorema de convergencia de Vitali (una generalización del teorema de convergencia dominada de Lebesgue)

Notas

1. Para el caso real, consulte Evans, Lawrence C; Gariepy, Ronald F (2015). Teoría de medidas y propiedades finas de funciones . Prensa CRC. págs. Teorema 1.19.
2. Zitkovic 2013, Proposición 10.5.

Referencias

• Bartle, RG (1995). Los elementos de la integración y la medida de Lebesgue. Wiley Interciencia. ISBN 9780471042228.
• Royden, HL (1988). Análisis real. Prentice Hall. ISBN 9780024041517.
• Vertedero, Alan J. (1973). "Los teoremas de convergencia". Integración y medida de Lebesgue . Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge. págs. 93-118. ISBN 0-521-08728-7.
• Williams, D. (1991). Probabilidad con martingalas . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-40605-6.
• Zitkovic, Gordon (otoño de 2013). "Conferencia 10: Expectativa condicional" (PDF) . Consultado el 25 de diciembre de 2020 .