Teorema de convergencia de Vitali

En análisis real y teoría de la medida , el teorema de convergencia de Vitali , llamado así en honor al matemático italiano Giuseppe Vitali , es una generalización del más conocido teorema de convergencia dominada de Henri Lebesgue . Es una caracterización de la convergencia en L p en términos de convergencia en medida y una condición relacionada con la integrabilidad uniforme .

Definiciones preliminares

Sea un espacio de medida , es decir, una función establecida tal que y es contablemente aditiva. Todas las funciones consideradas en la secuela serán funciones , donde o . Adoptamos las siguientes definiciones según la terminología de Bogachev. ^[1] ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu )}$ ${\displaystyle \mu :{\mathcal {A}}\to [0,\infty ]}$ ${\displaystyle \mu (\emptyset )=0}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle f:X\to \mathbb {K} }$ ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

• Un conjunto de funciones se llama uniformemente integrable si , es decir . ${\displaystyle {\mathcal {F}}\subset L^{1}(X,{\mathcal {A}},\mu )}$ ${\displaystyle \lim _{M\to +\infty }\sup _{f\in {\mathcal {F}}}\int _{\{|f|>M\}}|f|\,d\mu =0}$ ${\displaystyle \forall \ \varepsilon >0,\ \exists \ M_{\varepsilon }>0:\sup _{f\in {\mathcal {F}}}\int _{\{|f|\geq M_{\varepsilon }\}}|f|\,d\mu <\varepsilon }$
• Se dice que un conjunto de funciones tiene integrales uniformemente absolutamente continuas si , es decir . Esta definición se utiliza a veces como definición de integrabilidad uniforme. Sin embargo, difiere de la definición de integrabilidad uniforme dada anteriormente. ${\displaystyle {\mathcal {F}}\subset L^{1}(X,{\mathcal {A}},\mu )}$ ${\displaystyle \lim _{\mu (A)\to 0}\sup _{f\in {\mathcal {F}}}\int _{A}|f|\,d\mu =0}$ ${\displaystyle \forall \ \varepsilon >0,\ \exists \ \delta _{\varepsilon }>0,\ \forall \ A\in {\mathcal {A}}:\mu (A)<\delta _{\varepsilon }\Rightarrow \sup _{f\in {\mathcal {F}}}\int _{A}|f|\,d\mu <\varepsilon }$

Cuando , un conjunto de funciones es uniformemente integrable si y sólo si está acotado y tiene integrales uniformemente absolutamente continuas. Si, además, no tiene átomos, entonces la integrabilidad uniforme equivale a la continuidad absoluta uniforme de las integrales. ${\displaystyle \mu (X)<\infty }$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\subset L^{1}(X,{\mathcal {A}},\mu )}$ ${\displaystyle L^{1}(X,{\mathcal {A}},\mu )}$ ${\displaystyle \mu }$

Caso de medida finita

Sea un espacio de medida con . Sea y una función medible. Entonces los siguientes son equivalentes : ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu )}$ ${\displaystyle \mu (X)<\infty }$ ${\displaystyle (f_{n})\subset L^{p}(X,{\mathcal {A}},\mu )}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

1. ${\displaystyle f\in L^{p}(X,{\mathcal {A}},\mu )}$y converge en  ; ${\displaystyle (f_{n})}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle L^{p}(X,{\mathcal {A}},\mu )}$
2. La secuencia de funciones converge en medida y es uniformemente integrable; ${\displaystyle (f_{n})}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (|f_{n}|^{p})_{n\geq 1}}$

Para una prueba, consulte la monografía de Bogachev "Teoría de la medida, Volumen I". ^[1]

Caso de medida infinita

Sea un espacio de medida y . Deja y . Entonces, converge a in si y sólo si se cumple lo siguiente: ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu )}$ ${\displaystyle 1\leq p<\infty }$ ${\displaystyle (f_{n})_{n\geq 1}\subseteq L^{p}(X,{\mathcal {A}},\mu )}$ ${\displaystyle f\in L^{p}(X,{\mathcal {A}},\mu )}$ ${\displaystyle (f_{n})}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle L^{p}(X,{\mathcal {A}},\mu )}$

1. La secuencia de funciones converge en medida a  ; ${\displaystyle (f_{n})}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle f}$
2. ${\displaystyle (f_{n})}$tiene integrales uniformemente absolutamente continuas;
3. Para cada , existe tal que y ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle X_{\varepsilon }\in {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle \mu (X_{\varepsilon })<\infty }$ ${\displaystyle \sup _{n\geq 1}\int _{X\setminus X_{\varepsilon }}|f_{n}|^{p}\,d\mu <\varepsilon .}$

Cuando , la tercera condición se vuelve superflua (se puede simplemente tomar ) y las dos primeras condiciones dan la forma habitual del teorema de convergencia de Lebesgue-Vitali establecido originalmente para espacios de medida con medida finita. En este caso, se puede demostrar que las condiciones 1 y 2 implican que la secuencia es uniformemente integrable. ${\displaystyle \mu (X)<\infty }$ ${\displaystyle X_{\varepsilon }=X}$ ${\displaystyle (|f_{n}|^{p})_{n\geq 1}}$

Recíproco del teorema

Sea medir el espacio. Supongamos que existe para cada . Entonces, la secuencia está acotada y tiene integrales uniformemente absolutamente continuas. Además, existe tal que para cada . ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu )}$ ${\displaystyle (f_{n})_{n\geq 1}\subseteq L^{1}(X,{\mathcal {A}},\mu )}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{A}f_{n}\,d\mu }$ ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle (f_{n})}$ ${\displaystyle L^{1}(X,{\mathcal {A}},\mu )}$ ${\displaystyle f\in L^{1}(X,{\mathcal {A}},\mu )}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{A}f_{n}\,d\mu =\int _{A}f\,d\mu }$ ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$

Cuando , esto implica que es uniformemente integrable. ${\displaystyle \mu (X)<\infty }$ ${\displaystyle (f_{n})}$

Para una prueba, consulte la monografía de Bogachev "Teoría de la medida, Volumen I". ^[1]

Citas

1. Bogachev, Vladimir I. (2007). Teoría de la medida Volumen I. Nueva York: Springer. págs. 267-271. ISBN 978-3-540-34513-8.