Casi en cualquier parte

En todas partes excepto en un conjunto de medida cero

La función 1/x es diferenciable y continua en casi todas partes, más precisamente, en todas partes excepto en x = 0.

En la teoría de la medida (una rama del análisis matemático ), una propiedad se cumple en casi todas partes si, en un sentido técnico, el conjunto para el cual se cumple la propiedad abarca casi todas las posibilidades. La noción de "casi en todas partes" es una noción que acompaña al concepto de medida cero , y es análoga a la noción de casi con seguridad en la teoría de la probabilidad .

Más específicamente, una propiedad se cumple en casi todas partes si se cumple para todos los elementos de un conjunto excepto un subconjunto de medida cero, ^{[1] [2]} o, de manera equivalente, si el conjunto de elementos para los cuales se cumple la propiedad es conull . En los casos en que la medida no esté completa , bastará con que el conjunto esté contenido dentro de un conjunto de medida cero. Cuando se analiza conjuntos de números reales , generalmente se asume la medida de Lebesgue a menos que se indique lo contrario.

El término casi en todas partes se abrevia ae ; ^[3] en la literatura antigua se utiliza pp , para representar la frase equivalente en francés presque partout . ^[4]

Un conjunto de medida completa es aquel cuyo complemento es de medida cero. En la teoría de la probabilidad, los términos casi seguro , casi seguro y casi siempre se refieren a eventos con probabilidad 1 que no necesariamente incluyen todos los resultados. Estos son exactamente los conjuntos de medida completa en un espacio de probabilidad.

Ocasionalmente, en lugar de decir que una propiedad se cumple en casi todas partes, se dice que la propiedad se cumple para casi todos los elementos (aunque el término casi todos también puede tener otros significados).

Definición

Si es un espacio de medidas , se dice que una propiedad se cumple en casi todas partes si existe un conjunto con y todos tienen la propiedad . ^[5] Otra forma común de expresar lo mismo es decir que "casi todos los puntos satisfacen ", o que "para casi todos , se cumple". ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle N\in \Sigma }$ ${\displaystyle \mu (N)=0}$ ${\displaystyle x\in X\setminus N}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P\,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle P(x)}$

No se requiere que el conjunto tenga medida 0; puede que no pertenezca a . Según la definición anterior, es suficiente que esté contenido en algún conjunto que sea mensurable y tenga medida 0. ${\displaystyle \{x\in X:\neg P(x)\}}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \{x\in X:\neg P(x)\}}$ ${\displaystyle N}$

Propiedades

• Si la propiedad vale en casi todas partes e implica propiedad , entonces la propiedad vale en casi todas partes. Esto se deriva de la monotonicidad de las medidas. ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle Q}$
• Si es una secuencia finita o contable de propiedades, cada una de las cuales se cumple en casi todas partes, entonces su conjunción se cumple en casi todas partes. Esto se desprende de la subaditividad contable de medidas. ${\displaystyle (P_{n})}$ ${\displaystyle \forall nP_{n}}$
• Por el contrario, si es una familia incontable de propiedades, cada una de las cuales se cumple en casi todas partes, entonces su conjunción no necesariamente se cumple en casi todas partes. Por ejemplo, si la medida de Lebesgue es de y tiene la propiedad de no ser igual a (es decir, es verdadera si y sólo si ), entonces cada una se cumple en casi todas partes, pero la conjunción no se cumple en ninguna parte. ${\displaystyle (P_{x})_{x\in \mathbf {R} }}$ ${\displaystyle \forall xP_{x}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle X=\mathbf {R} }$ ${\displaystyle P_{x}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle P_{x}(y)}$ ${\displaystyle y\neq x}$ ${\displaystyle P_{x}}$ ${\displaystyle \forall xP_{x}}$

Como consecuencia de las dos primeras propiedades, a menudo es posible razonar sobre "casi todos los puntos" de un espacio de medida como si fuera un punto ordinario en lugar de una abstracción. ^{[ cita necesaria ]} Esto a menudo se hace implícitamente en argumentos matemáticos informales. Sin embargo, hay que tener cuidado con este modo de razonamiento debido al tercer punto anterior: la cuantificación universal sobre incontables familias de enunciados es válida para puntos ordinarios pero no para "casi todos los puntos".

Ejemplos

• Si f  : R → R es una función integrable de Lebesgue y en casi todas partes, entonces ${\displaystyle f(x)\geq 0}$
  $${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\geq 0}$$
  para todos los números reales con igualdad si y sólo si en casi todas partes. ${\displaystyle a<b}$ ${\displaystyle f(x)=0}$
• Si f  : [ a , b ] → R es una función monótona , entonces f es derivable en casi todas partes.
• Si f  : R → R es medible según Lebesgue y
  $${\displaystyle \int _{a}^{b}|f(x)|\,dx<\infty }$$
  para todos los números reales , entonces existe un conjunto E (dependiendo de f ) tal que, si x está en E , la media de Lebesgue ${\displaystyle a<b}$
  $${\displaystyle {\frac {1}{2\varepsilon }}\int _{x-\varepsilon }^{x+\varepsilon }f(t)\,dt}$$
  converge a f ( x ) a medida que disminuye a cero. El conjunto E se llama conjunto de Lebesgue de f . Se puede demostrar que su complemento tiene medida cero. En otras palabras, la media de Lebesgue de f converge a f en casi todas partes. ${\displaystyle \epsilon }$
• Una función acotada f  : [ a , b ] → R es integrable de Riemann si y sólo si es continua en casi todas partes.
• Como curiosidad, la expansión decimal de casi todos los números reales en el intervalo [0, 1] contiene el texto completo de las obras de Shakespeare , codificado en ASCII ; de manera similar para cualquier otra secuencia de dígitos finitos, consulte Número normal .

Definición usando ultrafiltros

Fuera del contexto del análisis real, la noción de una propiedad verdadera en casi todas partes se define a veces en términos de un ultrafiltro . Un ultrafiltro en un conjunto X es una colección máxima F de subconjuntos de X tal que:

1. Si U ∈ F y U ⊆ V entonces V ∈ F
2. La intersección de dos conjuntos cualesquiera en F está en F
3. El conjunto vacío no está en F

Una propiedad P de los puntos en X se cumple en casi todas partes, en relación con un ultrafiltro F , si el conjunto de puntos para los cuales P se cumple está en F.

Por ejemplo, una construcción del sistema numérico hiperreal define un número hiperreal como una clase de equivalencia de secuencias que son iguales en casi todas partes según lo define un ultrafiltro.

La definición de casi todas partes en términos de ultrafiltros está estrechamente relacionada con la definición en términos de medidas, porque cada ultrafiltro define una medida finitamente aditiva tomando solo los valores 0 y 1, donde un conjunto tiene medida 1 si y solo si está incluido. en el ultrafiltro.

Ver también

• Función de Dirichlet , función que es igual a 0 en casi todas partes.

Referencias

1. Weisstein, Eric W. "Casi en todas partes". mathworld.wolfram.com . Consultado el 19 de noviembre de 2019 .
2. Halmos, Paul R. (1974). Teoría de la medida. Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90088-8.
3. "Definición de casi todas partes | Dictionary.com". www.diccionario.com . Consultado el 19 de noviembre de 2019 .
4. Ursell, HD (1 de enero de 1932). "Sobre la convergencia casi en todas partes de las series de Rademacher y de las sumas de Bochnerfejér de una función casi periódica en el sentido de Stepanoff". Actas de la Sociedad Matemática de Londres . T2-33 (1): 457–466. doi :10.1112/plms/s2-33.1.457. ISSN  0024-6115.
5. "Propiedades que se mantienen en casi todas partes - Mathonline". mathonline.wikidot.com . Consultado el 19 de noviembre de 2019 .

Bibliografía

• Billingsley, Patricio (1995). Probabilidad y medida (3ª ed.). Nueva York: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-00710-2.