El lema de Scheffé

Resultado en teoría de la medida.

En matemáticas, el lema de Scheffé es una proposición de la teoría de la medida relativa a la convergencia de secuencias de funciones integrables . Afirma que, si es una secuencia de funciones integrables en un espacio de medidas que converge casi en todas partes a otra función integrable , entonces si y solo si . ^[1] ${\displaystyle f_{n}}$ ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \int |f_{n}-f|\,d\mu \to 0}$ ${\displaystyle \int |f_{n}|\,d\mu \to \int |f|\,d\mu }$

La prueba se basa fundamentalmente en una aplicación de la desigualdad del triángulo y el lema de Fatou . ^[2]

Aplicaciones

Aplicado a la teoría de la probabilidad , el teorema de Scheffe, en la forma aquí expuesta, implica que casi en todas partes la convergencia puntual de las funciones de densidad de probabilidad de una secuencia de variables aleatorias absolutamente continuas implica convergencia en la distribución de esas variables aleatorias. ${\displaystyle \mu }$

Historia

Henry Scheffé publicó una prueba de la afirmación sobre la convergencia de densidades de probabilidad en 1947. ^[3] El resultado es un caso especial de un teorema de Frigyes Riesz sobre la convergencia en espacios L p publicado en 1928. ^[4]

Referencias

1. David Williams (1991). Probabilidad con Martingalas . Nueva York: Cambridge University Press. pag. 55.
2. "Lema de Scheffé - ProofWiki". pruebawiki.org . Archivado desde el original el 9 de diciembre de 2023 . Consultado el 9 de diciembre de 2023 .
3. Scheffe, Henry (septiembre de 1947). "Un teorema de convergencia útil para distribuciones de probabilidad". Los anales de la estadística matemática . 18 (3): 434–438. doi : 10.1214/aoms/1177730390 .
4. Norbert Kusolitsch (septiembre de 2010). "Por qué el teorema de Scheffé debería llamarse más bien teorema de Riesz". Periodica Mathematica Hungarica . 61 (1–2): 225–229. CiteSeerX 10.1.1.537.853 . doi :10.1007/s10998-010-3225-6. S2CID  18234313.