En análisis real y teoría de la medida , el teorema de convergencia de Vitali , llamado así en honor al matemático italiano Giuseppe Vitali , es una generalización del más conocido teorema de convergencia dominada de Henri Lebesgue . Es una caracterización de la convergencia en L p en términos de convergencia en medida y una condición relacionada con la integrabilidad uniforme .
Definiciones preliminares
Sea un espacio de medida , es decir, una función establecida tal que y es contablemente aditiva. Todas las funciones consideradas en la secuela serán funciones , donde o . Adoptamos las siguientes definiciones según la terminología de Bogachev. [1]![{\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu )}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mu :{\mathcal {A}}\to [0,\infty ]}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mu (\emptyset )=0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mu}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f:X\to \mathbb {K} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbb {C} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Un conjunto de funciones se llama uniformemente integrable si , es decir .
![{\displaystyle {\mathcal {F}}\subset L^{1}(X,{\mathcal {A}},\mu )}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \lim _{M\to +\infty }\sup _{f\in {\mathcal {F}}}\int _{\{|f|>M\}}|f|\,d\ mu = 0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \forall \ \varepsilon >0,\ \exists \ M_{\varepsilon }>0:\sup _{f\in {\mathcal {F}}}\int _{\{|f|\geq M_ {\varepsilon }\}}|f|\,d\mu <\varepsilon }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Se dice que un conjunto de funciones tiene integrales uniformemente absolutamente continuas si , es decir . Esta definición se utiliza a veces como definición de integrabilidad uniforme. Sin embargo, difiere de la definición de integrabilidad uniforme dada anteriormente.
![{\displaystyle {\mathcal {F}}\subset L^{1}(X,{\mathcal {A}},\mu )}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \lim _{\mu (A)\to 0}\sup _{f\in {\mathcal {F}}}\int _{A}|f|\,d\mu =0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \forall \ \varepsilon >0,\ \exists \ \delta _{\varepsilon }>0,\ \forall \ A\in {\mathcal {A}}:\mu (A)<\delta _{ \varepsilon }\Rightarrow \sup _{f\in {\mathcal {F}}}\int _{A}|f|\,d\mu <\varepsilon }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Cuando , un conjunto de funciones es uniformemente integrable si y sólo si está acotado y tiene integrales uniformemente absolutamente continuas. Si, además, no tiene átomos, entonces la integrabilidad uniforme equivale a la continuidad absoluta uniforme de las integrales.![{\displaystyle \mu (X)<\infty }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\mathcal {F}}\subset L^{1}(X,{\mathcal {A}},\mu )}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle L^{1}(X,{\mathcal {A}},\mu )}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mu}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Caso de medida finita
Sea un espacio de medida con . Sea y una función medible. Entonces los siguientes son equivalentes : ![{\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu )}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mu (X)<\infty }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle (f_{n})\subset L^{p}(X,{\mathcal {A}},\mu )}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\mathcal {A}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
y converge en ;![{\displaystyle (f_{n})}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle L^{p}(X,{\mathcal {A}},\mu )}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- La secuencia de funciones converge en medida y es uniformemente integrable;
![{\displaystyle (f_{n})}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mu}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle (|f_{n}|^{p})_{n\geq 1}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Para una prueba, consulte la monografía de Bogachev "Teoría de la medida, Volumen I". [1]
Caso de medida infinita
Sea un espacio de medida y . Deja y . Entonces, converge a in si y sólo si se cumple lo siguiente:![{\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu )}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle 1\leq p<\infty }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle (f_{n})_{n\geq 1}\subseteq L^{p}(X,{\mathcal {A}},\mu )}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f\in L^{p}(X,{\mathcal {A}},\mu )}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle (f_{n})}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle L^{p}(X,{\mathcal {A}},\mu )}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- La secuencia de funciones converge en medida a ;
![{\displaystyle (f_{n})}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mu}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
tiene integrales uniformemente absolutamente continuas;- Para cada , existe tal que y
![{\displaystyle \varepsilon >0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle X_{\varepsilon }\in {\mathcal {A}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mu (X_{\varepsilon })<\infty }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \sup _{n\geq 1}\int _{X\setminus X_{\varepsilon }}|f_{n}|^{p}\,d\mu <\varepsilon .}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Cuando , la tercera condición se vuelve superflua (se puede simplemente tomar ) y las dos primeras condiciones dan la forma habitual del teorema de convergencia de Lebesgue-Vitali establecido originalmente para espacios de medida con medida finita. En este caso, se puede demostrar que las condiciones 1 y 2 implican que la secuencia es uniformemente integrable.![{\displaystyle \mu (X)<\infty }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle X_{\varepsilon }=X}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle (|f_{n}|^{p})_{n\geq 1}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Recíproco del teorema
Sea medir el espacio. Supongamos que existe para cada . Entonces, la secuencia está acotada y tiene integrales uniformemente absolutamente continuas. Además, existe tal que para cada .![{\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu )}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle (f_{n})_{n\geq 1}\subseteq L^{1}(X,{\mathcal {A}},\mu )}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{A}f_{n}\,d\mu }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle (f_{n})}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle L^{1}(X,{\mathcal {A}},\mu )}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f\in L^{1}(X,{\mathcal {A}},\mu )}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{A}f_{n}\,d\mu =\int _{A}f\,d\mu }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Cuando , esto implica que es uniformemente integrable.![{\displaystyle \mu (X)<\infty }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle (f_{n})}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Para una prueba, consulte la monografía de Bogachev "Teoría de la medida, Volumen I". [1]
Citas
- ^ abc Bogachev, Vladimir I. (2007). Teoría de la medida Volumen I. Nueva York: Springer. págs. 267-271. ISBN 978-3-540-34513-8.