La convergencia en medida es cualquiera de dos conceptos matemáticos distintos, los cuales generalizan el concepto de convergencia en probabilidad .
Definiciones
Sean funciones medibles en un espacio de medidas. Se dice que la secuencia
![{\displaystyle (X,\Sigma,\mu).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
converger globalmente en medida desi por cada![{\displaystyle f}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \varepsilon >0,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\mu (\{x\in X:|f(x)-f_{n}(x)|\geq \varepsilon \})=0,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
converger localmente en medida![{\displaystyle f}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \varepsilon >0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle F\en \Sigma }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mu (F)<\infty,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\mu (\{x\in F:|f(x)-f_{n}(x)|\geq \varepsilon \})=0.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
En un espacio de medida finita, ambas nociones son equivalentes. De lo contrario, la convergencia en medida puede referirse a una convergencia global en medida o a una convergencia local en medida, según el autor.
Propiedades
En todo momento, f y f n ( n N ) son funciones medibles X → R .
- La convergencia global en medida implica convergencia local en medida. Lo contrario, sin embargo, es falso; es decir , la convergencia local en medida es estrictamente más débil que la convergencia global en medida, en general.
- Sin embargo, si, o más generalmente, si f y todos los f n desaparecen fuera de algún conjunto de medidas finitas, entonces la distinción entre convergencia local y global en la medida desaparece.
![{\displaystyle \mu (X)<\infty }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Si μ es σ -finito y ( f n ) converge (local o globalmente) a f en medida, hay una subsecuencia que converge a f en casi todas partes . El supuesto de σ -finitud no es necesario en el caso de convergencia global en medida.
- Si μ es σ -finito, ( f n ) converge a f localmente en medida si y sólo si cada subsecuencia tiene a su vez una subsecuencia que converge a f en casi todas partes.
- En particular, si ( f n ) converge a f en casi todas partes, entonces ( f n ) converge a f localmente en medida. Lo contrario es falso.
- El lema de Fatou y el teorema de convergencia monótona se mantienen si en casi todas partes la convergencia se reemplaza por una convergencia (local o global) en medida.
- Si μ es σ -finito, el teorema de convergencia dominada de Lebesgue también se cumple si en casi todas partes la convergencia se reemplaza por una convergencia (local o global) en medida.
- Si X = [ a , b ] ⊆ R y μ es la medida de Lebesgue , hay secuencias ( g n ) de funciones escalonadas y ( h n ) de funciones continuas que convergen globalmente en medida hasta f .
- Si f y f n ( n ∈ N ) están en L p ( μ ) para algún p > 0 y ( f n ) converge a f en la p -norma, entonces ( f n ) converge a f globalmente en medida. Lo contrario es falso.
- Si f n converge a f en medida y g n converge a g en medida, entonces f n + g n converge a f + g en medida. Además, si el espacio de medida es finito, f n g n también converge a fg .
Contraejemplos
Sea μ la medida de Lebesgue y f la función constante con valor cero.
- La secuencia converge a f localmente en medida, pero no converge a f globalmente en medida.
![{\displaystyle f_{n}=\chi _{[n,\infty )}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- La secuencia donde y (cuyos primeros cinco términos son ) converge a 0 globalmente en medida; pero para ningún x, f n (x) converge a cero. Por lo tanto (f n ) no logra converger a f en casi todas partes.
![{\displaystyle f_{n}=\chi _{\left[{\frac {j}{2^{k}}},{\frac {j+1}{2^{k}}}\right]} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle k=\lfloor \log _{2}n\rfloor }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle j=n-2^{k}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \chi _{\left[0,1\right]},\;\chi _{\left[0,{\frac {1}{2}}\right]},\;\chi _{ \left[{\frac {1}{2}},1\right]},\;\chi _{\left[0,{\frac {1}{4}}\right]},\;\chi _{\left[{\frac {1}{4}},{\frac {1}{2}}\right]}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- La secuencia converge a f casi en todas partes y globalmente en medida, pero no en la norma p para ninguno .
![{\displaystyle f_{n}=n\chi _{\left[0,{\frac {1}{n}}\right]}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle p\geq 1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Topología
Existe una topología , llamada topología de convergencia (local) en medida , en la colección de funciones medibles de X tal que la convergencia local en medida corresponde a la convergencia en esa topología. Esta topología está definida por la familia de pseudométricas.
![{\displaystyle \{\rho _{F}:F\in \Sigma ,\ \mu (F)<\infty \},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \rho _{F}(f,g)=\int _{F}\min\{|fg|,1\}\,d\mu .}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
FF![{\displaystyle G\subconjunto X}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \varepsilon >0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mu (G\setminus F)<\varepsilon .}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mu (X)<\infty }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \rho _ {X}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mu}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle d(f,g):=\inf \limits _{\delta >0}\mu (\{|fg|\geq \delta \})+\delta }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
[1]Debido a que esta topología es generada por una familia de pseudométricas, es uniformizable . Trabajar con estructuras uniformes en lugar de topologías nos permite formular propiedades uniformes como Cauchyness .
Ver también
Referencias
- ^ Vladimir I. Bogachev, Teoría de la medida vol. Yo, Springer Science & Business Media, 2007
- DH Fremlin, 2000. Teoría de la medida . Torres Fremlin.
- HL Royden, 1988. Análisis real . Prentice Hall.
- GB Folland 1999, Sección 2.4. Análisis reales . John Wiley e hijos.