Integral de Skorokhod

En matemáticas , la integral de Skorokhod , también llamada integral de Hitsuda-Skorokhod , a menudo denominada , es un operador de gran importancia en la teoría de procesos estocásticos . Lleva el nombre del matemático ucraniano Anatoliy Skorokhod y del matemático japonés Masuyuki Hitsuda. Parte de su importancia es que unifica varios conceptos: ${\displaystyle \delta }$

• ${\displaystyle \delta }$es una extensión del Itô integral a los procesos no adaptados ;
• ${\displaystyle \delta }$es el adjunto de la derivada de Malliavin , que es fundamental para el cálculo estocástico de variaciones ( cálculo de Malliavin );
• ${\displaystyle \delta }$es una generalización de dimensión infinita del operador de divergencia del cálculo vectorial clásico .

La integral fue introducida por Hitsuda en 1972 ^[1] y por Skorokhod en 1975. ^[2]

Definición

Preliminares: el derivado Malliavin

Considere un espacio de probabilidad fija y un espacio de Hilbert ; denota expectativa con respecto a ${\displaystyle (\Omega ,\Sigma ,\mathbf {P} )}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \mathbf {E} }$ ${\displaystyle \mathbf {P} }$

$${\displaystyle \mathbf {E} [X]:=\int _{\Omega }X(\omega )\,\mathrm {d} \mathbf {P} (\omega ).}$$

Intuitivamente hablando, la derivada de Malliavin de una variable aleatoria se define expandiéndola en términos de variables aleatorias gaussianas que están parametrizadas por los elementos de y diferenciando formalmente la expansión; la integral de Skorokhod es la operación adjunta a la derivada de Malliavin. ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle L^{p}(\Omega )}$ ${\displaystyle H}$

Considere una familia de variables aleatorias valoradas , indexadas por los elementos del espacio de Hilbert . Supongamos además que cada una es una variable aleatoria gaussiana ( normal ), que el mapa que lleva a es un mapa lineal y que la estructura de media y covarianza está dada por ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle W(h)}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle W(h)}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle W(h)}$

$${\displaystyle \mathbf {E} [W(h)]=0,}$$

$${\displaystyle \mathbf {E} [W(g)W(h)]=\langle g,h\rangle _{H},}$$

para todos y en . Se puede demostrar que, dada , siempre existe un espacio de probabilidad y una familia de variables aleatorias con las propiedades anteriores. La derivada de Malliavin se define esencialmente estableciendo formalmente la derivada de la variable aleatoria en y luego extendiendo esta definición a variables aleatorias " suficientemente suaves ". Para una variable aleatoria de la forma ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle (\Omega ,\Sigma ,\mathbf {P} )}$ ${\displaystyle W(h)}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle F}$

$${\displaystyle F=f(W(h_{1}),\ldots ,W(h_{n})),}$$

donde es suave, la derivada de Malliavin se define utilizando la "definición formal" anterior y la regla de la cadena: ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$

$${\displaystyle \mathrm {D} F:=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(W(h_{1}),\ldots ,W(h_{n}))h_{i}.}$$

En otras palabras, mientras que era una variable aleatoria de valor real, su derivada es una variable aleatoria de valor real, un elemento del espacio . Por supuesto, este procedimiento sólo define variables aleatorias "suaves", pero se puede emplear un procedimiento de aproximación para definir for en un subespacio grande de ; el dominio de es el cierre de las variables aleatorias suaves en la seminorma  : ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \mathrm {D} F}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle L^{p}(\Omega ;H)}$ ${\displaystyle \mathrm {D} F}$ ${\displaystyle \mathrm {D} F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle L^{p}(\Omega )}$ ${\displaystyle \mathrm {D} }$

$${\displaystyle \|F\|_{1,p}:={\big (}\mathbf {E} [|F|^{p}]+\mathbf {E} [\|\mathrm {D} F\|_{H}^{p}]{\big )}^{1/p}.}$$

Este espacio se denota por y se llama espacio de Watanabe-Sobolev. ${\displaystyle \mathbf {D} ^{1,p}}$

La integral de Skorokhod

Para simplificar, consideremos ahora sólo el caso . La integral de Skorokhod se define como el adjunto de la derivada de Malliavin . Así como no se definió en su totalidad , no está definido en su totalidad : el dominio de consta de aquellos procesos en los que existe una constante tal que, para todo en , ${\displaystyle p=2}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle \mathrm {D} }$ ${\displaystyle \mathrm {D} }$ ${\displaystyle L^{2}(\Omega )}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle L^{2}(\Omega ;H)}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle L^{2}(\Omega ;H)}$ ${\displaystyle C(u)}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \mathbf {D} ^{1,2}}$

$${\displaystyle {\big |}\mathbf {E} [\langle \mathrm {D} F,u\rangle _{H}]{\big |}\leq C(u)\|F\|_{L^{2}(\Omega )}.}$$

La integral de Skorokhod de un proceso en es una variable aleatoria de valor real en ; si se encuentra en el dominio de , entonces se define por la relación que, para todos , ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle L^{2}(\Omega ;H)}$ ${\displaystyle \delta u}$ ${\displaystyle L^{2}(\Omega )}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \delta u}$ ${\displaystyle F\in \mathbf {D} ^{1,2}}$

$${\displaystyle \mathbf {E} [F\,\delta u]=\mathbf {E} [\langle \mathrm {D} F,u\rangle _{H}].}$$

Así como la derivada de Malliavin se definió por primera vez en variables aleatorias simples y suaves, la integral de Skorokhod tiene una expresión simple para "procesos simples": si está dada por ${\displaystyle \mathrm {D} }$ ${\displaystyle u}$

$${\displaystyle u=\sum _{j=1}^{n}F_{j}h_{j}}$$

con suave y adentro , luego ${\displaystyle F_{j}}$ ${\displaystyle h_{j}}$ ${\displaystyle H}$

$${\displaystyle \delta u=\sum _{j=1}^{n}\left(F_{j}W(h_{j})-\langle \mathrm {D} F_{j},h_{j}\rangle _{H}\right).}$$

Propiedades

• La propiedad de isometría : para cualquier proceso que se encuentre en el dominio de , ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \mathbf {D} ^{1,p}}$ ${\displaystyle \delta }$
  $${\displaystyle \mathbf {E} {\big [}(\delta u)^{2}{\big ]}=\mathbf {E} \int |u_{t}|^{2}dt+\mathbf {E} \int D_{s}u_{t}\,D_{t}u_{s}\,ds\,dt.}$$
  Si es un proceso adaptado, entonces para , el segundo término del lado derecho desaparece. Las integrales de Skorokhod e Itô coinciden en ese caso, y la ecuación anterior se convierte en la isometría de Itô . ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle D_{s}u_{t}=0}$ ${\displaystyle s>t}$
• La derivada de una integral de Skorokhod viene dada por la fórmula
  $${\displaystyle \mathrm {D} _{h}(\delta u)=\langle u,h\rangle _{H}+\delta (\mathrm {D} _{h}u),}$$
  donde representa , la variable aleatoria que es el valor del proceso en el "momento" en . ${\displaystyle \mathrm {D} _{h}X}$ ${\displaystyle (\mathrm {D} X)(h)}$ ${\displaystyle \mathrm {D} X}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle H}$
• La integral de Skorokhod del producto de una variable aleatoria in y un proceso in viene dada por la fórmula ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \mathbf {D} ^{1,2}}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \operatorname {dom} (\delta )}$
  $${\displaystyle \delta (Fu)=F\,\delta u-\langle \mathrm {D} F,u\rangle _{H}.}$$

Alternativas

Una alternativa a la integral de Skorokhod es la integral de Ogawa .

Referencias

1. Hitsuda, Masuyuki (1972). "Fórmula de derivadas parciales brownianas". Segundo Simposio Japón-URSS. Probablemente. Th.2. : 111–114.
2. Kuo, Hui-Hsiung (2014). "El cálculo de Itô y la teoría del ruido blanco: un breve estudio hacia la integración estocástica general". Comunicaciones sobre análisis estocástico . 8 (1). doi : 10.31390/cosa.8.1.07 .

• "Integral de Skorokhod", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Ocone, Daniel L. (1988). "Una guía para el cálculo estocástico de variaciones". Análisis estocástico y temas relacionados (Silivri, 1986) . Apuntes de clases de matemáticas. 1316. Berlín: Springer. págs. 1–79. Señor 953793
• Sanz-Solé, Marta (2008). "Aplicaciones del cálculo de Malliavin a ecuaciones diferenciales parciales estocásticas (conferencias impartidas en el Imperial College de Londres, 7 a 11 de julio de 2008)" (PDF) . Consultado el 9 de julio de 2008 .