integral de ogawa

En cálculo estocástico , la integral de Ogawa , también llamada integral estocástica no causal , es una integral estocástica para procesos no adaptados como integrandos . El cálculo correspondiente se denomina cálculo no causal para distinguirlo del cálculo anticipado de la integral de Skorokhod . El término causalidad se refiere a la adaptación a la filtración natural del integrador.

La integral fue introducida por el matemático japonés Shigeyoshi Ogawa en 1979 . ^[1]

integral de ogawa

Dejar

• ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ser un espacio de probabilidad ,
• ${\displaystyle W=(W_{t})_{t\in [0,T]}}$ser un proceso Wiener estándar unidimensional con , ${\displaystyle T\in \mathbb {R} _{+}}$
• ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}^{W}=\sigma (W_{s};0\leq s\leq t)\subset {\mathcal {F}}}$y ser la filtración natural del proceso Wiener, ${\displaystyle \mathbf {F} ^{W}=\{{\mathcal {F}}_{t}^{W},t\geq 0\}}$
• ${\displaystyle {\mathcal {B}}([0,T])}$el Borel σ-álgebra ,
• ${\displaystyle \int f\;dW_{t}}$ser la integral de Wiener,
• ${\displaystyle dt}$ser la medida de Lebesgue .

Además, sea el conjunto de procesos de valor real que son mensurables y casi con seguridad en , es decir ${\displaystyle \mathbf {H} }$ ${\displaystyle X\colon [0,T]\times \Omega \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}([0,T])\times {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle L^{2}([0,T],dt)}$

${\displaystyle P\left(\int _{0}^{T}|X(t,\omega )|^{2}\,dt<\infty \right)=1.}$

integral de ogawa

Sea una base ortonormal completa del espacio de Hilbert . ${\displaystyle \{\varphi _{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle L^{2}([0,T],dt)}$

Un proceso se llama integrable si la serie aleatoria ${\displaystyle X\in \mathbf {H} }$ ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \int _{0}^{T}X_{t}\,d_{\varphi }W_{t}:=\sum _{n=1}^{\infty }\left(\int _{0}^{T}X_{t}\varphi _{n}(t)\,dt\right)\int _{0}^{T}\varphi _{n}(t)\,dW_{t}}$

converge en probabilidad y la suma correspondiente se llama integral de Ogawa con respecto a la base . ${\displaystyle \{\varphi _{n}\}}$

Si es -integrable para cualquier base ortonormal completa de y las integrales correspondientes comparten el mismo valor, entonces se llama integrable universal de Ogawa (o u-integrable ). ^[2] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle L^{2}([0,T],dt)}$ ${\displaystyle X}$

De manera más general, la integral de Ogawa se puede definir para cualquier proceso (como el movimiento browniano fraccionario ) como integradores ${\displaystyle L^{2}(\Omega ,P)}$ ${\displaystyle Z_{t}}$

${\displaystyle \int _{0}^{T}X_{t}\,d_{\varphi }Z_{t}:=\sum _{n=1}^{\infty }\left(\int _{0}^{T}X_{t}\varphi _{n}(t)\,dt\right)\int _{0}^{T}\varphi _{n}(t)\,dZ_{t}}$

siempre y cuando las integrales

${\displaystyle \int _{0}^{T}\varphi _{n}(t)\,dZ_{t}}$

están bien definidos. ^[2]

Observaciones

• La convergencia de la serie depende no sólo de la base ortonormal sino también del orden de esa base.
• Existen varias definiciones equivalentes para la integral de Ogawa que se pueden encontrar en ( ^{[2] : 239–241} ). Una forma hace uso del teorema de Itô-Nisio .

Regularidad de la base ortonormal.

Un concepto importante para la integral de Ogawa es la regularidad de una base ortonormal. Una base ortonormal se llama regular si ${\displaystyle \{\varphi _{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$

${\displaystyle \sup _{n}\int _{0}^{T}\left(\sum _{i=1}^{n}\varphi _{i}(t)\int _{0}^{t}\varphi _{i}(s)\,ds\right)^{2}\,dt<\infty }$

sostiene.

Se conocen los siguientes resultados sobre regularidad:

• Toda semimartingala (causal o no) es integrable si y sólo si es regular. ^{[2] : 242–243} ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \{\varphi _{n}\}}$
• Se demostró que existe una base no regular para . ^[3] ${\displaystyle L^{2}([0,1],dt)}$

Otros temas

• Existe una fórmula de Itô no causal , ^{[2] : 250} una fórmula de integración por partes no causal y un teorema de Girsanov no causal . ^[4]

Relación con otras integrales

• Integral de Stratonovich : sea una semimartingala continua adaptada que es universal Ogawa integrable respecto al proceso de Wiener, entonces la integral de Stratonovich existe y coincide con la integral de Ogawa. ^[5] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbf {F} ^{W}}$
• Integral de Skorokhod : la relación entre la integral de Ogawa y la integral de Skorokhod fue estudiada en ( ^[6] ).

Literatura

• Ogawa, Shigeyoshi (2017). Cálculo estocástico no causal . Tokio: Springer. doi :10.1007/978-4-431-56576-5. ISBN 978-4-431-56574-1.

Referencias

1. Ogawa, Shigeyoshi (1979). "Sur le produit direct du bruit blanc par lui-même". CR Acad. Ciencia. París Sér. A . 288 . Gauthier-Villars: 359–362.
2. Ogawa, Shigeyoshi (2007). "Revisión del cálculo estocástico no causal - en torno a la llamada integral de Ogawa". Avances en análisis determinista y estocástico : 238. doi :10.1142/9789812770493_0016. ISBN 978-981-270-550-1.
3. Mayor, Pietro; Mancino, María Elvira (1997). "Un contraejemplo sobre una condición de integrabilidad de Ogawa". Séminario de probabilidades de Estrasburgo . 31 : 198–206 . Consultado el 26 de junio de 2023 .
4. Ogawa, Shigeyoshi (2016). "BPE y un teorema de Girsanov no causal". Sankhya A. 78 (2): 304–323. doi :10.1007/s13171-016-0087-x. S2CID  258705123.
5. Nualart, David; Zakai, Moshe (1989). "Sobre la relación entre las integrales de Stratonovich y Ogawa". Los anales de la probabilidad . 17 (4): 1536-1540. doi : 10.1214/aop/1176991172. hdl : 1808/17063 .
6. Nualart, David; Zakai, Moshe (1986). "Integrales estocásticas generalizadas y el cálculo de Malliavin". Teoría de la probabilidad y campos relacionados . 73 (2): 255–280. doi : 10.1007/BF00339940 . S2CID  120687698.