Evolución de Schramm-Loewner

Evolución de Schramm-Loewner en el semiplano superior con tono que indica ${\displaystyle \operatorname {Im} (\log(g_{t}(z)))}$

En teoría de la probabilidad , la evolución de Schramm-Loewner con parámetro κ , también conocida como evolución estocástica de Loewner ( SLE _κ ), es una familia de curvas planas aleatorias que han demostrado ser el límite de escala de una variedad de modelos reticulares bidimensionales en mecánica estadística . Dado un parámetro κ y un dominio en el plano complejo U , se obtiene una familia de curvas aleatorias en U , donde κ controla cuánto gira la curva. Hay dos variantes principales de SLE, SLE cordal que proporciona una familia de curvas aleatorias desde dos puntos límite fijos, y SLE radial , que proporciona una familia de curvas aleatorias desde un punto límite fijo hasta un punto interior fijo. Estas curvas se definen para satisfacer la invariancia conforme y una propiedad de Markov de dominio .

Fue descubierto por Oded Schramm  (2000) como un límite de escala conjeturado de los procesos probabilísticos del árbol de expansión uniforme plano (UST) y del paseo aleatorio con bucle borrado plano (LERW), y desarrollado por él junto con Greg Lawler y Wendelin Werner en un serie de artículos conjuntos.

Además de UST y LERW, se conjetura o se ha demostrado que la evolución de Schramm-Loewner describe el límite de escala de varios procesos estocásticos en el plano, como la percolación crítica , el modelo crítico de Ising , el modelo de doble dímero , las caminatas que se evitan a sí mismas y otros. Modelos críticos de mecánica estadística que exhiben invariancia conforme. Las curvas SLE son los límites de escala de las interfaces y otras curvas aleatorias que no se intersecan en estos modelos. La idea principal es que la invariancia conforme y una cierta propiedad de Markov inherente a tales procesos estocásticos juntos hacen posible codificar estas curvas planas en un movimiento browniano unidimensional que se ejecuta en el límite del dominio (la función impulsora en la ecuación diferencial de Loewner). . De esta manera, muchas preguntas importantes sobre los modelos planos se pueden traducir en ejercicios de cálculo de Itô . De hecho, varias predicciones matemáticamente no rigurosas hechas por físicos que utilizan la teoría de campos conforme se han demostrado utilizando esta estrategia.

La ecuación de Loewner

Si es un dominio complejo abierto , simplemente conexo , no igual a y es una curva simple que comienza en la frontera (una función continua con en la frontera de y un subconjunto de ), entonces, para cada uno , el complemento de es simplemente conexo y por lo tanto conformemente isomorfo a por el teorema de mapeo de Riemann . Si es un isomorfismo normalizado adecuado de a , entonces satisface una ecuación diferencial encontrada por Loewner (1923, p. 121) en su trabajo sobre la conjetura de Bieberbach . A veces es más conveniente utilizar la función inversa de , que es una aplicación conforme de a . ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \gamma (0)}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \gamma ((0,\infty ))}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle t\geq 0}$ ${\displaystyle D_{t}=D\smallsetminus \gamma ([0,t])}$ ${\displaystyle \gamma ([0,t])}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle f_{t}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D_{t}}$ ${\displaystyle g_{t}}$ ${\displaystyle f_{t}}$ ${\displaystyle D_{t}}$ ${\displaystyle D}$

En la ecuación de Loewner, , y los valores límite en el momento son o . La ecuación depende de una función impulsora que toma valores en el límite de . Si es la unidad de disco y la curva está parametrizada por "capacidad", entonces la ecuación de Loewner es ${\displaystyle z\in D}$ ${\displaystyle t\geq 0}$ ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle f_{0}(z)=z}$ ${\displaystyle g_{0}(z)=z}$ ${\displaystyle \zeta (t)}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle {\frac {\partial f_{t}(z)}{\partial t}}=-zf_{t}^{\prime }(z){\frac {\zeta (t)+z}{\zeta (t)-z}}}$   o   ${\displaystyle {\dfrac {\partial g_{t}(z)}{\partial t}}=g_{t}(z){\dfrac {\zeta (t)+g_{t}(z)}{\zeta (t)-g_{t}(z)}}.}$

Cuando es el semiplano superior, la ecuación de Loewner difiere de esta por cambios de variable y es ${\displaystyle D}$

${\displaystyle {\frac {\partial f_{t}(z)}{\partial t}}={\frac {2f_{t}^{\prime }(z)}{\zeta (t)-z}}}$   o   ${\displaystyle {\dfrac {\partial g_{t}(z)}{\partial t}}={\dfrac {2}{g_{t}(z)-\zeta (t)}}.}$

La función de conducción y la curva están relacionadas por ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle f_{t}(\zeta (t))=\gamma (t){\text{ or }}\zeta (t)=g_{t}(\gamma (t))}$

donde y se extienden por continuidad. ${\displaystyle f_{t}}$ ${\displaystyle g_{t}}$

Ejemplo

Sea el semiplano superior y considere un SLE ₀ , por lo que la función impulsora es un movimiento browniano de difusividad cero. Por lo tanto, la función es idénticamente cero casi con seguridad y ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle \zeta }$

${\displaystyle f_{t}(z)={\sqrt {z^{2}-4t}}}$

${\displaystyle g_{t}(z)={\sqrt {z^{2}+4t}}}$

${\displaystyle \gamma (t)=2i{\sqrt {t}}}$

${\displaystyle D_{t}}$es el semiplano superior con la línea de 0 a eliminada. ${\displaystyle 2i{\sqrt {t}}}$

Evolución de Schramm-Loewner

La evolución de Schramm-Loewner es la curva aleatoria γ dada por la ecuación de Loewner como en la sección anterior, para la función motriz.

${\displaystyle \zeta (t)={\sqrt {\kappa }}B(t)}$

donde B ( t ) es el movimiento browniano en el límite de D , escalado por algún κ real . En otras palabras, la evolución de Schramm-Loewner es una medida de probabilidad en curvas planas, dada como la imagen de la medida de Wiener en este mapa.

En general, la curva γ no tiene por qué ser simple, y el dominio D _t no es el complemento de γ ([0, t ]) en D , sino que es el componente ilimitado del complemento.

Hay dos versiones de SLE, que utilizan dos familias de curvas, cada una de las cuales depende de un parámetro real no negativo κ :

• Cordal SLE _κ , que está relacionado con curvas que conectan dos puntos en el límite de un dominio (generalmente el medio plano superior, siendo los puntos 0 e infinito).
• SLE radial _κ , que está relacionado con curvas que unen un punto en el límite de un dominio con un punto en el interior (a menudo curvas que unen 1 y 0 en el disco unitario).

El SLE depende de la elección del movimiento browniano en el límite del dominio, y existen varias variaciones dependiendo del tipo de movimiento browniano que se utilice: por ejemplo, puede comenzar en un punto fijo o comenzar en un punto uniformemente distribuido en la unidad. círculo, o podría tener una deriva incorporada, etc. El parámetro κ controla la velocidad de difusión del movimiento browniano y el comportamiento del LES depende fundamentalmente de su valor.

Los dos dominios más utilizados en la evolución de Schramm-Loewner son el semiplano superior y el disco unitario. Aunque la ecuación diferencial de Loewner en estos dos casos parece diferente, son equivalentes hasta cambios de variables, ya que el disco unitario y el semiplano superior son conformemente equivalentes. Sin embargo, una equivalencia conforme entre ellos no preserva el movimiento browniano en sus límites utilizado para impulsar la evolución de Schramm-Loewner.

Valores especiales de κ

• Para 0 ≤  κ  < 4 la curva γ( t ) es simple (con probabilidad 1).
• Para 4 <  κ  < 8 la curva γ( t ) se cruza a sí misma y cada punto está contenido en un bucle, pero la curva no llena el espacio (con probabilidad 1).
• Para κ  ≥ 8, la curva γ( t ) llena el espacio (con probabilidad 1).
• κ  = 2 corresponde al paseo aleatorio borrado en bucle , o equivalentemente, a las ramas del árbol de expansión uniforme.
• Para κ  = 8/3, SLE _κ tiene la propiedad de restricción y se conjetura que es el límite de escala de los paseos aleatorios que se evitan por sí solos . Una versión de esto es el límite exterior del movimiento browniano .
• κ  = 3 es el límite de interfaces para el modelo de Ising .
• κ  = 4 corresponde a la trayectoria del explorador armónico y las curvas de nivel del campo libre gaussiano .
• Interfaz de percolación: haga un rombo de hexágonos del mismo tamaño en el plano. Colorea su lado superior e izquierdo con negro, y el lado inferior y derecho con blanco. Luego colorea los otros hexágonos “blanco” o “negro” independientemente con igual probabilidad 1/2. Hay un límite entre el blanco y el negro, que va desde abajo a la izquierda hasta arriba a la derecha. El límite de escala del límite es κ  = 6.
• Para κ  = 6, SLE _κ tiene la propiedad de localidad. Esto surge en el límite de escala de la percolación crítica en la red triangular y, conjeturalmente, en otras redes.
• κ  = 8 corresponde al camino que separa el árbol de expansión uniforme de su árbol dual.

Cuando SLE corresponde a alguna teoría de campos conforme, el parámetro κ está relacionado con la carga central c de la teoría de campos conforme por

${\displaystyle c={\frac {(8-3\kappa )(\kappa -6)}{2\kappa }}.}$

Cada valor de c  < 1 corresponde a dos valores de κ , un valor κ entre 0 y 4, y un valor "dual" 16/ κ mayor que 4. (ver Bauer y Bernard (2002a) Bauer y Bernard (2002b))

Beffara (2008) demostró que la dimensión de Hausdorff de los caminos (con probabilidad 1) es igual a min(2, 1 +  κ /8).

Fórmulas de probabilidad de paso por la izquierda para LES κ

^{Schramm ( 2001a} ) calculó la probabilidad de que el LES cordal _κ γ esté a la izquierda del punto fijo. ${\displaystyle x_{0}+iy_{0}=z_{0}\in \mathbb {H} }$

${\displaystyle \mathbb {P} [\gamma {\text{ passes to the left }}z_{0}]={\frac {1}{2}}+{\frac {\Gamma ({\frac {4}{\kappa }})}{{\sqrt {\pi }}\,\Gamma ({\frac {8-\kappa }{2\kappa }})}}{\frac {x_{0}}{y_{0}}}\,_{2}F_{1}\left({\frac {1}{2}},{\frac {4}{\kappa }},{\frac {3}{2}},-\left({\frac {x_{0}}{y_{0}}}\right)^{2}\right)}$

donde es la función Gamma y es la función hipergeométrica . Esto se obtuvo utilizando la propiedad martingala de ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle _{2}F_{1}(a,b,c,d)}$

${\displaystyle h(x,y):=\mathbb {P} [\gamma {\text{ passes to the left }}x+iy]}$

y el lema de Itô para obtener la siguiente ecuación diferencial parcial para ${\displaystyle w:={\tfrac {x}{y}}}$

${\displaystyle {\frac {\kappa }{2}}\partial _{ww}h(w)+{\frac {4w}{w^{2}+1}}\partial _{w}h=0.}$

Para κ = 4, el RHS es , que se utilizó en la construcción del explorador armónico, ^[2] y para κ = 6, obtenemos la fórmula de Cardy , que fue utilizada por Smirnov para demostrar la invariancia conforme en la percolación . ^[3] ${\displaystyle 1-{\tfrac {1}{\pi }}\arg(z_{0})}$

Aplicaciones

Lawler, Schramm y Werner (2001b) utilizaron SLE ₆ para demostrar la conjetura de Mandelbrot (1982) de que el límite del movimiento browniano plano tiene una dimensión fractal de 4/3.

Stanislav Smirnov demostró que la percolación crítica en la red triangular está relacionada con SLE ₆ . ^[4] Combinado con trabajos anteriores de Harry Kesten , ^[5] esto llevó a la determinación de muchos de los exponentes críticos de la filtración. ^[6] Este avance, a su vez, permitió un análisis más detallado de muchos aspectos de este modelo. ^{[7] [8]}

Lawler, Schramm y Werner demostraron que la caminata aleatoria con bucle borrado converge con SLE ₂ . ^[9] Esto permitió derivar muchas propiedades cuantitativas del paseo aleatorio borrado en bucle (algunas de las cuales fueron derivadas anteriormente por Richard Kenyon ^[10] ). Se demostró que la curva de Peano aleatoria relacionada que describe el árbol de expansión uniforme converge con SLE ₈ . ^[9]

Rohde y Schramm demostraron que κ está relacionada con la dimensión fractal de una curva mediante la siguiente relación

${\displaystyle d=1+{\frac {\kappa }{8}}.}$

Simulación

En este repositorio de GitHub se presentan programas informáticos (Matlab) para simular curvas planas de Schramm Loewner Evolution.

Referencias

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2. Schramm, Oded; Sheffield, Scott (2005), "Explorador armónico y su convergencia con SLE4", Annals of Probability , 33 (6): 2127–2148, arXiv : math/0310210 , doi :10.1214/009117905000000477, JSTOR  3481779, S2CID  9055859
3. Smirnov, Stanislav (2001). "Percolación crítica en el plano: invariancia conforme, fórmula de Cardy, límites de escala". Cuentas Rendus de la Academia de Ciencias, Serie I. 333 (3): 239–244. arXiv : 0909.4499 . Código Bib : 2001CRASM.333..239S. doi :10.1016/S0764-4442(01)01991-7. ISSN  0764-4442.
4. Smirnov, Stanislav (2001). "Percolación crítica en el avión". Cuentas Rendus de la Academia de Ciencias . 333 (3): 239–244. arXiv : 0909.4499 . Código Bib : 2001CRASM.333..239S. doi :10.1016/S0764-4442(01)01991-7.
5. Kesten, Harry (1987). "Relaciones de escala para percolación 2D" (PDF) . Com. Matemáticas. Física. 109 (1): 109-156. Código bibliográfico : 1987CMaPh.109..109K. doi :10.1007/BF01205674. S2CID  118713698.
6. Smirnov, Stanislav; Werner, Wendelin (2001). "Exponentes críticos de la percolación bidimensional". Matemáticas. Res. Letón. 8 (6): 729–744. arXiv : matemáticas/0109120 . doi :10.4310/mrl.2001.v8.n6.a4. S2CID  6837772.
7. Schramm, Oded; Steif, Jeffrey E. (2010). "Sensibilidad cuantitativa al ruido y tiempos excepcionales de percolación". Ana. de Matemáticas. 171 (2): 619–672. arXiv : matemáticas/0504586 . doi : 10.4007/annals.2010.171.619. S2CID  14742163.
8. Garban, Christophe; Pete, Gabor; Schramm, Oded (2013). "Medidas fundamentales, de conglomerado y de interfaz para la percolación plana crítica". J.Amer. Matemáticas. Soc. 26 (4): 939–1024. arXiv : 1008.1378 . doi :10.1090/S0894-0347-2013-00772-9. S2CID  119677336.
9. Lawler, Gregory F.; Schramm, Oded; Werner, Wendelin (2004). "Invariancia conforme de paseos aleatorios con bucles planos borrados y árboles de expansión uniformes". Ana. Probablemente. 32 (1B): 939–995. arXiv : matemáticas/0112234 . doi : 10.1214/aop/1079021469.
10. Kenyon, Richard (2000). "Propiedades de largo alcance de los árboles de expansión". J. Matemáticas. Física. 41 (3): 1338-1363. Código Bib : 2000JMP....41.1338K. CiteSeerX 10.1.1.39.7560 . doi : 10.1063/1.533190.  

Otras lecturas

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• Cardy, John (2005), "SLE para físicos teóricos", Annals of Physics , 318 (1): 81–118, arXiv : cond-mat/0503313 , Bibcode :2005AnPhy.318...81C, doi :10.1016/j .aop.2005.04.001, S2CID  17747133
• Goluzina, EG (2001) [1994], "Método Löwner", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Gutlyanskii, V.Ya. (2001) [1994], "Ecuación de Löwner", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Kager, Wouter; Nienhuis, Bernard (2004), "Una guía para la evolución estocástica de Loewner y sus aplicaciones", J. Stat. Física. , 115 (5/6): 1149–1229, arXiv : math-ph/0312056 , Bibcode :2004JSP...115.1149K, doi :10.1023/B:JOSS.0000028058.87266.be, S2CID  7239233
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enlaces externos

• Leyer; Schramm; Werner (2001), Tutorial: LES, Lawrence Hall of Science , Universidad de California, Berkeley{{citation}}: Mantenimiento CS1: falta el editor de la ubicación ( enlace )(vídeo de la conferencia de MSRI)
• Schramm, Oded (2001), Límites de escala conformemente invariantes y LES, MSRI(Diapositivas de una charla).