martingala local

Proceso estocástico con secuencia de tiempos de parada, por lo que cada proceso detenido es una martingala.

En matemáticas , una martingala local es un tipo de proceso estocástico que satisface la versión localizada de la propiedad de la martingala . Cada martingala es una martingala local; toda martingala local delimitada es una martingala; en particular, cada martingala local delimitada desde abajo es una supermartingala, y cada martingala local delimitada desde arriba es una submartingala; sin embargo, una martingala local no es en general una martingala, porque su expectativa puede verse distorsionada por valores grandes de probabilidad pequeña. En particular, un proceso de difusión sin deriva es una martingala local, pero no necesariamente una martingala.

Las martingalas locales son esenciales en el análisis estocástico (ver cálculo de Itô , semimartingala y teorema de Girsanov ).

Definición

Sea un espacio de probabilidad ; sea ​​una filtración de ; Sea un proceso estocástico adaptado en el conjunto . Entonces se llama martingala local si existe una secuencia de tiempos de parada tales que ${\displaystyle (\Omega ,F,P)}$ ${\displaystyle F_{*}=\{F_{t}\mid t\geq 0\}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X:[0,\infty )\times \Omega \rightarrow S}$ ${\displaystyle F_{*}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F_{*}}$ ${\displaystyle F_{*}}$ ${\displaystyle \tau _{k}:\Omega \to [0,\infty )}$

• Es casi seguro que están aumentando : ; ${\displaystyle \tau _{k}}$ ${\displaystyle P\left\{\tau _{k}<\tau _{k+1}\right\}=1}$
• la divergencia casi con seguridad: ; ${\displaystyle \tau _{k}}$ ${\displaystyle P\left\{\lim _{k\to \infty }\tau _{k}=\infty \right\}=1}$
• el proceso detenido
  $${\displaystyle X_{t}^{\tau _{k}}:=X_{\min\{t,\tau _{k}\}}}$$
  es una martingala para cada . ${\displaystyle F_{*}}$ ${\displaystyle k}$

Ejemplos

Ejemplo 1

Sea W _t el proceso de Wiener y T  = min{  t  :  W _t  = −1 } el momento del primer impacto de −1. El proceso detenido W _{min{  t ,  T  }} es una martingala. Su expectativa es 0 en todo momento; sin embargo, su límite (cuando t  → ∞) es igual a −1 casi con seguridad (una especie de ruina del jugador ). Un cambio de hora conduce a un proceso.

${\displaystyle \displaystyle X_{t}={\begin{cases}W_{\min \left({\tfrac {t}{1-t}},T\right)}&{\text{for }}0\leq t<1,\\-1&{\text{for }}1\leq t<\infty .\end{cases}}}$

El proceso es casi seguro que es continuo; sin embargo, su expectativa es discontinua, ${\displaystyle X_{t}}$

${\displaystyle \displaystyle \operatorname {E} X_{t}={\begin{cases}0&{\text{for }}0\leq t<1,\\-1&{\text{for }}1\leq t<\infty .\end{cases}}}$

Este proceso no es una martingala. Sin embargo, es una martingala local. Se puede elegir una secuencia de localización como si existiera tal t , de lo contrario . Esta secuencia diverge casi con seguridad, ya que para todo k es suficientemente grande (es decir, para todo k que excede el valor máximo del proceso X ). El proceso detenido en τ _k es una martingala. ^{[detalles 1]} ${\displaystyle \tau _{k}=\min\{t:X_{t}=k\}}$ ${\displaystyle \tau _{k}=k}$ ${\displaystyle \tau _{k}=k}$

Ejemplo 2

Sea W _t el proceso de Wiener y ƒ una función medible tal que Entonces el siguiente proceso es una martingala: ${\displaystyle \operatorname {E} |f(W_{1})|<\infty .}$

${\displaystyle X_{t}=\operatorname {E} (f(W_{1})\mid F_{t})={\begin{cases}f_{1-t}(W_{t})&{\text{for }}0\leq t<1,\\f(W_{1})&{\text{for }}1\leq t<\infty ;\end{cases}}}$

dónde

${\displaystyle f_{s}(x)=\operatorname {E} f(x+W_{s})=\int f(x+y){\frac {1}{\sqrt {2\pi s}}}\mathrm {e} ^{-y^{2}/(2s)}\,dy.}$

La función delta de Dirac (estrictamente hablando, no es una función), utilizada en lugar de conduce a un proceso definido informalmente y formalmente como ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle Y_{t}=\operatorname {E} (\delta (W_{1})\mid F_{t})}$

${\displaystyle Y_{t}={\begin{cases}\delta _{1-t}(W_{t})&{\text{for }}0\leq t<1,\\0&{\text{for }}1\leq t<\infty ,\end{cases}}}$

dónde

${\displaystyle \delta _{s}(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi s}}}\mathrm {e} ^{-x^{2}/(2s)}.}$

El proceso es continuo casi con seguridad (ya que casi con seguridad), sin embargo, su expectativa es discontinua, ${\displaystyle Y_{t}}$ ${\displaystyle W_{1}\neq 0}$

${\displaystyle \operatorname {E} Y_{t}={\begin{cases}1/{\sqrt {2\pi }}&{\text{for }}0\leq t<1,\\0&{\text{for }}1\leq t<\infty .\end{cases}}}$

Este proceso no es una martingala. Sin embargo, es una martingala local. Se puede elegir una secuencia de localización como ${\displaystyle \tau _{k}=\min\{t:Y_{t}=k\}.}$

Ejemplo 3

Sea el proceso de Wiener de valor complejo , y ${\displaystyle Z_{t}}$

${\displaystyle X_{t}=\ln |Z_{t}-1|\,.}$

El proceso es continuo casi con seguridad (ya que no llega a 1, casi con seguridad), y es una martingala local, ya que la función es armónica (en el plano complejo sin el punto 1). Se puede elegir una secuencia de localización como Sin embargo, la expectativa de este proceso no es constante; además, ${\displaystyle X_{t}}$ ${\displaystyle Z_{t}}$ ${\displaystyle u\mapsto \ln |u-1|}$ ${\displaystyle \tau _{k}=\min\{t:X_{t}=-k\}.}$

${\displaystyle \operatorname {E} X_{t}\to \infty }$   como ${\displaystyle t\to \infty ,}$

lo cual se puede deducir del hecho de que el valor medio de sobre el círculo tiende al infinito como . (De hecho, es igual a para r ≥ 1 pero a 0 para r ≤ 1). ${\displaystyle \ln |u-1|}$ ${\displaystyle |u|=r}$ ${\displaystyle r\to \infty }$ ${\displaystyle \ln r}$

Martingalas a través de martingalas locales

Sea una martingala local. Para demostrar que es una martingala basta demostrar que en L 1 (as ) para cada t , es decir, aquí está el proceso detenido. La relación dada implica eso casi con seguridad. El teorema de convergencia dominada asegura la convergencia en L ¹ siempre que ${\displaystyle M_{t}}$ ${\displaystyle M_{t}^{\tau _{k}}\to M_{t}}$ ${\displaystyle k\to \infty }$ ${\displaystyle \operatorname {E} |M_{t}^{\tau _{k}}-M_{t}|\to 0;}$ ${\displaystyle M_{t}^{\tau _{k}}=M_{t\wedge \tau _{k}}}$ ${\displaystyle \tau _{k}\to \infty }$ ${\displaystyle M_{t}^{\tau _{k}}\to M_{t}}$

${\displaystyle \textstyle (*)\quad \operatorname {E} \sup _{k}|M_{t}^{\tau _{k}}|<\infty }$    por cada t .

Por tanto, la Condición (*) es suficiente para que una martingala local sea una martingala. Una condición más fuerte ${\displaystyle M_{t}}$

${\displaystyle \textstyle (**)\quad \operatorname {E} \sup _{s\in [0,t]}|M_{s}|<\infty }$    por cada t

también es suficiente.

Precaución. La condición más débil

${\displaystyle \textstyle \sup _{s\in [0,t]}\operatorname {E} |M_{s}|<\infty }$    por cada t

No es suficiente. Es más, la condición

${\displaystyle \textstyle \sup _{t\in [0,\infty )}\operatorname {E} \mathrm {e} ^{|M_{t}|}<\infty }$

todavía no es suficiente; para ver un contraejemplo, consulte el Ejemplo 3 anterior.

Un caso especial:

${\displaystyle \textstyle M_{t}=f(t,W_{t}),}$

donde es el proceso de Wiener y es dos veces diferenciable de forma continua . El proceso es una martingala local si y sólo si f satisface la PDE ${\displaystyle W_{t}}$ ${\displaystyle f:[0,\infty )\times \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle M_{t}}$

${\displaystyle {\Big (}{\frac {\partial }{\partial t}}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}{\Big )}f(t,x)=0.}$

Sin embargo, esta PDE en sí misma no garantiza que sea una martingala. Para aplicar (**) es suficiente la siguiente condición en f : para cada y t existe tal que ${\displaystyle M_{t}}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle C=C(\varepsilon ,t)}$

${\displaystyle \textstyle |f(s,x)|\leq C\mathrm {e} ^{\varepsilon x^{2}}}$

para todos y ${\displaystyle s\in [0,t]}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} .}$

Detalles técnicos

1. Para los tiempos anteriores a 1 es una martingala ya que lo es un movimiento browniano detenido. Después del instante 1 es constante. Queda por comprobarlo en el instante 1. Según el teorema de convergencia acotada, la expectativa en 1 es el límite de la expectativa en ( n -1)/ n (ya que n tiende al infinito), y esta última no depende de n . El mismo argumento se aplica a la expectativa condicional. ^{[ impreciso ]}

Referencias

• Øksendal, Bernt K. (2003). Ecuaciones diferenciales estocásticas: una introducción con aplicaciones (Sexta ed.). Berlín: Springer. ISBN 3-540-04758-1.