Excursión browniana

Proceso estocástico

Una realización de la excursión browniana.

En teoría de la probabilidad, un proceso de excursión browniana es un proceso estocástico que está estrechamente relacionado con un proceso de Wiener (o movimiento browniano ). Las realizaciones de los procesos de excursión browniana son esencialmente solo realizaciones de un proceso de Wiener seleccionado para satisfacer ciertas condiciones. En particular, un proceso de excursión browniana es un proceso de Wiener condicionado para ser positivo y tomar el valor 0 en el tiempo 1. Alternativamente, es un proceso de puente browniano condicionado para ser positivo. Los BEP son importantes porque, entre otras razones, surgen naturalmente como el proceso límite de una serie de teoremas de límite central funcional condicional. ^[1]

Definición

Un proceso de excursión browniana, , es un proceso de Wiener (o movimiento browniano ) condicionado para ser positivo y tomar el valor 0 en el tiempo 1. Alternativamente, es un proceso de puente browniano condicionado para ser positivo. ${\displaystyle e}$

Otra representación de una excursión browniana en términos de un proceso de movimiento browniano W (debida a Paul Lévy y notada por Kiyosi Itô y Henry P. McKean, Jr. ^[2] ) es en términos de la última vez que W llega a cero antes del tiempo 1 y la primera vez que el movimiento browniano llega a cero después del tiempo 1: ^[2] ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle \tau _{-}}$ ${\displaystyle \tau _{+}}$ ${\displaystyle W}$

${\displaystyle \{e(t):\ {0\leq t\leq 1}\}\ {\stackrel {d}{=}}\ \left\{{\frac {|W((1-t)\tau _{-}+t\tau _{+})|}{\sqrt {\tau _{+}-\tau _{-}}}}:\ 0\leq t\leq 1\right\}.}$

Sea el tiempo en el que un proceso de puente browniano alcanza su mínimo en [0, 1]. Vervaat (1979) demuestra que ${\displaystyle \tau _{m}}$ ${\displaystyle W_{0}}$

${\displaystyle \{e(t):\ {0\leq t\leq 1}\}\ {\stackrel {d}{=}}\ \left\{W_{0}(\tau _{m}+t{\bmod {1}})-W_{0}(\tau _{m}):\ 0\leq t\leq 1\right\}.}$

Propiedades

La representación de Vervaat de una excursión browniana tiene varias consecuencias para varias funciones de . En particular: ${\displaystyle e}$

${\displaystyle M_{+}\equiv \sup _{0\leq t\leq 1}e(t)\ {\stackrel {d}{=}}\ \sup _{0\leq t\leq 1}W_{0}(t)-\inf _{0\leq t\leq 1}W_{0}(t),}$

(esto también se puede derivar mediante cálculos explícitos ^{[3] [4]} ) y

${\displaystyle \int _{0}^{1}e(t)\,dt\ {\stackrel {d}{=}}\ \int _{0}^{1}W_{0}(t)\,dt-\inf _{0\leq t\leq 1}W_{0}(t).}$

Se cumple el siguiente resultado: ^[5]

${\displaystyle EM_{+}={\sqrt {\pi /2}}\approx 1.25331\ldots ,\,}$

y los siguientes valores para el segundo momento y varianza se pueden calcular mediante la forma exacta de la distribución y densidad: ^[5]

${\displaystyle EM_{+}^{2}\approx 1.64493\ldots \ ,\ \ \operatorname {Var} (M_{+})\approx 0.0741337\ldots .}$

Groeneboom (1989), Lema 4.2, proporciona una expresión para la transformada de Laplace de (la densidad) de . Louchard (1984) proporciona una fórmula para una determinada transformada doble de la distribución de esta integral de área. ${\displaystyle \int _{0}^{1}e(t)\,dt}$

Groeneboom (1983) y Pitman (1983) dan descomposiciones del movimiento browniano en términos de excursiones brownianas iid y el majorante menos cóncavo (o el minorante convexo más grande) de . ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle W}$

Para una introducción a la teoría general de excursiones brownianas de Itô y al proceso de excursiones de Poisson de Itô , véase Revuz y Yor (1994), capítulo XII.

Conexiones y aplicaciones

La zona de excursión browniana

${\displaystyle A_{+}\equiv \int _{0}^{1}e(t)\,dt}$

surge en conexión con la enumeración de gráficos conexos, muchos otros problemas en la teoría combinatoria; véase, por ejemplo, ^{[6] [7] [8] [9] [10]} y la distribución límite de los números de Betti de ciertas variedades en la teoría de la cohomología. ^[11] Takacs (1991a) muestra que tiene densidad ${\displaystyle A_{+}}$

${\displaystyle f_{A_{+}}(x)={\frac {2{\sqrt {6}}}{x^{2}}}\sum _{j=1}^{\infty }v_{j}^{2/3}e^{-v_{j}}U\left(-{\frac {5}{6}},{\frac {4}{3}};v_{j}\right)\ \ {\text{ with }}\ \ v_{j}={\frac {2|a_{j}|^{3}}{27x^{2}}}}$

donde son los ceros de la función de Airy y es la función hipergeométrica confluente . Janson y Louchard (2007) demuestran que ${\displaystyle a_{j}}$ ${\displaystyle U}$

${\displaystyle f_{A_{+}}(x)\sim {\frac {72{\sqrt {6}}}{\sqrt {\pi }}}x^{2}e^{-6x^{2}}\ \ {\text{ as }}\ \ x\rightarrow \infty ,}$

y

${\displaystyle P(A_{+}>x)\sim {\frac {6{\sqrt {6}}}{\sqrt {\pi }}}xe^{-6x^{2}}\ \ {\text{ as }}\ \ x\rightarrow \infty .}$

También dan expansiones de orden superior en ambos casos.

Janson (2007) ofrece momentos de y muchas otras funciones del área. En particular, ${\displaystyle A_{+}}$

${\displaystyle E(A_{+})={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}},\ \ E(A_{+}^{2})={\frac {5}{12}}\approx 0.416666\ldots ,\ \ \operatorname {Var} (A_{+})={\frac {5}{12}}-{\frac {\pi }{8}}\approx .0239675\ldots \ .}$

Las excursiones brownianas también surgen en relación con problemas de colas, ^[12] tráfico ferroviario, ^{[13] [14]} y las alturas de árboles binarios con raíces aleatorias. ^[15]

Procesos relacionados

• Puente browniano
• Meandro browniano
• movimiento browniano reflejado
• movimiento browniano sesgado

Notas

1. Durrett, Iglehart: Funcionales del meandro browniano y la excursión browniana, (1975)
2. Itô y McKean (1974, página 75)
3. Chung (1976)
4. Kennedy (1976)
5. Durrett e Iglehart (1977)
6. Wright, EM (1977). "El número de grafos conexos de aristas dispersas". Journal of Graph Theory . 1 (4): 317–330. doi :10.1002/jgt.3190010407.
7. Wright, EM (1980). "El número de grafos conexos de aristas dispersas. III. Resultados asintóticos". Journal of Graph Theory . 4 (4): 393–407. doi :10.1002/jgt.3190040409.
8. Spencer J (1997). "Enumeración de gráficos y movimiento browniano". Communications on Pure and Applied Mathematics . 50 (3): 291–294. doi :10.1002/(sici)1097-0312(199703)50:3<291::aid-cpa4>3.0.co;2-6.
9. Janson, Svante (2007). "Área de excursión browniana, constantes de Wright en la enumeración de grafos y otras áreas brownianas". Probability Surveys . 4 : 80–145. arXiv : 0704.2289 . Código Bibliográfico :2007arXiv0704.2289J. doi :10.1214/07-PS104. S2CID  14563292.
10. Flajolet, P.; Louchard, G. (2001). "Variaciones analíticas de la distribución de Airy". Algorithmica . 31 (3): 361–377. CiteSeerX 10.1.1.27.3450 . doi :10.1007/s00453-001-0056-0. S2CID  6522038. 
11. Reineke M (2005). "Cohomología de esquemas de Hilbert no conmutativos". Álgebras y teoría de la representación . 8 (4): 541–561. arXiv : math/0306185 . doi :10.1007/s10468-005-8762-y. S2CID  116587916.
12. Iglehart DL (1974). "Teoremas funcionales del límite central para paseos aleatorios condicionados a permanecer positivos". Anales de probabilidad . 2 (4): 608–619. doi : 10.1214/aop/1176996607 .
13. Takacs L (1991a). "Una excursión de Bernoulli y sus diversas aplicaciones". Avances en probabilidad aplicada . 23 (3): 557–585. doi :10.1017/s0001867800023739.
14. Takacs L (1991b). "Sobre un problema de probabilidad relacionado con el tráfico ferroviario". Revista de Matemáticas Aplicadas y Análisis Estocástico . 4 : 263–292. doi : 10.1155/S1048953391000011 .
15. Takacs L (1994). "Sobre las alturas totales de árboles binarios con raíces aleatorias". Journal of Combinatorial Theory, Serie B . 61 (2): 155–166. doi : 10.1006/jctb.1994.1041 .

Referencias

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• Levy, Paul (1948). Processus Stochastiques et Mouvement Brownien . Gauthier-Villars, París. SEÑOR  0029120.
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• Revuz, Daniel; Yor, Marc (2004). Martingalas continuas y movimiento browniano . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. vol. 293. Springer-Verlag, Berlín. doi :10.1007/978-3-662-06400-9. ISBN 978-3-642-08400-3.Señor 1725357  .
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