puente browniano

Un proceso en física.

Movimiento browniano, inmovilizado en ambos extremos. Esto representa un puente browniano.

Un puente browniano es un proceso estocástico de tiempo continuo B ( t ) cuya distribución de probabilidad es la distribución de probabilidad condicional de un proceso de Wiener estándar W ( t ) (un modelo matemático del movimiento browniano ) sujeto a la condición (cuando está estandarizado) de que W ( T ) = 0, de modo que el proceso se fija al mismo valor tanto en t  = 0 como en t  =  T. Más precisamente:

${\displaystyle B_{t}:=(W_{t}\mid W_{T}=0),\;t\in [0,T]}$

El valor esperado del puente en cualquier t en el intervalo [0, T ] es cero, con varianza , lo que implica que la mayor incertidumbre está en el medio del puente, con incertidumbre cero en los nodos. La covarianza de B ( s ) y B ( t ) es , o s (T −  t )/T si s  <  t . Los incrementos en un puente browniano no son independientes. ${\displaystyle \textstyle {\frac {t(T-t)}{T}}}$ ${\displaystyle \min(s,t)-{\frac {s\,t}{T}}}$

Relación con otros procesos estocásticos

Si W ( t ) es un proceso de Wiener estándar (es decir, para t  ≥ 0, W ( t ) se distribuye normalmente con valor esperado 0 y varianza t , y los incrementos son estacionarios e independientes ), entonces

${\displaystyle B(t)=W(t)-{\frac {t}{T}}W(T)\,}$

es un puente browniano para t  ∈ [0,  T ]. Es independiente de W ( T ) ^[1]

Por el contrario, si B ( t ) es un puente browniano y Z es una variable aleatoria normal estándar independiente de B , entonces el proceso

${\displaystyle W(t)=B(t)+tZ\,}$

es un proceso de Wiener para t  ∈ [0, 1]. De manera más general, un proceso de Wiener W ( t ) para t  ∈ [0,  T ] se puede descomponer en

${\displaystyle W(t)={\sqrt {T}}B\left({\frac {t}{T}}\right)+{\frac {t}{\sqrt {T}}}Z.}$

Otra representación del puente browniano basada en el movimiento browniano es, para t  ∈ [0,  T ]

${\displaystyle B(t)={\frac {T-t}{\sqrt {T}}}W\left({\frac {t}{T-t}}\right).}$

Por el contrario, para t  ∈ [0, ∞]

${\displaystyle W(t)={\frac {T+t}{T}}B\left({\frac {Tt}{T+t}}\right).}$

El puente browniano también se puede representar como una serie de Fourier con coeficientes estocásticos, como

${\displaystyle B_{t}=\sum _{k=1}^{\infty }Z_{k}{\frac {{\sqrt {2T}}\sin(k\pi t/T)}{k\pi }}}$

donde son variables aleatorias normales estándar independientes distribuidas idénticamente (ver el teorema de Karhunen-Loève ). ${\displaystyle Z_{1},Z_{2},\ldots }$

Un puente browniano es el resultado del teorema de Donsker en el ámbito de los procesos empíricos . También se utiliza en la prueba de Kolmogorov-Smirnov en el área de inferencia estadística .

Comentarios intuitivos

Un proceso Wiener estándar satisface W (0) = 0 y, por lo tanto, está "atado" al origen, pero otros puntos no están restringidos. Por otro lado, en un proceso de puente browniano, no solo B (0) = 0 sino que también requerimos que B ( T ) = 0, es decir, el proceso también esté "atado" en t = T. Así como un puente literal está sostenido por pilones en ambos extremos, se requiere un puente browniano para satisfacer las condiciones en ambos extremos del intervalo [0, T ]. (En una ligera generalización, a veces se requiere B ( t ₁ ) =  a y B ( t ₂ ) =  b donde t ₁ , t ₂ , a y b son constantes conocidas.)

Supongamos que hemos generado una serie de puntos W (0), W (1), W (2), W (3), etc. de una ruta de proceso de Wiener mediante simulación por computadora. Ahora se desea completar puntos adicionales en el intervalo [0, T ], es decir interpolar entre los puntos ya generados W (0) y W ( T ). La solución es utilizar un puente browniano que se requiere para pasar por los valores W (0) y W ( T ).

Caso general

Para el caso general cuando B ( t ₁ ) = a y B ( t ₂ ) = b , la distribución de B en el momento t  ∈ ( t ₁ ,  t ₂ ) es normal , con media

${\displaystyle a+{\frac {t-t_{1}}{t_{2}-t_{1}}}(b-a)}$

y varianza

${\displaystyle {\frac {(t_{2}-t)(t-t_{1})}{t_{2}-t_{1}}},}$

y la covarianza entre B ( s ) y B ( t ), con s  <  t es

${\displaystyle {\frac {(t_{2}-t)(s-t_{1})}{t_{2}-t_{1}}}.}$

Referencias

1. Aspectos del movimiento browniano, Springer, 2008, R. Mansuy, M. Yor página 2

• Glasserman, Paul (2004). Métodos Monte Carlo en Ingeniería Financiera . Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-00451-3.
• Revuz, Daniel; Yor, Marc (1999). Martingalas continuas y movimiento browniano (2ª ed.). Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 3-540-57622-3.