Teorema de duplicación de dimensión

En teoría de probabilidad , los teoremas de duplicación de dimensión son dos resultados sobre la dimensión de Hausdorff de una imagen de un movimiento browniano . En esencia, ambos enunciados dicen que la dimensión de un conjunto sometido a un movimiento browniano se duplica casi con toda seguridad . ${\displaystyle A}$

El primer resultado se debe a Henry P. McKean Jr. y, por lo tanto, se lo denomina teorema de McKean (1955). El segundo teorema es un refinamiento del resultado de McKean y se lo denomina teorema de Kaufman (1969), ya que fue demostrado por Robert Kaufman. ^{[1] [2]}

Teoremas de duplicación de dimensión

Para un movimiento browniano -dimensional y un conjunto definimos la imagen de bajo , es decir ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle W(t)}$ ${\displaystyle A\subset [0,\infty )}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle W}$

${\displaystyle W(A):=\{W(t):t\in A\}\subset \mathbb {R} ^{d}.}$

Teorema de McKean

Sea un movimiento browniano de dimensión . Sea , entonces ${\displaystyle W(t)}$ ${\displaystyle d\geq 2}$ ${\displaystyle A\subset [0,\infty )}$

${\displaystyle \dim W(A)=2\dim A}$

${\displaystyle P}$-Casi seguro.

Teorema de Kaufman

Sea un movimiento browniano de dimensión . Entonces , casi con seguridad, para cualquier conjunto , tenemos ${\displaystyle W(t)}$ ${\displaystyle d\geq 2}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle A\subset [0,\infty )}$

${\displaystyle \dim W(A)=2\dim A.}$

Diferencia de los teoremas

La diferencia entre los teoremas es la siguiente: en el resultado de McKean, los conjuntos nulos , donde la afirmación no es verdadera, dependen de la elección de . El resultado de Kaufman, por otra parte, es verdadero para todas las elecciones de simultáneamente. Esto significa que el teorema de Kaufman también se puede aplicar a conjuntos aleatorios . ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

Literatura

• Mörters, Peter; Peres, Yuval (2010). Movimiento browniano . Cambridge: Cambridge University Press. pág. 279.
• Schilling, René L.; Partzsch, Lothar (2014). Movimiento browniano . De Gruyter. pag. 169.

Referencias

1. Kaufman, Robert (1969). "Une propriété métrique du mouvement brownien". CR Acad. Ciencia. París . 268 : 727–728.
2. Mörters, Peter; Peres, Yuval (2010). Movimiento browniano . Cambridge: Cambridge University Press. pág. 279.