Incrementos independientes

En teoría de probabilidad , los incrementos independientes son una propiedad de los procesos estocásticos y las medidas aleatorias . La mayoría de las veces, un proceso o medida aleatoria tiene incrementos independientes por definición, lo que subraya su importancia. Algunos de los procesos estocásticos que por definición poseen incrementos independientes son el proceso de Wiener , todos los procesos de Lévy , todos los procesos aditivos ^[1] y el proceso puntual de Poisson .

Definición de procesos estocásticos

Sea un proceso estocástico . En la mayoría de los casos, o . Entonces el proceso estocástico tiene incrementos independientes si y solo si para cada y cualquier elección con ${\displaystyle (X_{t})_{t\in T}}$ ${\displaystyle T=\mathbb {N} }$ ${\displaystyle T=\mathbb {R} ^{+}}$ ${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle t_{0},t_{1},t_{2},\dots ,t_{m-1},t_{m}\in T}$

${\displaystyle t_{0}<t_{1}<t_{2}<\dots <t_{m}}$

Las variables aleatorias

${\displaystyle (X_{t_{1}}-X_{t_{0}}),(X_{t_{2}}-X_{t_{1}}),\dots ,(X_{t_{m}}-X_{t_{m-1}})}$

son estocásticamente independientes . ^[2]

Definición de medidas aleatorias

Una medida aleatoria tiene incrementos independientes si y sólo si las variables aleatorias son estocásticamente independientes para cada selección de conjuntos medibles disjuntos por pares y cada . ^[3] ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \xi (B_{1}),\xi (B_{2}),\dots ,\xi (B_{m})}$ ${\displaystyle B_{1},B_{2},\dots ,B_{m}}$ ${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$

Incrementos S independientes

Sea una medida aleatoria en y defina para cada conjunto medible acotado la medida aleatoria en como ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle S\times T}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \xi _{B}}$ ${\displaystyle T}$

${\displaystyle \xi _{B}(\cdot ):=\xi (B\times \cdot )}$

Entonces se llama una medida aleatoria con incrementos S independientes , si para todos los conjuntos acotados y todas las medidas aleatorias son independientes. ^[4] ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle B_{1},B_{2},\dots ,B_{n}}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \xi _{B_{1}},\xi _{B_{2}},\dots ,\xi _{B_{n}}}$

Solicitud

Los incrementos independientes son una propiedad básica de muchos procesos estocásticos y a menudo se incorporan en su definición. La noción de incrementos independientes e incrementos S independientes de medidas aleatorias desempeña un papel importante en la caracterización del proceso puntual de Poisson y la divisibilidad infinita.

Referencias

1. Sato, Ken-Ito (1999). Procesos de Lévy y distribuciones infinitamente divisibles . Cambridge University Press. pp. 31–68. ISBN 9780521553025.
2. Klenke, Achim (2008). Probability Theory . Berlín: Springer. pág. 190. doi :10.1007/978-1-84800-048-3. ISBN 978-1-84800-047-6.
3. Klenke, Achim (2008). Probability Theory . Berlín: Springer. pág. 527. doi :10.1007/978-1-84800-048-3. ISBN 978-1-84800-047-6.
4. Kallenberg, Olav (2017). Medidas aleatorias, teoría y aplicaciones . Suiza: Springer. p. 87. doi :10.1007/978-3-319-41598-7. ISBN  978-3-319-41596-3.