Distribución media normal

Distribución de probabilidad

En teoría de probabilidad y estadística, la distribución seminormal es un caso especial de distribución normal plegada .

Sigamos una distribución normal ordinaria , . Luego sigue una distribución seminormal. Por tanto, la distribución seminormal es un pliegue de la media de una distribución normal ordinaria con media cero. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle N(0,\sigma ^{2})}$ ${\displaystyle Y=|X|}$

Propiedades

Utilizando la parametrización de la distribución normal, la función de densidad de probabilidad (PDF) de la mitad normal viene dada por ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle f_{Y}(y;\sigma )={\frac {\sqrt {2}}{\sigma {\sqrt {\pi }}}}\exp \left(-{\frac {y^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\quad y\geq 0,}$

dónde . ${\displaystyle E[Y]=\mu ={\frac {\sigma {\sqrt {2}}}{\sqrt {\pi }}}}$

Alternativamente, utilizando una parametrización de precisión escalada (inversa de la varianza) (para evitar problemas si está cerca de cero), obtenida estableciendo , la función de densidad de probabilidad viene dada por ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \theta ={\frac {\sqrt {\pi }}{\sigma {\sqrt {2}}}}}$

${\displaystyle f_{Y}(y;\theta )={\frac {2\theta }{\pi }}\exp \left(-{\frac {y^{2}\theta ^{2}}{\pi }}\right)\quad y\geq 0,}$

dónde . ${\displaystyle E[Y]=\mu ={\frac {1}{\theta }}}$

La función de distribución acumulativa (CDF) viene dada por

${\displaystyle F_{Y}(y;\sigma )=\int _{0}^{y}{\frac {1}{\sigma }}{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\,\exp \left(-{\frac {x^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\,dx}$

Usando el cambio de variables , el CDF se puede escribir como ${\displaystyle z=x/({\sqrt {2}}\sigma )}$

${\displaystyle F_{Y}(y;\sigma )={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\,\int _{0}^{y/({\sqrt {2}}\sigma )}\exp \left(-z^{2}\right)dz=\operatorname {erf} \left({\frac {y}{{\sqrt {2}}\sigma }}\right),}$

donde erf es la función de error , una función estándar en muchos paquetes de software matemático.

La función cuantil (o CDF inversa) se escribe:

${\displaystyle Q(F;\sigma )=\sigma {\sqrt {2}}\operatorname {erf} ^{-1}(F)}$

donde y es la función de error inversa ${\displaystyle 0\leq F\leq 1}$ ${\displaystyle \operatorname {erf} ^{-1}}$

La expectativa entonces está dada por

${\displaystyle E[Y]=\sigma {\sqrt {2/\pi }},}$

La varianza está dada por

${\displaystyle \operatorname {var} (Y)=\sigma ^{2}\left(1-{\frac {2}{\pi }}\right).}$

Dado que esto es proporcional a la varianza σ ² de X , σ puede verse como un parámetro de escala de la nueva distribución.

La entropía diferencial de la distribución seminormal es exactamente un bit menos que la entropía diferencial de una distribución normal de media cero con el mismo segundo momento alrededor de 0. Esto puede entenderse intuitivamente ya que el operador de magnitud reduce la información en un bit (si la probabilidad la distribución en su entrada es uniforme). Alternativamente, dado que una distribución seminormal siempre es positiva, el bit que se necesitaría para registrar si una variable aleatoria normal estándar era positiva (digamos, un 1) o negativa (digamos, un 0) ya no es necesario. De este modo,

${\displaystyle h(Y)={\frac {1}{2}}\log _{2}\left({\frac {\pi e\sigma ^{2}}{2}}\right)={\frac {1}{2}}\log _{2}\left(2\pi e\sigma ^{2}\right)-1.}$

Aplicaciones

La distribución seminormal se utiliza comúnmente como distribución de probabilidad previa para parámetros de varianza en aplicaciones de inferencia bayesiana . ^{[1] [2]}

Estimación de parámetros

Dados números extraídos de una distribución seminormal, el parámetro desconocido de esa distribución se puede estimar mediante el método de máxima verosimilitud , dando ${\displaystyle \{x_{i}\}_{i=1}^{n}}$ ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle {\hat {\sigma }}={\sqrt {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}}}}$

El sesgo es igual a

${\displaystyle b\equiv \operatorname {E} {\bigg [}\;({\hat {\sigma }}_{\mathrm {mle} }-\sigma )\;{\bigg ]}=-{\frac {\sigma }{4n}}}$

lo que produce el estimador de máxima verosimilitud corregido por el sesgo

${\displaystyle {\hat {\sigma \,}}_{\text{mle}}^{*}={\hat {\sigma \,}}_{\text{mle}}-{\hat {b\,}}.}$

Distribuciones relacionadas

• La distribución es un caso especial de la distribución normal plegada con μ  = 0.
• También coincide con una distribución normal de media cero truncada desde abajo en cero (ver distribución normal truncada )
• Si Y tiene una distribución seminormal, entonces ( Y / σ ) ² tiene una distribución chi cuadrado con 1 grado de libertad, es decir, Y / σ tiene una distribución chi con 1 grado de libertad.
• La distribución seminormal es un caso especial de la distribución gamma generalizada con d  = 1, p  = 2, a  =  . ${\displaystyle {\sqrt {2}}\sigma }$
• Si Y tiene una distribución seminormal, Y ^-2 tiene una distribución de Levy
• La distribución de Rayleigh es una generalización escalada y con momento inclinado de la distribución seminormal.
• La distribución seminormal modificada ^[3] con la pdf activada se proporciona como , donde denota la función Psi de Fox-Wright . ${\displaystyle (0,\infty )}$ ${\displaystyle f(x)={\frac {2\beta ^{\frac {\alpha }{2}}x^{\alpha -1}\exp(-\beta x^{2}+\gamma x)}{\Psi {\left({\frac {\alpha }{2}},{\frac {\gamma }{\sqrt {\beta }}}\right)}}}}$ ${\displaystyle \Psi (\alpha ,z)={}_{1}\Psi _{1}\left({\begin{matrix}\left(\alpha ,{\frac {1}{2}}\right)\\(1,0)\end{matrix}};z\right)}$

Ver también

• Distribución media t
• Distribución normal truncada
• Distribución normal plegada
• Distribución gaussiana rectificada

Referencias

1. Gelman, A. (2006), "Distribuciones previas de parámetros de varianza en modelos jerárquicos", Análisis bayesiano , 1 (3): 515–534, doi : 10.1214/06-ba117a
2. Rover, C.; Bender, R.; Días, S.; Schmid, CH; Schmidli, H.; Sturtz, S.; Weber, S.; Friede, T. (2021), "Sobre distribuciones previas débilmente informativas para el parámetro de heterogeneidad en el metanálisis bayesiano de efectos aleatorios", Research Synthesis Methods , 12 (4): 448–474, arXiv : 2007.08352 , doi : 10.1002/jrsm .1475, PMID  33486828, S2CID  220546288
3. Sol, Jingchao; Kong, Maiying; Pal, Subhadip (22 de junio de 2021). "La distribución seminormal modificada: propiedades y un esquema de muestreo eficiente". Comunicaciones en Estadística - Teoría y Métodos . 52 (5): 1591-1613. doi :10.1080/03610926.2021.1934700. ISSN  0361-0926. S2CID  237919587.

Otras lecturas

• Leona, FC; Nelson, LS; Nottingham, RB (1961), "La distribución normal plegada", Technometrics , 3 (4): 543–550, doi :10.2307/1266560, hdl : 2027/mdp.39015095248541 , JSTOR  1266560

enlaces externos

• Distribución medio normal en MathWorld

(tenga en cuenta que MathWorld usa el parámetro ${\displaystyle \theta ={\frac {1}{\sigma }}{\sqrt {\pi /2}}}$