Distribución gamma generalizada

Distribución de probabilidad

La distribución gamma generalizada es una distribución de probabilidad continua con dos parámetros de forma (y un parámetro de escala ). Es una generalización de la distribución gamma que tiene un parámetro de forma (y un parámetro de escala). Dado que muchas distribuciones comúnmente utilizadas para modelos paramétricos en análisis de supervivencia (como la distribución exponencial , la distribución de Weibull y la distribución gamma ) son casos especiales de gamma generalizada, a veces se usa para determinar qué modelo paramétrico es apropiado para un conjunto dado de datos. ^[1] Otro ejemplo es la distribución medio normal .

Características

La distribución gamma generalizada tiene dos parámetros de forma , y , y un parámetro de escala ,. Para x no negativo de una distribución gamma generalizada, la función de densidad de probabilidad es ^[2] ${\displaystyle d>0}$ ${\displaystyle p>0}$ ${\displaystyle a>0}$

${\displaystyle f(x;a,d,p)={\frac {(p/a^{d})x^{d-1}e^{-(x/a)^{p}}}{\Gamma (d/p)}},}$

donde denota la función gamma . ${\displaystyle \Gamma (\cdot )}$

La función de distribución acumulativa es

${\displaystyle F(x;a,d,p)={\frac {\gamma (d/p,(x/a)^{p})}{\Gamma (d/p)}},{\text{or}}\,P\left({\frac {d}{p}},\left({\frac {x}{a}}\right)^{p}\right);}$

donde denota la función gamma incompleta inferior y denota la función gamma incompleta inferior regularizada . ${\displaystyle \gamma (\cdot )}$ ${\displaystyle P(\cdot ,\cdot )}$

La función cuantil se puede encontrar observando que dónde está la función de distribución acumulativa de la distribución gamma con parámetros y . Luego, la función cuantil se obtiene invirtiendo utilizando relaciones conocidas sobre la inversa de funciones compuestas , lo que produce: ${\displaystyle F(x;a,d,p)=G((x/a)^{p})}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \alpha =d/p}$ ${\displaystyle \beta =1}$ ${\displaystyle F}$

${\displaystyle F^{-1}(q;a,d,p)=a\cdot {\big [}G^{-1}(q){\big ]}^{1/p},}$

siendo la función cuantil para una distribución gamma con . ${\displaystyle G^{-1}(q)}$ ${\displaystyle \alpha =d/p,\,\beta =1}$

Distribuciones relacionadas

• Si entonces la distribución gamma generalizada se convierte en la distribución de Weibull . ${\displaystyle d=p}$
• Si la gamma generalizada se convierte en la distribución gamma . ${\displaystyle p=1}$
• Si entonces se convierte en la distribución exponencial . ${\displaystyle p=d=1}$
• Si entonces se convierte en la distribución de Rayleigh . ${\displaystyle p=d=2}$
• En ese caso, se convierte en la distribución Nakagami . ${\displaystyle p=2}$ ${\displaystyle d=2m}$
• En ese caso , se convierte en una distribución medio normal . ${\displaystyle p=2}$ ${\displaystyle d=1}$

A veces se utilizan parametrizaciones alternativas de esta distribución; por ejemplo con la sustitución α = d/p . ^[3] Además, se puede agregar un parámetro de desplazamiento, de modo que el dominio de x comience en algún valor distinto de cero. ^[3] Si las restricciones sobre los signos de a , d y p también se eliminan (pero α = d / p sigue siendo positivo), se obtiene una distribución llamada distribución Amoroso , en honor al matemático y economista italiano Luigi Amoroso , quien la describió en 1925. ^[4]

Momentos

Si X tiene una distribución gamma generalizada como la anterior, entonces ^[3]

${\displaystyle \operatorname {E} (X^{r})=a^{r}{\frac {\Gamma ({\frac {d+r}{p}})}{\Gamma ({\frac {d}{p}})}}.}$

Propiedades

Denotemos GG(a,d,p) como la distribución gamma generalizada de los parámetros a , d , p . Entonces, dados y dos números reales positivos, si , entonces y . ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle f\sim GG(a,d,p)}$ ${\displaystyle cf\sim GG(ca,d,p)}$ ${\displaystyle f^{\alpha }\sim GG\left(a^{\alpha },{\frac {d}{\alpha }},{\frac {p}{\alpha }}\right)}$

Divergencia Kullback-Leibler

Si y son las funciones de densidad de probabilidad de dos distribuciones gamma generalizadas, entonces su divergencia de Kullback-Leibler viene dada por ${\displaystyle f_{1}}$ ${\displaystyle f_{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}D_{KL}(f_{1}\parallel f_{2})&=\int _{0}^{\infty }f_{1}(x;a_{1},d_{1},p_{1})\,\ln {\frac {f_{1}(x;a_{1},d_{1},p_{1})}{f_{2}(x;a_{2},d_{2},p_{2})}}\,dx\\&=\ln {\frac {p_{1}\,a_{2}^{d_{2}}\,\Gamma \left(d_{2}/p_{2}\right)}{p_{2}\,a_{1}^{d_{1}}\,\Gamma \left(d_{1}/p_{1}\right)}}+\left[{\frac {\psi \left(d_{1}/p_{1}\right)}{p_{1}}}+\ln a_{1}\right](d_{1}-d_{2})+{\frac {\Gamma {\bigl (}(d_{1}+p_{2})/p_{1}{\bigr )}}{\Gamma \left(d_{1}/p_{1}\right)}}\left({\frac {a_{1}}{a_{2}}}\right)^{p_{2}}-{\frac {d_{1}}{p_{1}}}\end{aligned}}}$

¿Dónde está la función digamma ? ^[5] ${\displaystyle \psi (\cdot )}$

Implementación de software

En el lenguaje de programación R , existen algunos paquetes que incluyen funciones para ajustar y generar distribuciones gamma generalizadas. El paquete gamlss en R permite ajustar y generar muchas familias de distribución diferentes, incluida la gamma generalizada (familia=GG). Otras opciones en R, implementadas en el paquete flexsurv , incluyen la función dgengamma , con parametrización: , , , y en el paquete ggamma con parametrización: , , . ${\displaystyle \mu =\ln a+{\frac {\ln d-\ln p}{p}}}$ ${\displaystyle \sigma ={\frac {1}{\sqrt {pd}}}}$ ${\displaystyle Q={\sqrt {\frac {p}{d}}}}$ ${\displaystyle a=a}$ ${\displaystyle b=p}$ ${\displaystyle k=d/p}$

En el lenguaje de programación Python , se implementa en el paquete SciPy , con parametrización: , y escala de 1. ${\displaystyle c=p}$ ${\displaystyle a=d/p}$

Ver también

• Distribución media t
• Distribución normal truncada
• Distribución normal plegada
• Distribución gaussiana rectificada
• Distribución seminormal modificada
• Distribución gamma entera generalizada

Referencias

1. Box-Steffensmeier, Janet M.; Jones, Bradford S. (2004) Modelado del historial de eventos: una guía para científicos sociales . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN  0-521-54673-7 (págs. 41-43)
2. Stacy, EW (1962). "Una generalización de la distribución gamma". Anales de estadística matemática 33(3): 1187-1192. JSTOR  2237889
3. Johnson, Países Bajos; Kotz, S; Balakrishnan, N. (1994) Distribuciones univariadas continuas, volumen 1 , segunda edición. Wiley. ISBN 0-471-58495-9 (Sección 17.8.7) 
4. Gavin E. Crooks (2010), La distribución del amoroso, Nota técnica, Laboratorio Nacional Lawrence Berkeley.
5. C. Bauckhage (2014), Cálculo de la divergencia de Kullback-Leibler entre dos distribuciones gamma generalizadas, arXiv : 1401.6853.