Función gamma incompleta

Tipos de funciones matemáticas especiales

La función gamma superior incompleta para algunos valores de s: 0 (azul), 1 (rojo), 2 (verde), 3 (naranja), 4 (púrpura).

Gráfico de la función gamma incompleta regularizada Q(2,z) en el plano complejo de -2-2i a 2+2i con colores creados con la función ComplexPlot3D de Mathematica 13.1

En matemáticas , las funciones gamma incompletas superior e inferior son tipos de funciones especiales que surgen como soluciones a diversos problemas matemáticos, como ciertas integrales .

Sus respectivos nombres provienen de sus definiciones integrales, que se definen de manera similar a la función gamma pero con límites integrales diferentes o "incompletos". La función gamma se define como una integral de cero a infinito. Esto contrasta con la función gamma inferior incompleta, que se define como una integral desde cero hasta un límite superior variable. De manera similar, la función gamma incompleta superior se define como una integral desde un límite inferior variable hasta el infinito.

Definición

La función gamma incompleta superior se define como:

$${\displaystyle \Gamma (s,x)=\int _{x}^{\infty }t^{s-1}\,e^{-t}\,dt,}$$

$${\displaystyle \gamma (s,x)=\int _{0}^{x}t^{s-1}\,e^{-t}\,dt.}$$

ss

Propiedades

Por integración por partes encontramos las relaciones de recurrencia.

$${\displaystyle \Gamma (s+1,x)=s\Gamma (s,x)+x^{s}e^{-x}}$$

$${\displaystyle \gamma (s+1,x)=s\gamma (s,x)-x^{s}e^{-x}.}$$

$${\displaystyle \Gamma (s)=\int _{0}^{\infty }t^{s-1}\,e^{-t}\,dt}$$

$${\displaystyle \Gamma (s)=\Gamma (s,0)=\lim _{x\to \infty }\gamma (s,x)}$$

$${\displaystyle \gamma (s,x)+\Gamma (s,x)=\Gamma (s).}$$

Continuación a valores complejos.

La función gamma incompleta inferior y la función gamma incompleta superior, como se define anteriormente para s y x reales positivos , se pueden desarrollar en funciones holomorfas , con respecto a x y s , definidas para casi todas las combinaciones de x y s complejos . ^[1] El análisis complejo muestra cómo las propiedades de las funciones gamma reales incompletas se extienden a sus contrapartes holomorfas.

Función gamma inferior incompleta

extensión holomorfa

La aplicación repetida de la relación de recurrencia para la función gamma incompleta inferior conduce a la expansión de la serie de potencias : ^[2]

$${\displaystyle \gamma (s,x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{s}e^{-x}x^{k}}{s(s+1)\cdots (s+k)}}=x^{s}\,\Gamma (s)\,e^{-x}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}}{\Gamma (s+k+1)}}.}$$

valor absolutoΓ( z + k )k → ∞recíproco de Γ( z )función completaconverge uniformementesx^[3], ^[4] ${\displaystyle \gamma ^{*}}$

$${\displaystyle \gamma ^{*}(s,z):=e^{-z}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{\Gamma (s+k+1)}}}$$

enteroz (para sa s (para z^[1]C × Cteorema de Hartog^[5]descomposición ^[1]

$${\displaystyle \gamma (s,z)=z^{s}\,\Gamma (s)\,\gamma ^{*}(s,z),}$$

función holomorfazsfunción Γsingularidadesz = 0s ${\displaystyle z^{s}}$ ${\displaystyle \gamma (s,z)}$

Multivaloración

El logaritmo complejo log z = log | z | + i arg z se determina hasta un múltiplo de 2 πi únicamente, lo que lo convierte en multivalor . Las funciones que involucran el logaritmo complejo típicamente heredan esta propiedad. Entre ellas se encuentra la potencia compleja y, dado que z ^s aparece en su descomposición, también la función γ .

La indeterminación de funciones multivaluadas introduce complicaciones, ya que se debe indicar cómo seleccionar un valor. Las estrategias para manejar esto son:

• (la forma más general) reemplace el dominio C de funciones multivaluadas por una variedad adecuada en C × C llamada superficie de Riemann . Si bien esto elimina la multivaloración, es necesario conocer la teoría detrás de ella; ^[6]
• restringir el dominio de manera que una función multivalor se descomponga en ramas separadas de un solo valor , que se pueden manejar individualmente.

El siguiente conjunto de reglas se puede utilizar para interpretar correctamente las fórmulas de esta sección. Si no se indica lo contrario, se supone lo siguiente:

Sectores

Los sectores en C que tienen su vértice en z = 0 a menudo resultan ser dominios apropiados para expresiones complejas. Un sector D consta de todos los complejos z que cumplen z ≠ 0 y α − δ < arg z < α + δ con algunos α y 0 < δ ≤ π . A menudo, α puede elegirse arbitrariamente y no se especifica en ese momento. Si no se da δ , se supone que es π , y el sector es de hecho todo el plano C , con la excepción de una media línea que se origina en z = 0 y apunta en la dirección de − α , que generalmente sirve como corte de rama . Nota: En muchas aplicaciones y textos, α se toma silenciosamente como 0, lo que centra el sector alrededor del eje real positivo.

Sucursales

En particular, existe un logaritmo holomórfico de valor único en cualquier sector D que tenga su parte imaginaria ligada al rango ( α − δ , α + δ ) . Con base en un logaritmo tan restringido, z ^s y las funciones gamma incompletas a su vez colapsan en funciones holomorfas de un solo valor en D (o C × D ), llamadas ramas de sus contrapartes multivaluadas en D. Sumar un múltiplo de 2 π a α produce un conjunto diferente de ramas correlacionadas en el mismo conjunto D. Sin embargo, en cualquier contexto dado aquí, se supone que α es fijo y todas las ramas involucradas están asociadas a él. Si | α | < δ , las ramas se llaman principales , porque son iguales a sus análogos reales en el eje real positivo. Nota: En muchas aplicaciones y textos, las fórmulas sólo son válidas para las ramas principales.

Relación entre ramas

Los valores de diferentes ramas tanto de la función de potencia compleja como de la función gamma incompleta inferior se pueden derivar entre sí mediante la multiplicación de , ^[1] para k un número entero adecuado. ${\displaystyle e^{2\pi iks}}$

Comportamiento cerca del punto de bifurcación

La descomposición anterior muestra además que γ se comporta cerca de z = 0 asintóticamente como:

$${\displaystyle \gamma (s,z)\asymp z^{s}\,\Gamma (s)\,\gamma ^{*}(s,0)=z^{s}\,\Gamma (s)/\Gamma (s+1)=z^{s}/s.}$$

Para x , y y s reales positivos , x ^y /y → 0 , cuando ( x , y ) → (0, s ) . Esto parece justificar establecer γ ( s , 0) = 0 para s > 0 real . Sin embargo, las cosas son algo diferentes en el ámbito complejo. Sólo si (a) la parte real de s es positiva y (b) los valores u ^v se toman solo de un conjunto finito de ramas, se garantiza que convergerán a cero cuando ( u , v ) → (0, s ) , y también lo hace γ ( u , v ) . En una sola rama de γ ( b ) se cumple naturalmente, por lo que γ ( s , 0) = 0 para s con parte real positiva es un límite continuo . Obsérvese también que dicha continuación no es en modo alguno analítica .

Relaciones algebraicas

Todas las relaciones algebraicas y ecuaciones diferenciales observadas por el γ ( s , z ) real también son válidas para su contraparte holomorfa. Esto es una consecuencia del teorema de la identidad, que establece que las ecuaciones entre funciones holomorfas válidas en un intervalo real se cumplen en todas partes. En particular, la relación de recurrencia ^[2] y ∂γ ( s , z )/ ∂z = z ^{s −1} e ^{− z [2]} se conservan en las ramas correspondientes.

Representación integral

La última relación nos dice que, para s fijo , γ es una primitiva o antiderivada de la función holomorfa z ^{s −1} e ^{− z} . En consecuencia, para cualquier complejo u , v ≠ 0 ,

$${\displaystyle \int _{u}^{v}t^{s-1}\,e^{-t}\,dt=\gamma (s,v)-\gamma (s,u)}$$

camino de integraciónsγ ( s , u ) → 0u → 0γ ^[1]

$${\displaystyle \gamma (s,z)=\int _{0}^{z}t^{s-1}\,e^{-t}\,dt,\,\Re (s)>0.}$$

Cualquier camino de integración que contenga 0 sólo al principio, restringido de otro modo al dominio de una rama del integrando, es válido aquí, por ejemplo, la línea recta que conecta 0 y z .

Límite para z → +∞

Valores reales

Dada la representación integral de una rama principal de γ , la siguiente ecuación es válida para todos los reales positivos s , x : ^[7]

$${\displaystyle \Gamma (s)=\int _{0}^{\infty }t^{s-1}\,e^{-t}\,dt=\lim _{x\to \infty }\gamma (s,x)}$$

es complejo

Este resultado se extiende a los complejos s . Supongamos primero 1 ≤ Re( s ) ≤ 2 y 1 < a < b . Entonces

$${\displaystyle \left|\gamma (s,b)-\gamma (s,a)\right|\leq \int _{a}^{b}\left|t^{s-1}\right|e^{-t}\,dt=\int _{a}^{b}t^{\Re s-1}e^{-t}\,dt\leq \int _{a}^{b}te^{-t}\,dt}$$

^[8]

$${\displaystyle \left|z^{s}\right|=\left|z\right|^{\Re s}\,e^{-\Im s\arg z}}$$

aγ ( s , x )x → ∞1 ≤ Re(s) ≤ 2^[3]γ ( s , x ) = ( s − 1 ) γ ( s − 1, x ) − x ^{s − 1} e ^{− x}x ⁿ e ^{− x} = 0x → ∞nγ ( s , x )

$${\displaystyle \Gamma (s)=\lim _{x\to \infty }\gamma (s,x)}$$

sxγ

Convergencia sectorial

Ahora déjate ser del sector | argumento z | < δ < π /2 con algún δ fijo ( α = 0 ), γ será la rama principal de este sector, y mire

$${\displaystyle \Gamma (s)-\gamma (s,u)=\Gamma (s)-\gamma (s,|u|)+\gamma (s,|u|)-\gamma (s,u).}$$

Como se muestra arriba, la primera diferencia puede hacerse arbitrariamente pequeña, si | tu | es suficientemente grande. La segunda diferencia permite la siguiente estimación:

$${\displaystyle \left|\gamma (s,|u|)-\gamma (s,u)\right|\leq \int _{u}^{|u|}\left|z^{s-1}e^{-z}\right|dz=\int _{u}^{|u|}\left|z\right|^{\Re s-1}\,e^{-\Im s\,\arg z}\,e^{-\Re z}\,dz,}$$

γ| z ^s |R = | tu |u| tu |

$${\displaystyle \leq R\left|\arg u\right|R^{\Re s-1}\,e^{\Im s\,|\arg u|}\,e^{-R\cos \arg u}\leq \delta \,R^{\Re s}\,e^{\Im s\,\delta }\,e^{-R\cos \delta }=M\,(R\,\cos \delta )^{\Re s}\,e^{-R\cos \delta }}$$

M = δ (cos δ ) ^{−Re s} e ^{Im sδ}uRx ⁿ e ^{− x} para xR∞

$${\displaystyle \Gamma (s)=\lim _{|z|\to \infty }\gamma (s,z),\quad \left|\arg z\right|<\pi /2-\epsilon ,}$$

s0 < ε < π /2γ

Descripción general

${\displaystyle \gamma (s,z)}$es:

• entero en z para enteros positivos fijos s ;
• holomórfico multivalor en z para s fijo , no un número entero, con un punto de ramificación en z = 0 ;
• en cada rama meromorfa en s para z fijo ≠ 0 , con polos simples en números enteros no positivos s.

Función gamma superior incompleta

En cuanto a la función gamma incompleta superior , una extensión holomorfa , con respecto a z o s , viene dada por ^[1]

$${\displaystyle \Gamma (s,z)=\Gamma (s)-\gamma (s,z)}$$

( s , z ) ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma }$

Cuando s es un entero no positivo en la ecuación anterior, ninguna parte de la diferencia está definida y un proceso limitante , aquí desarrollado para s → 0 , completa los valores faltantes. El análisis complejo garantiza la holomorfidad , porque demuestra estar acotado en una vecindad de ese límite para una z fija . ${\displaystyle \Gamma (s,z)}$

Para determinar el límite, es útil la serie de potencias de en z = 0 . Al reemplazar por su serie de potencias en la definición integral de , se obtiene (supongamos x , s reales positivos por ahora): ${\displaystyle \gamma ^{*}}$ ${\displaystyle e^{-x}}$ ${\displaystyle \gamma }$

$${\displaystyle \gamma (s,x)=\int _{0}^{x}t^{s-1}e^{-t}\,dt=\int _{0}^{x}\sum _{k=0}^{\infty }\left(-1\right)^{k}\,{\frac {t^{s+k-1}}{k!}}\,dt=\sum _{k=0}^{\infty }\left(-1\right)^{k}\,{\frac {x^{s+k}}{k!(s+k)}}=x^{s}\,\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-x)^{k}}{k!(s+k)}}}$$

^[4]

$${\displaystyle \gamma ^{*}(s,x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-x)^{k}}{k!\,\Gamma (s)(s+k)}},}$$

xs ${\displaystyle \gamma ^{*}}$

Eliminada su restricción a valores reales, la serie permite la expansión:

$${\displaystyle \gamma (s,z)-{\frac {1}{s}}=-{\frac {1}{s}}+z^{s}\,\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-z)^{k}}{k!(s+k)}}={\frac {z^{s}-1}{s}}+z^{s}\,\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\left(-z\right)^{k}}{k!(s+k)}},\quad \Re (s)>-1,\,s\neq 0.}$$

Cuando s → 0 : ^[9]

$${\displaystyle {\frac {z^{s}-1}{s}}\to \ln(z),\quad \Gamma (s)-{\frac {1}{s}}={\frac {1}{s}}-\gamma +O(s)-{\frac {1}{s}}\to -\gamma ,}$$

constante de Euler-Mascheroni ${\displaystyle \gamma }$

$${\displaystyle \Gamma (0,z)=\lim _{s\to 0}\left(\Gamma (s)-{\tfrac {1}{s}}-(\gamma (s,z)-{\tfrac {1}{s}})\right)=-\gamma -\ln(z)-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-z)^{k}}{k\,(k!)}}}$$

s → 0integral exponencial . ^[10] ${\displaystyle E_{1}(z)}$

A través de la relación de recurrencia, a partir de este resultado se pueden derivar valores de para números enteros positivos n , ^[11] ${\displaystyle \Gamma (-n,z)}$

$${\displaystyle \Gamma (-n,z)={\frac {1}{n!}}\left({\frac {e^{-z}}{z^{n}}}\sum _{k=0}^{n-1}(-1)^{k}(n-k-1)!\,z^{k}+\left(-1\right)^{n}\Gamma (0,z)\right)}$$

za slos sz ≠ 0

${\displaystyle \Gamma (s,z)}$es:

• entero en z para integral fija positiva s ;
• holomórfico multivalor en z para s fijo distinto de cero y no un entero positivo, con un punto de ramificación en z = 0 ;
• igual a para s con parte real positiva y z = 0 (el límite cuando ), pero esta es una extensión continua, no analítica ( ¡no es válida para s real < 0 !); ${\displaystyle \Gamma (s)}$ ${\displaystyle (s_{i},z_{i})\to (s,0)}$
• en cada rama entera en s para z fijo ≠ 0 .

Valores especiales

• ${\displaystyle \Gamma (s+1,1)={\frac {\lfloor es!\rfloor }{e}}}$si s es un entero positivo ,
• ${\displaystyle \Gamma (s,x)=(s-1)!\,e^{-x}\sum _{k=0}^{s-1}{\frac {x^{k}}{k!}}}$si s es un número entero positivo , ^[12]
• ${\displaystyle \Gamma (s,0)=\Gamma (s),\Re (s)>0}$,
• ${\displaystyle \Gamma (1,x)=e^{-x}}$,
• ${\displaystyle \gamma (1,x)=1-e^{-x}}$,
• ${\displaystyle \Gamma (0,x)=-\operatorname {Ei} (-x)}$para , ${\displaystyle x>0}$
• ${\displaystyle \Gamma (s,x)=x^{s}\operatorname {E} _{1-s}(x)}$,
• ${\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{2}},x\right)={\sqrt {\pi }}\operatorname {erfc} \left({\sqrt {x}}\right)}$,
• ${\displaystyle \gamma \left({\tfrac {1}{2}},x\right)={\sqrt {\pi }}\operatorname {erf} \left({\sqrt {x}}\right)}$.

Aquí, es la integral exponencial , es la integral exponencial generalizada , es la función de error y es la función de error complementaria ,. ${\displaystyle \operatorname {Ei} }$ ${\displaystyle \operatorname {E} _{n}}$ ${\displaystyle \operatorname {erf} }$ ${\displaystyle \operatorname {erfc} }$ ${\displaystyle \operatorname {erfc} (x)=1-\operatorname {erf} (x)}$

Comportamiento asintótico

• ${\displaystyle {\frac {\gamma (s,x)}{x^{s}}}\to {\frac {1}{s}}}$como , ${\displaystyle x\to 0}$
• ${\displaystyle {\frac {\Gamma (s,x)}{x^{s}}}\to -{\frac {1}{s}}}$como y (para s real , el error de Γ( s , x ) ~ − x ^s / s es del orden de O ( x ^{min{ s + 1, 0}} ) si s ≠ −1 y O (ln( x )) si s = −1 ), ${\displaystyle x\to 0}$ ${\displaystyle \Re (s)<0}$
• ${\displaystyle \Gamma (s,x)\sim \Gamma (s)-\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{s+n}}{n!(s+n)}}}$como una serie asintótica donde y . ^[13] ${\displaystyle x\to 0^{+}}$ ${\displaystyle s\neq 0,-1,-2,\dots }$
• ${\displaystyle \Gamma (-N,x)\sim C_{N}+{\frac {(-1)^{N+1}}{N!}}\ln x-\sum _{n=0,n\neq N}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{n-N}}{n!(n-N)}}}$como serie asintótica donde y , donde , donde es la constante de Euler-Mascheroni . ^[13] ${\displaystyle x\to 0^{+}}$ ${\displaystyle N=1,2,\dots }$ ${\textstyle C_{N}={\frac {(-1)^{N+1}}{N!}}\left(\gamma -\displaystyle \sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{n}}\right)}$ ${\displaystyle \gamma }$
• ${\displaystyle \gamma (s,x)\to \Gamma (s)}$como , ${\displaystyle x\to \infty }$
• ${\displaystyle {\frac {\Gamma (s,x)}{x^{s-1}e^{-x}}}\to 1}$como , ${\displaystyle x\to \infty }$
• ${\displaystyle \Gamma (s,z)\sim z^{s-1}e^{-z}\sum _{k=0}{\frac {\Gamma (s)}{\Gamma (s-k)}}z^{-k}}$como una serie asintótica donde y . ^[14] ${\displaystyle |z|\to \infty }$ ${\displaystyle \left|\arg z\right|<{\tfrac {3}{2}}\pi }$

Fórmulas de evaluación

La función gamma inferior se puede evaluar utilizando la expansión de series de potencias: ^[15]

$${\displaystyle \gamma (s,z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{s}e^{-z}z^{k}}{s(s+1)\dots (s+k)}}=z^{s}e^{-z}\sum _{k=0}^{\infty }{\dfrac {z^{k}}{s^{\overline {k+1}}}}}$$

símbolo de Pochhammer ${\displaystyle s^{\overline {k+1}}}$

Una expansión alternativa es

$${\displaystyle \gamma (s,z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k!}}{\frac {z^{s+k}}{s+k}}={\frac {z^{s}}{s}}M(s,s+1,-z),}$$

M es la función hipergeométrica confluente

Conexión con la función hipergeométrica confluente de Kummer.

Cuando la parte real de z es positiva,

$${\displaystyle \gamma (s,z)=s^{-1}z^{s}e^{-z}M(1,s+1,z)}$$

$${\displaystyle M(1,s+1,z)=1+{\frac {z}{(s+1)}}+{\frac {z^{2}}{(s+1)(s+2)}}+{\frac {z^{3}}{(s+1)(s+2)(s+3)}}+\cdots }$$

De nuevo con funciones hipergeométricas confluentes y empleando la identidad de Kummer,

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (s,z)&=e^{-z}U(1-s,1-s,z)={\frac {z^{s}e^{-z}}{\Gamma (1-s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-u}}{u^{s}(z+u)}}du\\&=e^{-z}z^{s}U(1,1+s,z)=e^{-z}\int _{0}^{\infty }e^{-u}(z+u)^{s-1}du=e^{-z}z^{s}\int _{0}^{\infty }e^{-zu}(1+u)^{s-1}du.\end{aligned}}}$$

Para el cálculo real de valores numéricos, la fracción continua de Gauss proporciona una expansión útil:

$${\displaystyle \gamma (s,z)={\cfrac {z^{s}e^{-z}}{s-{\cfrac {sz}{s+1+{\cfrac {z}{s+2-{\cfrac {(s+1)z}{s+3+{\cfrac {2z}{s+4-{\cfrac {(s+2)z}{s+5+{\cfrac {3z}{s+6-\ddots }}}}}}}}}}}}}}.}$$

Esta fracción continua converge para todo z complejo , siempre que s no sea un número entero negativo.

La función gamma superior tiene la fracción continua ^[16]

$${\displaystyle \Gamma (s,z)={\cfrac {z^{s}e^{-z}}{z+{\cfrac {1-s}{1+{\cfrac {1}{z+{\cfrac {2-s}{1+{\cfrac {2}{z+{\cfrac {3-s}{1+\ddots }}}}}}}}}}}}}$$

^{[ cita necesaria ]}

$${\displaystyle \Gamma (s,z)={\cfrac {z^{s}e^{-z}}{1+z-s+{\cfrac {s-1}{3+z-s+{\cfrac {2(s-2)}{5+z-s+{\cfrac {3(s-3)}{7+z-s+{\cfrac {4(s-4)}{9+z-s+\ddots }}}}}}}}}}}$$

Teorema de multiplicación

El siguiente teorema de la multiplicación es válido:

$${\displaystyle \Gamma (s,z)={\frac {1}{t^{s}}}\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {\left(1-{\frac {1}{t}}\right)^{i}}{i!}}\Gamma (s+i,tz)=\Gamma (s,tz)-(tz)^{s}e^{-tz}\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {\left({\frac {1}{t}}-1\right)^{i}}{i}}L_{i-1}^{(s-i)}(tz).}$$

Implementación de software

Las funciones gamma incompletas están disponibles en varios de los sistemas de álgebra informática .

Sin embargo, incluso si no están disponibles directamente, los valores de funciones incompletas se pueden calcular utilizando funciones comúnmente incluidas en hojas de cálculo (y paquetes de álgebra informática). En Excel , por ejemplo, estos se pueden calcular usando la función gamma combinada con la función de distribución gamma .

• La función incompleta inferior: . ${\displaystyle \gamma (s,x)}$ = EXP(GAMMALN(s))*GAMMA.DIST(x,s,1,TRUE)
• La función incompleta superior: . ${\displaystyle \Gamma (s,x)}$ = EXP(GAMMALN(s))*(1-GAMMA.DIST(x,s,1,TRUE))

Estos se derivan de la definición de la función de distribución acumulativa de la distribución gamma .

En Python , la biblioteca Scipy proporciona implementaciones de funciones gamma incompletas en scipy.special, sin embargo, no admite valores negativos para el primer argumento. La función gammaincde la biblioteca mpmath admite todos los argumentos complejos.

Funciones gamma regularizadas y variables aleatorias de Poisson

Dos funciones relacionadas son las funciones gamma regularizadas:

$${\displaystyle {\begin{aligned}P(s,x)&={\frac {\gamma (s,x)}{\Gamma (s)}},\\[1ex]Q(s,x)&={\frac {\Gamma (s,x)}{\Gamma (s)}}=1-P(s,x).\end{aligned}}}$$

${\displaystyle P(s,x)}$función de distribución acumulativavariables aleatorias gammaparámetro de formaparámetro de escala ${\displaystyle s}$

Cuando es un número entero, es la función de distribución acumulativa para variables aleatorias de Poisson : si es una variable aleatoria, entonces ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle Q(s,\lambda )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathrm {Poi} (\lambda )}$

$${\displaystyle \Pr(X<s)=\sum _{i<s}e^{-\lambda }{\frac {\lambda ^{i}}{i!}}={\frac {\Gamma (s,\lambda )}{\Gamma (s)}}=Q(s,\lambda ).}$$

Esta fórmula se puede derivar mediante integración repetida por partes.

En el contexto de la distribución de recuento estable , el parámetro puede considerarse inverso al parámetro de estabilidad de Lévy : ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \alpha }$

$${\displaystyle Q(s,x)=\int _{0}^{\infty }e^{\left(-{x^{s}}/{\nu }\right)}\,{\mathfrak {N}}_{{1}/{s}}\left(\nu \right)\,d\nu ,\quad (s>1)}$$

${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\alpha }(\nu )}$ ${\displaystyle \alpha =1/s<1}$

${\displaystyle P(s,x)}$y se implementan como ^[17] y ^[18] en scipy . ${\displaystyle Q(s,x)}$gammaincgammaincc

Derivados

Usando la representación integral anterior, la derivada de la función gamma incompleta superior con respecto a x es ${\displaystyle \Gamma (s,x)}$

$${\displaystyle {\frac {\partial \Gamma (s,x)}{\partial x}}=-x^{s-1}e^{-x}}$$

^[19] ${\displaystyle s}$

$${\displaystyle {\frac {\partial \Gamma (s,x)}{\partial s}}=\ln x\Gamma (s,x)+x\,T(3,s,x)}$$

$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\Gamma (s,x)}{\partial s^{2}}}=\ln ^{2}x\Gamma (s,x)+2x\left[\ln x\,T(3,s,x)+T(4,s,x)\right]}$$

función G de Meijer ${\displaystyle T(m,s,x)}$

$${\displaystyle T(m,s,x)=G_{m-1,\,m}^{\,m,\,0}\!\left(\left.{\begin{matrix}0,0,\dots ,0\\s-1,-1,\dots ,-1\end{matrix}}\;\right|\,x\right).}$$

de cierretodas

$${\displaystyle {\frac {\partial ^{m}\Gamma (s,x)}{\partial s^{m}}}=\ln ^{m}x\Gamma (s,x)+mx\,\sum _{n=0}^{m-1}P_{n}^{m-1}\ln ^{m-n-1}x\,T(3+n,s,x)}$$

permutaciónsímbolo de Pochhammer ${\displaystyle P_{j}^{n}}$

$${\displaystyle P_{j}^{n}={\binom {n}{j}}j!={\frac {n!}{(n-j)!}}.}$$

$${\displaystyle {\frac {\partial T(m,s,x)}{\partial s}}=\ln x~T(m,s,x)+(m-1)T(m+1,s,x)}$$

$${\displaystyle {\frac {\partial T(m,s,x)}{\partial x}}=-{\frac {T(m-1,s,x)+T(m,s,x)}{x}}}$$

${\displaystyle T(m,s,x)}$ ${\displaystyle |z|<1}$

$${\displaystyle T(m,s,z)=-{\frac {\left(-1\right)^{m-1}}{(m-2)!}}\left.{\frac {d^{m-2}}{dt^{m-2}}}\left[\Gamma (s-t)z^{t-1}\right]\right|_{t=0}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\left(-1\right)^{n}z^{s-1+n}}{n!\left(-s-n\right)^{m-1}}}}$$

scontinuación analíticaintegral exponencial^{[20] [21]} ${\displaystyle |z|\geq 1}$ ${\displaystyle T(2,s,x)=\Gamma (s,x)/x}$ ${\displaystyle x\,T(3,1,x)=\mathrm {E} _{1}(x)}$ ${\displaystyle \mathrm {E} _{1}(x)}$ ${\displaystyle T(m,s,x)}$

$${\displaystyle \int _{x}^{\infty }{\frac {t^{s-1}\ln ^{m}t}{e^{t}}}dt={\frac {\partial ^{m}}{\partial s^{m}}}\int _{x}^{\infty }{\frac {t^{s-1}}{e^{t}}}dt={\frac {\partial ^{m}}{\partial s^{m}}}\Gamma (s,x)}$$

inflarsetransformadas de Laplacetransformadas de Mellinsistema de álgebra computacionalIntegración simbólica

Integrales indefinidas y definidas

Las siguientes integrales indefinidas se obtienen fácilmente mediante integración por partes (omitiendo la constante de integración en ambos casos):

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int x^{b-1}\gamma (s,x)\,dx&={\frac {1}{b}}\left(x^{b}\gamma (s,x)-\gamma (s+b,x)\right),\\[1ex]\int x^{b-1}\Gamma (s,x)\,dx&={\frac {1}{b}}\left(x^{b}\Gamma (s,x)-\Gamma (s+b,x)\right).\end{aligned}}}$$

transformada de Fourier

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\gamma \left({\frac {s}{2}},z^{2}\pi \right)}{(z^{2}\pi )^{\frac {s}{2}}}}e^{-2\pi ikz}dz={\frac {\Gamma \left({\frac {1-s}{2}},k^{2}\pi \right)}{(k^{2}\pi )^{\frac {1-s}{2}}}}.}$$

Notas

1. "DLMF: §8.2 Definiciones y propiedades básicas ‣ Funciones gamma incompletas ‣ Capítulo 8 Gamma incompleta y funciones relacionadas". dlmf.nist.gov .
2. "DLMF: §8.8 Relaciones de recurrencia y derivadas ‣ Funciones gamma incompletas ‣ Capítulo 8 Gamma incompleta y funciones relacionadas". dlmf.nist.gov .
3. Donald E. Marshall (otoño de 2009). "Análisis complejo" (PDF) . Matemáticas 534 (folleto para estudiantes). Universidad de Washington. Teorema 3.9 en la p.56. Archivado desde el original (PDF) el 16 de mayo de 2011 . Consultado el 23 de abril de 2011 .
4. "DLMF: §8.7 Expansiones de la serie ‣ Funciones gamma incompletas ‣ Capítulo 8 Gamma incompleta y funciones relacionadas". dlmf.nist.gov .
5. Pablo Garrett. "Teorema de Hartogs: analiticidad separada implica articulación" (PDF) . cse.umn.edu . Consultado el 21 de diciembre de 2023 .
6. C. Telemán. "Superficies Riemann" (PDF) . berkeley.edu . Consultado el 21 de diciembre de 2023 .
7. "DLMF: §5.2 Definiciones ‣ Propiedades ‣ Capítulo 5 Función gamma". dlmf.nist.gov .
8. "DLMF: §4.4 Valores y límites especiales ‣ Logaritmo, exponencial, potencias ‣ Capítulo 4 Funciones elementales". dlmf.nist.gov .
9. ver la última ecuación.
10. "DLMF: §8.4 Valores especiales ‣ Funciones gamma incompletas ‣ Capítulo 8 Gamma incompleta y funciones relacionadas". dlmf.nist.gov .
11. "DLMF: 8.4 Valores especiales".
12. Weisstein, Eric W. "Función gamma incompleta". MundoMatemático .(ecuación 2)
13. Bender y Orszag (1978). Métodos matemáticos avanzados para científicos e ingenieros . Saltador.
14. "DLMF: §8.11 Aproximaciones y expansiones asintóticas ‣ Funciones gamma incompletas ‣ Capítulo 8 Gamma incompleta y funciones relacionadas". dlmf.nist.gov .
15. "DLMF: §8.11 Aproximaciones y expansiones asintóticas ‣ Funciones gamma incompletas ‣ Capítulo 8 Gamma incompleta y funciones relacionadas". dlmf.nist.gov .
16. Abramowitz y Stegun p. 263, 6.5.31
17. "scipy.special.gammainc - Manual de SciPy v1.11.4". docs.scipy.org .
18. "scipy.special.gammaincc - Manual de SciPy v1.11.4". docs.scipy.org .
19. KO Geddes , ML Glasser, RA Moore y TC Scott, Evaluación de clases de integrales definidas que involucran funciones elementales mediante diferenciación de funciones especiales , AAECC (Álgebra aplicable en ingeniería, comunicación y computación), vol. 1, (1990), págs. 149-165, [1]
20. Milgram, MS (1985). "La función integro-exponencial generalizada". Matemáticas. comp . 44 (170): 443–458. doi : 10.1090/S0025-5718-1985-0777276-4 . SEÑOR  0777276.
21. Mathar (2009). "Evaluación numérica de la integral oscilatoria sobre exp (i*pi*x)*x^(1/x) entre 1 e infinito". arXiv : 0912.3844 [matemáticas.CA]., Aplicación B

Referencias

• Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , eds. (1983) [junio de 1964]. "Capítulo 6.5". Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficas y tablas matemáticas . Serie de Matemáticas Aplicadas. vol. 55 (Novena reimpresión con correcciones adicionales de la décima impresión original con correcciones (diciembre de 1972); primera ed.). Washington DC; Nueva York: Departamento de Comercio de los Estados Unidos, Oficina Nacional de Normas; Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036. SEÑOR  0167642. LCCN  65-12253. "Función Gamma incompleta".§6.5.
• Allasia, Giampietro; Besenghi, Renata (1986). "Cálculo numérico de funciones gamma incompletas mediante la regla del trapecio". Número. Matemáticas . 50 (4): 419–428. doi :10.1007/BF01396662. S2CID  121964300.
• Amor, Paolo (2005). "Representaciones de series asintóticas y exactas para la función Gamma incompleta". Eurofis. Lett . 71 (1): 1–7. arXiv : math-ph/0501019 . Código Bib : 2005EL.....71....1A. doi :10.1209/epl/i2005-10066-6. SEÑOR  2170316. S2CID  1921569.
• G. Arfken y H. Weber. Métodos matemáticos para físicos . Harcourt/Academic Press, 2000. (Ver Capítulo 10.)
• DiDonato, Armido R.; Morris, Jr., Alfred H. (diciembre de 1986). "Cálculo de las relaciones de funciones gamma incompletas y su inversa". Transacciones ACM sobre software matemático . 12 (4): 377–393. doi : 10.1145/22721.23109. S2CID  14351930.
• Barakat, Richard (1961). "Evaluación de la función gamma incompleta del argumento imaginario mediante polinomios de Chebyshev". Matemáticas. comp . 15 (73): 7–11. doi : 10.1090/s0025-5718-1961-0128058-1 . SEÑOR  0128058.
• Carsky, Petr; Polasek, Martín (1998). "Funciones Gamma F_m(x) incompletas para argumentos reales y complejos". J. Computación. Física . 143 (1): 259–265. Código Bib : 1998JCoPh.143..259C. doi :10.1006/jcph.1998.5975. SEÑOR  1624704.
• Chaudhry, M. Aslam; Zubair, SM (1995). "Sobre la descomposición de funciones Gamma incompletas generalizadas con aplicaciones a las transformadas de Fourier". J. Computación. Aplica. Matemáticas . 59 (101): 253–284. doi : 10.1016/0377-0427(94)00026-w . SEÑOR  1346414.
• DiDonato, Armido R.; Morris, Jr., Alfred H. (septiembre de 1987). "ALGORITMO 654: subrutinas FORTRAN para calcular las relaciones de funciones gamma incompletas y su inversa". Transacciones ACM sobre software matemático . 13 (3): 318–319. doi : 10.1145/29380.214348 . S2CID  19902932. (Ver también www.netlib.org/toms/654).
• Fruchtl, H.; Otto, P. (1994). "Un nuevo algoritmo para la evaluación de la función Gamma incompleta en computadoras vectoriales". Transmisión ACM. Matemáticas. Software . 20 (4): 436–446. doi : 10.1145/198429.198432 . S2CID  16737306.
• Gautschi, Walter (1998). "La función gamma incompleta desde Tricomi". Atti Convegni Lincei . 147 : 203–237. SEÑOR  1737497.
• Gautschi, Walter (1999). "Una nota sobre el cálculo recursivo de funciones gamma incompletas". Transmisión ACM. Matemáticas. Software . 25 (1): 101–107. doi : 10.1145/305658.305717 . SEÑOR  1697463. S2CID  36469885.
• Gradshteyn, Izrail Solomonovich ; Ryzhik, Iosif Moiseevich ; Geronimus, Yuri Veniaminovich ; Tseytlin, Michail Yulyevich ; Jeffrey, Alan (2015) [octubre de 2014]. "8.35". En Zwillinger, Daniel; Moll, Víctor Hugo (eds.). Tabla de Integrales, Series y Productos . Traducido por Scripta Technica, Inc. (8 ed.). Academic Press, Inc. págs. 908–911. ISBN 978-0-12-384933-5. LCCN  2014010276.
• Jones, William B.; Trono, WJ (1985). "Sobre el cálculo de funciones gamma incompletas en el dominio complejo". J. Computación. Aplica. Matemáticas . 12–13: 401–417. doi : 10.1016/0377-0427(85)90034-2 . SEÑOR  0793971.
• "Función gamma incompleta", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Mathar, Richard J. (2004). "Representación numérica de la función gamma incompleta de un argumento de valores complejos". Algoritmos Numéricos . 36 (3): 247–264. arXiv : matemáticas/0306184 . Código Bib : 2004NuAlg..36..247M. doi :10.1023/B:NUMA.0000040063.91709.58. SEÑOR  2091195. S2CID  30860614.
• Miller, Allen R.; Moskowitz, Ira S. (1998). "Sobre determinadas funciones Gamma incompletas generalizadas". J. Computación. Aplica. Matemáticas . 91 (2): 179-190. doi : 10.1016/s0377-0427(98)00031-4 .
• París, RB (2010), "Función gamma incompleta", en Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), Manual de funciones matemáticas del NIST , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, señor  2723248.
• París, RB (2002). "Una expansión asintótica uniforme para la función gamma incompleta". J. Computación. Aplica. Matemáticas . 148 (2): 323–339. Código Bib : 2002JCoAM.148..323P. doi : 10.1016/S0377-0427(02)00553-8 . SEÑOR  1936142.
• Prensa, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007). "Sección 6.2. Función gamma incompleta y función de error". Recetas numéricas: el arte de la informática científica (3ª ed.). Nueva York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88068-8.
• Takenaga, Roy (1966). "Sobre la evaluación de la función gamma incompleta". Matemáticas. comp . 20 (96): 606–610. doi : 10.1090/S0025-5718-1966-0203911-3 . SEÑOR  0203911.
• Temmé, Nico (1975). "Expansiones asintóticas uniformes de las funciones gamma incompletas y la función beta incompleta". Matemáticas. comp . 29 (132): 1109-1114. doi : 10.1090/S0025-5718-1975-0387674-2 . SEÑOR  0387674.
• Terras, Riho (1979). "La determinación de funciones Gamma incompletas mediante integración analítica". J. Computación. Física . 31 (1): 146-151. Código bibliográfico : 1979JCoPh..31..146T. doi :10.1016/0021-9991(79)90066-4. SEÑOR  0531128.
• Tricomi, Francesco G. (1950). "Sulla funzione gamma incompleta". Ana. Estera. Pura Appl . 31 : 263–279. doi :10.1007/BF02428264. SEÑOR  0047834. S2CID  120404791.
• Tricomi, FG (1950). "Asymptotische Eigenschaften der unvollst. Gammafunktion". Matemáticas. Z.​ 53 (2): 136-148. doi :10.1007/bf01162409. SEÑOR  0045253. S2CID  121234109.
• van Deun, Joris; Se enfría, Ronald (2006). "Una recurrencia estable para la función gamma incompleta con un segundo argumento imaginario". Número. Matemáticas . 104 (4): 445–456. doi :10.1007/s00211-006-0026-1. SEÑOR  2249673. S2CID  43780150.
• Winitzki, Serge (2003). "Cálculo de la función gamma incompleta con precisión arbitraria". En Vipin Kumar; Marina L. Gavrílova ; Chih Jeng Kenneth Tan; Pierre L'Ecuyer (eds.). Ciencia Computacional y sus Aplicaciones — ICSSA 2003 . Conferencia internacional sobre ciencias computacionales y sus aplicaciones, Montreal, Canadá, 18 al 21 de mayo de 2003, Actas, Parte I. Apuntes de conferencias sobre informática. vol. 2667, págs. 790–798. doi :10.1007/3-540-44839-x_83. ISBN 978-3-540-40155-1. SEÑOR  2110953.
• Weisstein, Eric W. "Función gamma incompleta". MundoMatemático .

enlaces externos

• ${\displaystyle P(a,x)}$— Calculadora de función gamma incompleta inferior regularizada
• ${\displaystyle Q(a,x)}$— Calculadora de función gamma incompleta superior regularizada
• ${\displaystyle \gamma (a,x)}$— Calculadora de función gamma incompleta inferior
• ${\displaystyle \Gamma (a,x)}$— Calculadora de función gamma incompleta superior
• fórmulas e identidades de la función gamma incompleta funciones.wolfram.com