Distribución gamma de números enteros generalizada

En probabilidad y estadística , la distribución gamma de enteros generalizados (GIG) es la distribución de la suma de variables aleatorias independientes distribuidas en gamma , todas con parámetros de forma enteros y diferentes parámetros de tasa. Este es un caso especial de la distribución de chi-cuadrado generalizada . Un concepto relacionado es la distribución gamma casi entera generalizada (GNIG).

Definición

La variable aleatoria tiene una distribución gamma con parámetro de forma y parámetro de tasa si su función de densidad de probabilidad es ${\displaystyle X\!}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle f_{X}^{}(x)={\frac {\lambda ^{r}}{\Gamma (r)}}\,e^{-\lambda x}x^{r-1}~~~~~~(x>0;\,\lambda ,r>0)}$

y este hecho se denota por ${\displaystyle X\sim \Gamma (r,\lambda )\!.}$

Sean , donde variables aleatorias independientes , todas enteras positivas y todas diferentes. En otras palabras, cada variable tiene la distribución de Erlang con diferentes parámetros de forma. La unicidad de cada parámetro de forma se produce sin pérdida de generalidad, porque cualquier caso en el que algunas de las sean iguales se trataría sumando primero las variables correspondientes: esta suma tendría una distribución gamma con el mismo parámetro de velocidad y un parámetro de forma que es igual a la suma de los parámetros de forma en las distribuciones originales. ${\displaystyle X_{j}\sim \Gamma (r_{j},\lambda _{j})\!}$ ${\displaystyle (j=1,\dots ,p),}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle r_{j}}$ ${\displaystyle \lambda _{j}\!}$ ${\displaystyle \lambda _{j}}$

Entonces la variable aleatoria Y definida por

${\displaystyle Y=\sum _{j=1}^{p}X_{j}}$

tiene una distribución GIG (gamma entera generalizada) de profundidad con parámetros de forma y parámetros de velocidad . Este hecho se denota por ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle r_{j}\!}$ ${\displaystyle \lambda _{j}\!}$ ${\displaystyle (j=1,\dots ,p)}$

${\displaystyle Y\sim GIG(r_{j},\lambda _{j};p)\!.}$

También es un caso especial de la distribución chi-cuadrado generalizada .

Propiedades

La función de densidad de probabilidad y la función de distribución acumulativa de Y se dan respectivamente por ^{[1] [2] [3]}

${\displaystyle f_{Y}^{\text{GIG}}(y|r_{1},\dots ,r_{p};\lambda _{1},\dots ,\lambda _{p})\,=\,K\sum _{j=1}^{p}P_{j}(y)\,e^{-\lambda _{j}\,y}\,,~~~~(y>0)}$

y

${\displaystyle F_{Y}^{\text{GIG}}(y|r_{1},\dots ,r_{p};\lambda _{1},\dots ,\lambda _{p})\,=\,1-K\sum _{j=1}^{p}P_{j}^{*}(y)\,e^{-\lambda _{j}\,y}\,,~~~~(y>0)}$

dónde

${\displaystyle K=\prod _{j=1}^{p}\lambda _{j}^{r_{j}}~,~~~~~P_{j}(y)=\sum _{k=1}^{r_{j}}c_{j,k}\,y^{k-1}}$

y

${\displaystyle P_{j}^{*}(y)=\sum _{k=1}^{r_{j}}c_{j,k}\,(k-1)!\sum _{i=0}^{k-1}{\frac {y^{i}}{i!\,\lambda _{j}^{k-i}}}}$

con

y

dónde

Existen expresiones alternativas disponibles en la literatura sobre la distribución de chi-cuadrado generalizada , que es un campo en el que los algoritmos informáticos están disponibles desde hace algunos años. ^{[ ¿cuándo? ]}

Generalización

La distribución GNIG (gamma casi entera generalizada) de profundidad es la distribución de la variable aleatoria ^[4] ${\displaystyle p+1}$

${\displaystyle Z=Y_{1}+Y_{2}\!,}$

donde y son dos variables aleatorias independientes, donde es un real no entero positivo y donde . ${\displaystyle Y_{1}\sim GIG(r_{j},\lambda _{j};p)\!}$ ${\displaystyle Y_{2}\sim \Gamma (r,\lambda )\!}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \lambda \neq \lambda _{j}}$ ${\displaystyle (j=1,\dots ,p)}$

Propiedades

La función de densidad de probabilidad de está dada por ${\displaystyle Z\!}$

${\displaystyle {\begin{array}{l}\displaystyle f_{Z}^{\text{GNIG}}(z|r_{1},\dots ,r_{p},r;\,\lambda _{1},\dots ,\lambda _{p},\lambda )=\\[5pt]\displaystyle \quad \quad \quad K\lambda ^{r}\sum \limits _{j=1}^{p}{e^{-\lambda _{j}z}}\sum \limits _{k=1}^{r_{j}}{\left\{{c_{j,k}{\frac {\Gamma (k)}{\Gamma (k+r)}}z^{k+r-1}{}_{1}F_{1}(r,k+r,-(\lambda -\lambda _{j})z)}\right\}}{\rm {,}}~~~~(z>0)\end{array}}}$

y la función de distribución acumulativa está dada por

${\displaystyle {\begin{array}{l}\displaystyle F_{Z}^{\text{GNIG}}(z|r_{1},\ldots ,r_{p},r;\,\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{p},\lambda )={\frac {\lambda ^{r}\,{z^{r}}}{\Gamma (r+1)}}{}_{1}F_{1}(r,r+1,-\lambda z)\\[12pt]\quad \quad \displaystyle -K\lambda ^{r}\sum \limits _{j=1}^{p}{e^{-\lambda _{j}z}}\sum \limits _{k=1}^{r_{j}}{c_{j,k}^{*}}\sum \limits _{i=0}^{k-1}{\frac {z^{r+i}\lambda _{j}^{i}}{\Gamma (r+1+i)}}{}_{1}F_{1}(r,r+1+i,-(\lambda -\lambda _{j})z)~~~~(z>0)\end{array}}}$

dónde

${\displaystyle c_{j,k}^{*}={\frac {c_{j,k}}{\lambda _{j}^{k}}}\Gamma (k)}$

con lo dado por ( 1 )-( 3 ) arriba. En las expresiones anteriores está la función hipergeométrica confluente de Kummer. Esta función tiene generalmente muy buenas propiedades de convergencia y actualmente se maneja fácilmente mediante varios paquetes de software. ${\displaystyle c_{j,k}}$ ${\displaystyle _{1}F_{1}(a,b;z)}$

Aplicaciones

Las distribuciones GIG y GNIG son la base para las distribuciones exactas y casi exactas de un gran número de estadísticas de prueba de razón de verosimilitud y estadísticas relacionadas utilizadas en el análisis multivariante . ^{[5] [6] [7] [8] [9]} Más precisamente, esta aplicación es usualmente para las distribuciones exactas y casi exactas del logaritmo negativo de tales estadísticas. Si es necesario, es entonces fácil, a través de una transformación simple, obtener las distribuciones exactas o casi exactas correspondientes para las estadísticas de prueba de razón de verosimilitud correspondientes. ^{[4] [10] [11]}

La distribución GIG también es la base de una serie de distribuciones envueltas en la familia gamma envuelta. ^[12]

Como es un caso especial de la distribución chi-cuadrado generalizada , existen muchas otras aplicaciones; por ejemplo, en la teoría de renovación ^[1] y en las comunicaciones inalámbricas multiantena. ^{[13] [14] [15] [16]}

Referencias

1. Amari SV y Misra RB (1997). Expresiones cerradas para la distribución de la suma de variables aleatorias exponenciales ^{[ enlace muerto permanente ]} . IEEE Transactions on Reliability , vol. 46, núm. 4, 519-522.
2. Coelho, CA (1998). La distribución gamma de enteros generalizada: una base para distribuciones en estadística multivariante. Journal of Multivariate Analysis , 64 , 86-102.
3. Coelho, CA (1999). Adenda al artículo 'La distribución IntegerGamma generalizada: una base para distribuciones en análisis multivariante'. Journal of Multivariate Analysis , 69 , 281-285.
4. Coelho, CA (2004). "La distribución Gamma casi entera generalizada: una base para aproximaciones 'casi exactas' a las distribuciones de estadísticas que son el producto de un número impar de variables aleatorias Beta independientes particulares". Journal of Multivariate Analysis , 89 (2), 191-218. MR 2063631 Zbl  1047.62014 [WOS: 000221483200001]
5. Bilodeau, M., Brenner, D. (1999) "Teoría de la estadística multivariante". Springer, Nueva York [Cap. 11, sec. 11.4]
6. Das, S., Dey, DK (2010) "Sobre la inferencia bayesiana para la distribución gamma multivariada generalizada". Statistics and Probability Letters , 80, 1492-1499.
7. Karagiannidis, K., Sagias, NC, Tsiftsis, TA (2006) "Estadísticas de forma cerrada para la suma de variables cuadradas de Nakagami-m y sus aplicaciones". Transactions on Communications , 54, 1353-1359.
8. Paolella, MS (2007) "Probabilidad intermedia: un enfoque computacional". J. Wiley & Sons, Nueva York [Cap. 2, sec. 2.2]
9. Timm, NH (2002) "Análisis multivariante aplicado". Springer, Nueva York [Cap. 3, sec. 3.5]
10. Coelho, CA (2006) "Distribuciones exactas y casi exactas del producto de variables aleatorias Beta independientes cuyo segundo parámetro es racional". Journal of Combinatorics, Information & System Sciences , 31 (1-4), 21-44. MR 2351709
11. Coelho, CA, Alberto, RP y Grilo, LM (2006) "Una mezcla de distribuciones Gamma de enteros generalizados como la distribución exacta del producto de un número impar de variables aleatorias Beta independientes. Aplicaciones". Journal of Interdisciplinary Mathematics , 9 , 2, 229-248. MR 2245158 Zbl  1117.62017
12. Coelho, CA (2007) "La distribución Gamma envuelta y sumas envueltas y combinaciones lineales de distribuciones Gamma y Laplace independientes". Journal of Statistical Theory and Practice , 1 (1), 1-29.
13. E. Björnson, D. Hammarwall, B. Ottersten (2009) "Explotación de la retroalimentación de la norma del canal cuantificado a través de estadísticas condicionales en sistemas MIMO arbitrariamente correlacionados", IEEE Transactions on Signal Processing , 57, 4027-4041
14. Kaiser, T., Zheng, F. (2010) "Sistemas de banda ultra ancha con MIMO". J. Wiley & Sons, Chichester, Reino Unido [Cap. 6, sec. 6.6]
15. Suraweera, HA, Smith, PJ, Surobhi, NA (2008) "Probabilidad exacta de interrupción de la diversidad cooperativa con acceso oportunista al espectro". IEEE International Conference on Communications, 2008, ICC Workshops '08 , 79-86 ( ISBN 978-1-4244-2052-0 - doi :10.1109/ICCW.2008.20). 
16. Surobhi, NA (2010) "Rendimiento de las redes de retransmisión cognitiva cooperativas durante interrupciones del servicio". Tesis de maestría, Facultad de Ingeniería y Ciencias , Universidad Victoria, Melbourne, Australia [Cap. 3, sec. 3.4].