Distribución seminormal modificada

Distribución de probabilidad

En teoría de probabilidad y estadística , la distribución seminormal modificada (MHN) ^{[1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8]} es una familia de tres parámetros de distribuciones de probabilidad continuas admitidas en la parte positiva de la recta real. Puede verse como una generalización de múltiples familias, incluida la distribución seminormal , la distribución normal truncada , la distribución gamma y la raíz cuadrada de la distribución gamma, todas las cuales son casos especiales de la distribución MHN. Por tanto, es un modelo de probabilidad flexible para analizar datos positivos de valor real. El nombre de la distribución está motivado por las similitudes de su función de densidad con la de la distribución seminormal.

Además de usarse como modelo de probabilidad, la distribución MHN también aparece en los procedimientos bayesianos basados ​​en la cadena de Markov Monte Carlo (MCMC) , incluido el modelado bayesiano de los datos direccionales, ^[4] la regresión binaria bayesiana y el modelado gráfico bayesiano .

En el análisis bayesiano, las nuevas distribuciones suelen aparecer como una distribución posterior condicional ; El uso de muchas de estas distribuciones de probabilidad es demasiado contextual y es posible que no tengan importancia en una perspectiva más amplia. Además, muchas de estas distribuciones carecen de una representación manejable de sus aspectos distributivos, como la forma funcional conocida de la constante de normalización. Sin embargo, la distribución MHN ocurre en diversas áreas de investigación, lo que significa su relevancia para el modelado estadístico bayesiano contemporáneo y el cálculo asociado. ^{[ se necesita aclaración ]}

Los momentos (incluidas la varianza y la asimetría ) de la distribución MHN se pueden representar mediante las funciones Psi de Fox-Wright . Existe una relación recursiva entre los tres momentos consecutivos de la distribución; esto es útil para desarrollar una aproximación eficiente de la media de la distribución, así como para construir una estimación de sus parámetros basada en momentos.

Definiciones

La función de densidad de probabilidad de la distribución seminormal modificada es

$${\displaystyle f(x)={\frac {2\beta ^{\alpha /2}x^{\alpha -1}\exp(-\beta x^{2}+\gamma x)}{\Psi \left({\frac {\alpha }{2}},{\frac {\gamma }{\sqrt {\beta }}}\right)}}{\text{ for }}x>0}$$

función Psi de Fox-Wright^{[9] [10] [11][1]} ${\displaystyle \Psi \left({\frac {\alpha }{2}},{\frac {\gamma }{\sqrt {\beta }}}\right)={}_{1}\Psi _{1}\left[{\begin{matrix}({\frac {\alpha }{2}},{\frac {1}{2}})\\(1,0)\end{matrix}};{\frac {\gamma }{\sqrt {\beta }}}\right]}$

La función de distribución acumulativa (CDF) es

$${\displaystyle F_{_{\text{MHN}}}(x\mid \alpha ,\beta ,\gamma )={\frac {2\beta ^{\alpha /2}}{\Psi \left({\frac {\alpha }{2}},{\frac {\gamma }{\sqrt {\beta }}}\right)}}\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {\gamma ^{i}}{2i!}}\beta ^{-(\alpha +i)/2}\gamma \left({\frac {\alpha +i}{2}},\beta x^{2}\right){\text{ for }}x\geq 0,}$$

función gamma incompleta ${\displaystyle \gamma (s,y)=\int _{0}^{y}t^{s-1}e^{-t}\,dt}$

Propiedades

La distribución seminormal modificada es una familia exponencial de distribuciones y, por tanto, hereda las propiedades de las familias exponenciales.

Momentos

Dejar . Elija un valor real tal que . Entonces el décimo momento es ${\displaystyle X\sim {\text{MHN}}(\alpha ,\beta ,\gamma )}$ ${\displaystyle k\geq 0}$ ${\displaystyle \alpha +k>0}$ ${\displaystyle k}$

$${\displaystyle E(X^{k})={\frac {\Psi \left({\frac {\alpha +k}{2}},{\frac {\gamma }{\sqrt {\beta }}}\right)}{\beta ^{k/2}\Psi \left({\frac {\alpha }{2}},{\frac {\gamma }{\sqrt {\beta }}}\right)}}.}$$

$${\displaystyle E(X^{k+2})={\frac {\alpha +k}{2\beta }}E(X^{k})+{\frac {\gamma }{2\beta }}E(X^{k+1}).}$$

${\displaystyle \operatorname {Var} (X)={\frac {\alpha }{2\beta }}+E(X)\left({\frac {\gamma }{2\beta }}-E(X)\right).}$

$${\displaystyle M_{X}(t)={\frac {\Psi \left({\frac {\alpha }{2}},{\frac {\gamma +t}{\sqrt {\beta }}}\right)}{\left({\frac {\alpha }{2}},{\frac {\gamma }{\sqrt {\beta }}}\right)}}.}$$

Caracterización modal

Considere con , y . ${\displaystyle {\text{MHN}}(\alpha ,\beta ,\gamma )}$ ${\displaystyle \alpha >0}$ ${\displaystyle \beta >0}$ ${\displaystyle \gamma \in \mathbb {R} }$

• Si , entonces la función de densidad de probabilidad de la distribución es logcóncava. ${\displaystyle \alpha \geq 1}$
• Si , entonces el modo de distribución se ubica en ${\displaystyle \alpha >1}$ ${\displaystyle {\frac {\gamma +{\sqrt {\gamma ^{2}+8\beta (\alpha -1)}}}{4\beta }}.}$
• Si y , entonces la densidad tiene un máximo local en y un mínimo local en ${\displaystyle \gamma >0}$ ${\displaystyle 1-{\frac {\gamma ^{2}}{8\beta }}\leq \alpha <1}$ ${\displaystyle {\frac {\gamma +{\sqrt {\gamma ^{2}+8\beta (\alpha -1)}}}{4\beta }}}$ ${\displaystyle {\frac {\gamma -{\sqrt {\gamma ^{2}+8\beta (\alpha -1)}}}{4\beta }}.}$
• La función de densidad disminuye gradualmente y el modo de distribución no existe, si , o . ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}}$ ${\displaystyle \gamma >0}$ ${\displaystyle 0<\alpha <1-{\frac {\gamma ^{2}}{8\beta }}}$ ${\displaystyle \gamma <0,\alpha \leq 1}$

Propiedades adicionales que involucran moda y valores esperados.

Sea para , y , y denotemos la moda de la distribución por ${\displaystyle X\sim {\text{MHN}}(\alpha ,\beta ,\gamma )}$ ${\displaystyle \alpha \geq 1}$ ${\displaystyle \beta >0}$ ${\displaystyle \gamma \in \mathbb {R} {}}$ ${\displaystyle X_{\text{mode}}={\frac {\gamma +{\sqrt {\gamma ^{2}+8\beta (\alpha -1)}}}{4\beta }}.}$

Si entonces ${\displaystyle \alpha >1}$

$${\displaystyle X_{\text{mode}}\leq E(X)\leq {\frac {\gamma +{\sqrt {\gamma ^{2}+8\alpha \beta }}}{4\beta }}}$$

${\displaystyle \gamma \in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle E(X)}$ ${\displaystyle \alpha }$

Por otro lado, si y , entonces ${\displaystyle \gamma >0}$ ${\displaystyle \alpha \geq 4}$

$${\displaystyle \log(X_{\text{mode}})\leq E(\log(X))\leq \log \left({\frac {\gamma +{\sqrt {\gamma ^{2}+8\alpha \beta }}}{4\beta }}\right).}$$

${\displaystyle \alpha >0}$ ${\displaystyle \beta >0}$ ${\displaystyle \gamma \in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\text{Var}}(X)\leq {\frac {1}{2\beta }}}$ ${\displaystyle \alpha \geq 4}$ ${\displaystyle X_{\text{mode}}\leq E(X)}$

Representación de mezcla

Dejar . Si , entonces existe una variable aleatoria tal que y . Por el contrario, si entonces existe una variable aleatoria tal que y , donde denota la distribución gaussiana inversa generalizada . ${\displaystyle X\sim \operatorname {MHN} (\alpha ,\beta ,\gamma )}$ ${\displaystyle \gamma >0}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V\mid X\sim \operatorname {Poisson} (\gamma X)}$ ${\displaystyle X^{2}\mid V\sim \operatorname {Gamma} \left({\frac {\alpha +V}{2}},\beta \right)}$ ${\displaystyle \gamma <0}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U\mid X\sim {\text{GIG}}\left({\frac {1}{2}},1,\gamma ^{2}X^{2}\right)}$ ${\displaystyle X^{2}\mid U\sim {\text{Gamma}}\left({\frac {\alpha }{2}},\left(\beta +{\frac {\gamma ^{2}}{U}}\right)\right)}$ ${\displaystyle {\text{GIG}}}$

Referencias

1. Sol, Jingchao; Kong, Maiying; Pal, Subhadip (22 de junio de 2021). "La distribución seminormal modificada: propiedades y un esquema de muestreo eficiente". Comunicaciones en Estadística - Teoría y Métodos . 52 (5): 1591-1613. doi :10.1080/03610926.2021.1934700. ISSN  0361-0926. S2CID  237919587.
2. Trangucci, Rob; Chen, Yang; Zelner, Jon (18 de agosto de 2022). "Modelado de diferencias raciales/étnicas en la incidencia de COVID-19 con covariables sujetas a faltas no aleatorias". arXiv : 2206.08161 .PPR533225.
3. Wang, Hai-Bin; Wang, Jian (23 de agosto de 2022). "Una muestra exacta de una red elástica totalmente baysiana". Estadística Computacional . doi :10.1007/s00180-022-01275-8. ISSN  1613-9658.
4. Pal, Subhadip; Gaskins, Jeremy (2 de noviembre de 2022). "Aumento de datos Pólya-Gamma modificado para análisis bayesiano de datos direccionales". Revista de simulación y computación estadística . 92 (16): 3430–3451. doi :10.1080/00949655.2022.2067853. ISSN  0094-9655. S2CID  249022546.
5. Trangucci, Robert Neale (2023). Expansión del modelo bayesiano para el sesgo de selección en epidemiología (Tesis). doi :10.7302/8573. hdl :2027.42/178116.
6. Haoran, Xu; Ziyi, Wang (18 de mayo de 2023). "Evaluación del estado y diagnóstico de fallas del transformador de potencia basado en GAN-CNN". Revista de Electrotecnología, Ingeniería y Gestión Eléctrica . 6 (3): 8–16. doi : 10.23977/jeeem.2023.060302 . S2CID  259048682.
7. Gao, Fengxin; Wang, Hai-Bin (17 de agosto de 2022). "Generación de variaciones aleatorias mitad normales modificadas mediante un método de rechazo de densidad transformada relajada". www.researchsquare.com . doi :10.21203/rs.3.rs-1948653/v1.
8. Копаниця, Юрій (5 de octubre de 2021). "ПОВІТРЯНИЙ СТОВП НАПІРНОГО ГІДРОЦИКЛОНУ ІЗ ПНЕВМАТИЧНИМ РЕГУЛЯТО РОМ". Проблеми водопостачання, водовідведення та гідравліки (en ucraniano) (36): 4–10. doi : 10.32347/2524-0021.2021.36.4-10 . ISSN  2524-0021. S2CID  242771336.
9. Wright, E. Maitland (1935). "La expansión asintótica de la función hipergeométrica generalizada". Revista de la Sociedad Matemática de Londres . T1-10 (4): 286–293. doi :10.1112/jlms/s1-10.40.286. ISSN  1469-7750.
10. Zorro, C. (1928). "La expansión asintótica de funciones hipergeométricas generalizadas". Actas de la Sociedad Matemática de Londres . T2-27 (1): 389–400. doi :10.1112/plms/s2-27.1.389. ISSN  1460-244X.
11. Mehrez, Khaled; Sitnik, Sergei M. (1 de noviembre de 2019). "Desigualdades funcionales para las funciones Fox-Wright". El diario Ramanujan . 50 (2): 263–287. arXiv : 1708.06611 . doi :10.1007/s11139-018-0071-2. ISSN  1572-9303. S2CID  119716471.