Distribución gaussiana rectificada

En teoría de probabilidad , la distribución gaussiana rectificada es una modificación de la distribución gaussiana cuando sus elementos negativos se restablecen a 0 (de manera análoga a un rectificador electrónico ). Es esencialmente una mezcla de una distribución discreta (constante 0) y una distribución continua (una distribución gaussiana truncada con intervalo ) como resultado de la censura . ${\displaystyle (0,\infty )}$

Función de densidad

La función de densidad de probabilidad de una distribución gaussiana rectificada, para la cual las variables aleatorias X que tienen esta distribución, derivadas de la distribución normal, se muestran como , está dada por ${\displaystyle {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2}),}$ ${\displaystyle X\sim {\mathcal {N}}^{\textrm {R}}(\mu ,\sigma ^{2})}$ $${\displaystyle f(x;\mu ,\sigma ^{2})=\Phi {\left(-{\frac {\mu }{\sigma }}\right)}\delta (x)+{\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}\;e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}{\textrm {U}}(x).}$$

Una comparación de la distribución gaussiana, la distribución gaussiana rectificada y la distribución gaussiana truncada.

Aquí, es la función de distribución acumulativa (cdf) de la distribución normal estándar : es la función delta de Dirac y es la función de paso unitario : ${\displaystyle \Phi (x)}$ $${\displaystyle \Phi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{x}e^{-t^{2}/2}\,dt\quad x\in \mathbb {R} ,}$$ ${\displaystyle \delta (x)}$ $${\displaystyle \delta (x)={\begin{cases}+\infty ,&x=0\\0,&x\neq 0\end{cases}}}$$ ${\displaystyle {\textrm {U}}(x)}$ $${\displaystyle {\textrm {U}}(x)={\begin{cases}0,&x\leq 0,\\1,&x>0.\end{cases}}}$$

Media y varianza

Dado que la distribución normal no rectificada tiene media y dado que al transformarla en la distribución rectificada se ha desplazado cierta masa de probabilidad a un valor más alto (de valores negativos a 0), la media de la distribución rectificada es mayor que ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu .}$

Dado que la distribución rectificada se forma moviendo parte de la masa de probabilidad hacia el resto de la masa de probabilidad, la rectificación es una contracción que preserva la media combinada con un desplazamiento rígido de la distribución que cambia la media y, por lo tanto, la varianza disminuye; por lo tanto, la varianza de la distribución rectificada es menor que ${\displaystyle \sigma ^{2}.}$

Generando valores

Para generar valores computacionalmente, se puede utilizar

${\displaystyle s\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2}),\quad x={\textrm {max}}(0,s),}$

y luego

${\displaystyle x\sim {\mathcal {N}}^{\textrm {R}}(\mu ,\sigma ^{2}).}$

Solicitud

Una distribución gaussiana rectificada es semiconjugada a la verosimilitud gaussiana, y se ha aplicado recientemente al análisis factorial , o particularmente, al análisis factorial rectificado (no negativo). Harva ^[1] propuso un algoritmo de aprendizaje variacional para el modelo factorial rectificado, donde los factores siguen una mezcla de gaussianas rectificadas; y más tarde Meng ^[2] propuso un modelo factorial rectificado infinito acoplado con su solución de muestreo de Gibbs, donde los factores siguen una mezcla de proceso Dirichlet de distribución gaussiana rectificada, y lo aplicó en biología computacional para la reconstrucción de redes reguladoras de genes .

Extensión a límites generales

^{Palmer et al. [3]} propusieron una extensión de la distribución gaussiana rectificada que permite la rectificación entre límites inferiores y superiores arbitrarios. Para los límites inferiores y superiores , respectivamente, la función de distribución acumulada (cdf) se expresa mediante: ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle F_{R}(x|\mu ,\sigma ^{2})}$

${\displaystyle F_{R}(x|\mu ,\sigma ^{2})={\begin{cases}0,&x<a,\\\Phi (x|\mu ,\sigma ^{2}),&a\leq x<b,\\1,&x\geq b,\\\end{cases}}}$

donde es la función de distribución acumulada de una distribución normal con media y varianza . La media y la varianza de la distribución rectificada se calculan transformando primero las restricciones para que actúen sobre una distribución normal estándar: ${\displaystyle \Phi (x|\mu ,\sigma ^{2})}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \sigma ^{2}}$

${\displaystyle c={\frac {a-\mu }{\sigma }},\qquad d={\frac {b-\mu }{\sigma }}.}$

Utilizando las restricciones transformadas, la media y la varianza, respectivamente , se dan entonces por: ${\displaystyle \mu _{R}}$ ${\displaystyle \sigma _{R}^{2}}$

${\displaystyle \mu _{t}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\left(e^{\left(-{\frac {c^{2}}{2}}\right)}-e^{\left(-{\frac {d^{2}}{2}}\right)}\right)+{\frac {c}{2}}\left(1+{\textrm {erf}}\left({\frac {c}{\sqrt {2}}}\right)\right)+{\frac {d}{2}}\left(1-{\textrm {erf}}\left({\frac {d}{\sqrt {2}}}\right)\right),}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{t}^{2}&={\frac {\mu _{t}^{2}+1}{2}}\left({\textrm {erf}}\left({\frac {d}{\sqrt {2}}}\right)-{\textrm {erf}}\left({\frac {c}{\sqrt {2}}}\right)\right)-{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\left(\left(d-2\mu _{t}\right)e^{\left(-{\frac {d^{2}}{2}}\right)}-\left(c-2\mu _{t}\right)e^{\left(-{\frac {c^{2}}{2}}\right)}\right)\\&+{\frac {\left(c-\mu _{t}\right)^{2}}{2}}\left(1+{\textrm {erf}}\left({\frac {c}{\sqrt {2}}}\right)\right)+{\frac {\left(d-\mu _{t}\right)^{2}}{2}}\left(1-{\textrm {erf}}\left({\frac {d}{\sqrt {2}}}\right)\right),\end{aligned}}}$

${\displaystyle \mu _{R}=\mu +\sigma \mu _{t},}$

${\displaystyle \sigma _{R}^{2}=\sigma ^{2}\sigma _{t}^{2},}$

donde erf es la función de error . Palmer et al. utilizaron esta distribución para modelar los niveles de recursos físicos, como la cantidad de líquido en un recipiente, que está limitada tanto por 0 como por la capacidad del recipiente.

Véase también

• Distribución normal plegada
• Distribución seminormal
• Distribución t- media
• Distribución seminormal modificada ^[4]
• Distribución normal truncada

Referencias

1. Harva, M.; Kaban, A. (2007). "Aprendizaje variacional para análisis factorial rectificado☆". Procesamiento de señales . 87 (3): 509. doi :10.1016/j.sigpro.2006.06.006.
2. Meng, Jia; Zhang, Jianqiu (Michelle); Chen, Yidong; Huang, Yufei (2011). "Análisis factorial no negativo bayesiano para reconstruir redes reguladoras mediadas por factores de transcripción". Proteome Science . 9 (Supl 1): S9. doi : 10.1186/1477-5956-9-S1-S9 . ISSN  1477-5956. PMC 3289087 . PMID  22166063. 
3. Palmer, Andrew W.; Hill, Andrew J.; Scheding, Steven J. (2017). "Métodos para la optimización de la recolección y reposición estocástica (SCAR) para la autonomía persistente". Robótica y sistemas autónomos . 87 : 51–65. arXiv : 1603.01419 . doi : 10.1016/j.robot.2016.09.011 .
4. Sun, Jingchao; Kong, Maiying; Pal, Subhadip (22 de junio de 2021). "La distribución seminormal modificada: propiedades y un esquema de muestreo eficiente" (PDF) . Comunicaciones en estadística: teoría y métodos . 52 (5): 1591–1613. doi :10.1080/03610926.2021.1934700. ISSN  0361-0926. S2CID  237919587.