Refinamiento de estrellas

En matemáticas , específicamente en el estudio de la topología y las cubiertas abiertas de un espacio topológico X , un refinamiento de estrella es un tipo particular de refinamiento de una cubierta abierta de X. Un concepto relacionado es la noción de refinamiento baricéntrico .

Los refinamientos de estrellas se utilizan en la definición de espacio completamente normal y en una definición de espacio uniforme . También es útil para establecer una caracterización de la paracompacidad .

Definiciones

La definición general tiene sentido para coberturas arbitrarias y no requiere una topología. Sea un conjunto y sea una cubierta de es decir, Dado un subconjunto de la estrella de con respecto a es la unión de todos los conjuntos que se cruzan es decir, ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\textstyle X=\bigcup {\mathcal {U}}.}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle U\in {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle S,}$

$${\displaystyle \operatorname {st} (S,{\mathcal {U}})=\bigcup {\big \{}U\in {\mathcal {U}}:S\cap U\neq \varnothing {\big \}}.}$$

Dado un punto escribimos en lugar de ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle \operatorname {st} (x,{\mathcal {U}})}$ ${\displaystyle \operatorname {st} (\{x\},{\mathcal {U}}).}$

Una cobertura de es un refinamiento de una cobertura de si cada está contenido en alguno. Los siguientes son dos tipos especiales de refinamiento. La cobertura se llama refinamiento baricéntrico de si por cada la estrella está contenida en algún ^{[1] [2]} La cobertura se llama refinamiento de estrella si por cada la estrella está contenida en algún ^{[3] [2]} ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U\in {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle V\in {\mathcal {V}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \operatorname {st} (x,{\mathcal {U}})}$ ${\displaystyle V\in {\mathcal {V}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$ ${\displaystyle U\in {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle \operatorname {st} (U,{\mathcal {U}})}$ ${\displaystyle V\in {\mathcal {V}}.}$

Propiedades y ejemplos

Cada refinamiento estelar de una portada es un refinamiento baricéntrico de esa portada. Lo contrario no es cierto, pero un refinamiento baricéntrico de un refinamiento baricéntrico es un refinamiento estelar. ^{[4] [5] [6] [7]}

Dado un espacio métrico, sea la colección de todas las bolas abiertas de un radio fijo. La colección es un refinamiento baricéntrico de y la colección es un refinamiento estrella de ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle {\mathcal {V}}=\{B_{\epsilon }(x):x\in X\}}$ ${\displaystyle B_{\epsilon }(x)}$ ${\displaystyle \epsilon >0.}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}=\{B_{\epsilon /2}(x):x\in X\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {V}},}$ ${\displaystyle {\mathcal {W}}=\{B_{\epsilon /3}(x):x\in X\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {V}}.}$

Ver también

• Familia de conjuntos  : cualquier colección de conjuntos o subconjuntos de un conjunto.

Notas

1. Dugundji 1966, Definición VIII.3.1, p. 167.
2. Willard 2004, Definición 20.1.
3. Dugundji 1966, Definición VIII.3.3, p. 167.
4. Dugundji 1966, Proposición VIII.3.4, pág. 167.
5. Willard 2004, Problema 20B.
6. "El refinamiento baricéntrico de un refinamiento baricéntrico es un refinamiento estelar". Intercambio de pilas de matemáticas .
7. Brandsma, Henno (2003). «Sobre la paracompacidad, la plena normalidad y similares» (PDF) .

Referencias

• Dugundji, James (1966). Topología . Boston: Allyn y Bacon. ISBN 978-0-697-06889-7. OCLC  395340485.
• Willard, Stephen (2004) [1970]. Topología general. Mineola, Nueva York : Publicaciones de Dover . ISBN 978-0-486-43479-7. OCLC  115240.