Convergencia compacta

Tipo de convergencia matemática en topología

En matemáticas, la convergencia compacta (o convergencia uniforme en conjuntos compactos ) es un tipo de convergencia que generaliza la idea de convergencia uniforme . Está asociada a la topología compacta-abierta .

Definición

Sea un espacio topológico y un espacio métrico . Una secuencia de funciones ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$ ${\displaystyle (Y,d_{Y})}$

${\displaystyle f_{n}:X\to Y}$, ${\displaystyle n\in \mathbb {N} ,}$

se dice que converge de forma compacta respecto a alguna función si, para cada conjunto compacto , ${\displaystyle n\to \infty }$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle K\subseteq X}$

${\displaystyle f_{n}|_{K}\to f|_{K}}$

uniformemente como . Esto significa que para todos los compactos , ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle n\to \infty }$ ${\displaystyle K\subseteq X}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\sup _{x\in K}d_{Y}\left(f_{n}(x),f(x)\right)=0.}$

Ejemplos

• Si y con sus topologías habituales, con , entonces converge de forma compacta a la función constante con valor 0, pero no de manera uniforme. ${\displaystyle X=(0,1)\subseteq \mathbb {R} }$ ${\displaystyle Y=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle f_{n}(x):=x^{n}}$ ${\displaystyle f_{n}}$
• Si , y , entonces converge puntualmente a la función que es cero en y uno en , pero la secuencia no converge de manera compacta. ${\displaystyle X=(0,1]}$ ${\displaystyle Y=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle f_{n}(x)=x^{n}}$ ${\displaystyle f_{n}}$ ${\displaystyle (0,1)}$ ${\displaystyle 1}$
• Una herramienta muy poderosa para demostrar la convergencia compacta es el teorema de Arzelà–Ascoli . Existen varias versiones de este teorema; en términos generales, establece que cada secuencia de funciones equicontinuas y uniformemente acotadas tiene una subsecuencia que converge de manera compacta a alguna función continua.

Propiedades

• Si es uniforme, entonces compacto. ${\displaystyle f_{n}\to f}$ ${\displaystyle f_{n}\to f}$
• Si es un espacio compacto y de manera compacta, entonces de manera uniforme. ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$ ${\displaystyle f_{n}\to f}$ ${\displaystyle f_{n}\to f}$
• Si es un espacio localmente compacto , entonces es compacto si y sólo si es localmente uniforme. ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$ ${\displaystyle f_{n}\to f}$ ${\displaystyle f_{n}\to f}$
• Si es un espacio generado de forma compacta , de forma compacta, y cada uno es continuo , entonces es continuo. ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$ ${\displaystyle f_{n}\to f}$ ${\displaystyle f_{n}}$ ${\displaystyle f}$

Véase también

• Modos de convergencia (índice anotado)
• Teorema de Montel

Referencias

• Reinhold Remmert Teoría de funciones complejas (1991 Springer) p. 95