Representación decimal

Expresión de números como secuencias de dígitos.

Una representación decimal de un número real no negativo r es su expresión como una secuencia de símbolos que consta de dígitos decimales escritos tradicionalmente con un único separador:

$${\displaystyle r=b_{k}b_{k-1}\ldots b_{0}.a_{1}a_{2}\ldots }$$

. separador decimalknúmero entero no negativodígitos ${\displaystyle b_{0},\ldots ,b_{k},a_{1},a_{2},\ldots }$

Comúnmente, si la secuencia de los dígitos después del punto es generalmente infinita . Si es finito, se supone que los dígitos que faltan son 0. Si todos son 0 , el separador también se omite, lo que da como resultado una secuencia finita de dígitos, que representa un número natural . ${\displaystyle b_{k}\neq 0}$ ${\displaystyle k\geq 1.}$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle a_{i}}$

La representación decimal representa la suma infinita :

$${\displaystyle r=\sum _{i=0}^{k}b_{i}10^{i}+\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {a_{i}}{10^{i}}}.}$$

Todo número real no negativo tiene al menos una de esas representaciones; tiene dos representaciones de este tipo (con if ) si y solo si una tiene una secuencia infinita final de 0 y la otra tiene una secuencia infinita final de 9 . Por tener una correspondencia uno a uno entre números reales no negativos y representaciones decimales, a veces se excluyen las representaciones decimales con una secuencia infinita final de 9 . ^[1] ${\displaystyle b_{k}\neq 0}$ ${\displaystyle k>0}$

Partes enteras y fraccionarias

El número natural se denomina parte entera de r y se denota con un ₀ en el resto de este artículo. La secuencia de representa el número. ${\textstyle \sum _{i=0}^{k}b_{i}10^{i}}$ ${\displaystyle a_{i}}$

$${\displaystyle 0.a_{1}a_{2}\ldots =\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {a_{i}}{10^{i}}},}$$

intervaloparte fraccionariar9 ${\displaystyle [0,1),}$ ${\displaystyle a_{i}}$

Aproximaciones decimales finitas

Cualquier número real puede aproximarse con cualquier grado de precisión deseado mediante números racionales con representaciones decimales finitas.

Asumir . Entonces para cada número entero existe un decimal finito tal que: ${\displaystyle x\geq 0}$ ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle r_{n}=a_{0}.a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}$

$${\displaystyle r_{n}\leq x<r_{n}+{\frac {1}{10^{n}}}.}$$

Prueba : Vamos , dónde . Entonces , y el resultado se obtiene al dividir todos los lados por . (El hecho de que tenga una representación decimal finita se establece fácilmente). ${\displaystyle r_{n}=\textstyle {\frac {p}{10^{n}}}}$ ${\displaystyle p=\lfloor 10^{n}x\rfloor }$ ${\displaystyle p\leq 10^{n}x<p+1}$ ${\displaystyle 10^{n}}$ ${\displaystyle r_{n}}$

No unicidad de la representación decimal y convenciones de notación

Algunos números reales tienen dos representaciones decimales infinitas. Por ejemplo, el número 1 puede representarse igualmente por 1,000... como por 0,999... (donde las secuencias infinitas de 0 o 9, respectivamente, se representan por "..."). Convencionalmente, se prefiere la representación decimal sin nueves finales. Además, en la representación decimal estándar de , se omite una secuencia infinita de ceros finales que aparecen después del punto decimal , junto con el propio punto decimal si es un número entero. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

Ciertos procedimientos para construir la expansión decimal de evitarán el problema de los nueves finales. Por ejemplo, el siguiente procedimiento algorítmico dará la representación decimal estándar: Dado , primero definimos (la parte entera de ) como el entero más grande tal que (es decir, ). Si el procedimiento termina. De lo contrario, para lo ya encontrado, lo definimos inductivamente como el mayor entero tal que: ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x\geq 0}$ ${\displaystyle a_{0}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a_{0}\leq x}$ ${\displaystyle a_{0}=\lfloor x\rfloor }$ ${\displaystyle x=a_{0}}$ ${\textstyle (a_{i})_{i=0}^{k-1}}$ ${\displaystyle a_{k}}$

El procedimiento termina siempre que se encuentre que la igualdad se cumple en ( * ); de lo contrario, continúa indefinidamente dando una secuencia infinita de dígitos decimales. Se puede demostrar que ^[2] (convencionalmente escrito como ), donde y el número entero no negativo se representa en notación decimal . Esta construcción se amplía aplicando el procedimiento anterior y denotando la expansión decimal resultante por . ${\displaystyle a_{k}}$ ${\textstyle x=\sup _{k}\left\{\sum _{i=0}^{k}{\frac {a_{i}}{10^{i}}}\right\}}$ ${\displaystyle x=a_{0}.a_{1}a_{2}a_{3}\cdots }$ ${\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3}\ldots \in \{0,1,2,\ldots ,9\},}$ ${\displaystyle a_{0}}$ ${\displaystyle x<0}$ ${\displaystyle -x>0}$ ${\displaystyle -a_{0}.a_{1}a_{2}a_{3}\cdots }$

Tipos

Finito

La expansión decimal del número real no negativo x terminará en ceros (o en nueves) si, y sólo si, x es un número racional cuyo denominador es de la forma 2 ⁿ 5 ^m , donde m y n son enteros no negativos .

Prueba :

Si la expansión decimal de x terminará en ceros, o para algún n , entonces el denominador de x tiene la forma 10 ⁿ = 2 ⁿ 5 ⁿ . ${\textstyle x=\sum _{i=0}^{n}{\frac {a_{i}}{10^{i}}}=\sum _{i=0}^{n}10^{n-i}a_{i}/10^{n}}$

Por el contrario, si el denominador de x es de la forma 2 ⁿ 5 ^m , para algún p . Mientras que x es de la forma , para algunos n . Por , x terminará en ceros. ${\displaystyle x={\frac {p}{2^{n}5^{m}}}={\frac {2^{m}5^{n}p}{2^{n+m}5^{n+m}}}={\frac {2^{m}5^{n}p}{10^{n+m}}}}$ ${\displaystyle \textstyle {\frac {p}{10^{k}}}}$ ${\displaystyle p=\sum _{i=0}^{n}10^{i}a_{i}}$ ${\displaystyle x=\sum _{i=0}^{n}10^{n-i}a_{i}/10^{n}=\sum _{i=0}^{n}{\frac {a_{i}}{10^{i}}}}$

Infinito

Representaciones decimales repetidas

Algunos números reales tienen expansiones decimales que eventualmente forman bucles, repitiendo sin cesar una secuencia de uno o más dígitos:

1 ⁄ 3 = 0,33333...

1 ⁄ 7 = 0,142857142857...

1318 ⁄ 185 = 7,1243243243...

Cada vez que esto sucede, el número sigue siendo un número racional (es decir, también puede representarse como una relación entre un número entero y un número entero positivo). También es cierto lo contrario: la expansión decimal de un número racional es finita o se repite infinitamente.

Las representaciones decimales finitas también pueden verse como un caso especial de representaciones decimales periódicas infinitas. Por ejemplo, 36 ⁄ 25 = 1,44 = 1,4400000...; la secuencia repetida infinitamente es la secuencia de un dígito "0".

Representaciones decimales no periódicas

Otros números reales tienen expansiones decimales que nunca se repiten. Estos son precisamente los números irracionales , números que no pueden representarse como una razón de números enteros. Algunos ejemplos bien conocidos son:

√ 2 = 1,41421356237309504880...

  e   = 2,71828182845904523536...

  π   = 3,14159265358979323846...

Conversión a fracción

Cada representación decimal de un número racional se puede convertir en una fracción convirtiéndola en una suma de las partes enteras, no repetidas y repetidas y luego convirtiendo esa suma en una sola fracción con un denominador común.

Por ejemplo, para convertir a fracción se observa el lema: ${\textstyle \pm 8.123{\overline {4567}}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}0.000{\overline {4567}}&=4567\times 0.000{\overline {0001}}\\&=4567\times 0.{\overline {0001}}\times {\frac {1}{10^{3}}}\\&=4567\times {\frac {1}{9999}}\times {\frac {1}{10^{3}}}\\&={\frac {4567}{9999}}\times {\frac {1}{10^{3}}}\\&={\frac {4567}{(10^{4}-1)\times 10^{3}}}&{\text{The exponents are the number of non-repeating digits after the decimal point (3) and the number of repeating digits (4).}}\end{aligned}}}$$

Así se convierte de la siguiente manera:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\pm 8.123{\overline {4567}}&=\pm \left(8+{\frac {123}{10^{3}}}+{\frac {4567}{(10^{4}-1)\times 10^{3}}}\right)&{\text{from above}}\\&=\pm {\frac {8\times (10^{4}-1)\times 10^{3}+123\times (10^{4}-1)+4567}{(10^{4}-1)\times 10^{3}}}&{\text{common denominator}}\\&=\pm {\frac {81226444}{9999000}}&{\text{multiplying, and summing the numerator}}\\&=\pm {\frac {20306611}{2499750}}&{\text{reducing}}\\\end{aligned}}}$$

Si no hay dígitos repetidos, se supone que hay un 0 que se repite siempre, por ejemplo , aunque como eso hace que el término repetido sea cero, la suma se simplifica a dos términos y una conversión más simple. ${\displaystyle 1.9=1.9{\overline {0}}}$

Por ejemplo:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\pm 8.1234&=\pm \left(8+{\frac {1234}{10^{4}}}\right)&\\&=\pm {\frac {8\times 10^{4}+1234}{10^{4}}}&{\text{common denominator}}\\&=\pm {\frac {81234}{10000}}&{\text{multiplying, and summing the numerator}}\\&=\pm {\frac {40617}{5000}}&{\text{reducing}}\\\end{aligned}}}$$

Ver también

• Decimal
• Serie (matemáticas)
• IEEE 754
• Simón Stevin

Referencias

1. Knuth, Donald Ervin (1973). El arte de la programación informática . vol. 1: Algoritmos fundamentales. Addison-Wesley . pag. 21.
2. Rudin, Walter (1976). Principios del análisis matemático . Nueva York: McGraw-Hill . pag. 11.ISBN _ 0-07-054235-X.

Otras lecturas

• Apóstol, Tom (1974). Análisis matemático (Segunda ed.). Addison-Wesley .
• Savard, John JG (2018) [2006]. "Representaciones decimales". cuadribloc . Archivado desde el original el 16 de julio de 2018 . Consultado el 16 de julio de 2018 .