Epiconvergencia

En el análisis matemático , la epiconvergencia es un tipo de convergencia para funciones de valor real y de valor real extendidas .

La epiconvergencia es importante porque es la noción apropiada de convergencia con la que aproximar problemas de minimización en el campo de la optimización matemática . La noción simétrica de hipoconvergencia es apropiada para problemas de maximización. La convergencia de Mosco es una generalización de la epiconvergencia a espacios de dimensión infinita.

Definición

Sea un espacio métrico y una función de valor real para cada número natural . Decimos que la sucesión epiconverge a una función si para cada ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f_{n}:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (f^{n})}$ ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x\in X}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\liminf _{n\to \infty }f_{n}(x_{n})\geq f(x){\text{ for every }}x_{n}\to x{\text{ and }}\\&\limsup _{n\to \infty }f_{n}(x_{n})\leq f(x){\text{ for some }}x_{n}\to x.\end{aligned}}}$

Extensión de valor real extendida

La siguiente extensión permite aplicar la epiconvergencia a una secuencia de funciones con dominio no constante.

Denotemos por los números reales extendidos . Sea una función para cada . La sucesión epiconverge a si para cada ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}=\mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}}$ ${\displaystyle f_{n}}$ ${\displaystyle f_{n}:X\to {\overline {\mathbb {R} }}}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle (f_{n})}$ ${\displaystyle f:X\to {\overline {\mathbb {R} }}}$ ${\displaystyle x\in X}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\liminf _{n\to \infty }f_{n}(x_{n})\geq f(x){\text{ for every }}x_{n}\to x{\text{ and }}\\&\limsup _{n\to \infty }f_{n}(x_{n})\leq f(x){\text{ for some }}x_{n}\to x.\end{aligned}}}$

De hecho, la epiconvergencia coincide con la -convergencia en los primeros espacios contables. ${\displaystyle \Gamma }$

Hipoconvergencia

La epiconvergencia es la topología apropiada para aproximar problemas de minimización. Para problemas de maximización se utiliza la noción simétrica de hipoconvergencia . La hipoconvergencia converge a si ${\displaystyle (f_{n})}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }f_{n}(x_{n})\leq f(x){\text{ for every }}x_{n}\to x}$

y

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }f_{n}(x_{n})\geq f(x){\text{ for some }}x_{n}\to x.}$

Relación con los problemas de minimización

Supongamos que tenemos un problema de minimización difícil.

${\displaystyle \inf _{x\in C}g(x)}$

donde y . Podemos intentar aproximar este problema mediante una secuencia de problemas más sencillos ${\displaystyle g:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle C\subseteq X}$

${\displaystyle \inf _{x\in C_{n}}g_{n}(x)}$

para funciones y conjuntos . ${\displaystyle g_{n}}$ ${\displaystyle C_{n}}$

La epiconvergencia proporciona una respuesta a la pregunta: ¿En qué sentido deberían las aproximaciones converger al problema original para garantizar que las soluciones aproximadas converjan a una solución del original?

Podemos integrar estos problemas de optimización en el marco de epiconvergencia definiendo funciones de valor real extendidas.

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&={\begin{cases}g(x),&x\in C,\\\infty ,&x\not \in C,\end{cases}}\\[4pt]f_{n}(x)&={\begin{cases}g_{n}(x),&x\in C_{n},\\\infty ,&x\not \in C_{n}.\end{cases}}\end{aligned}}}$

De modo que los problemas y son equivalentes a los problemas original y aproximado, respectivamente. ${\displaystyle \inf _{x\in X}f(x)}$ ${\displaystyle \inf _{x\in X}f_{n}(x)}$

Si la epiconvergencia es a , entonces . Además, si es un punto límite de minimizadores de , entonces es un minimizador de . En este sentido, ${\displaystyle (f_{n})}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }[\inf f_{n}]\leq \inf f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f_{n}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\operatorname {argmin} f_{n}\subseteq \operatorname {argmin} f.}$

La epiconvergencia es la noción más débil de convergencia para la cual este resultado es válido.

Propiedades

• ${\displaystyle (f_{n})}$epi-converge a si y sólo si hipo-converge a . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (-f_{n})}$ ${\displaystyle -f}$
• ${\displaystyle (f_{n})}$epi-converge a si y solo si converge a como conjuntos, en el sentido de Painlevé–Kuratowski de convergencia de conjuntos. Aquí, está el epígrafe de la función . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (\operatorname {epi} f_{n})}$ ${\displaystyle \operatorname {epi} f}$ ${\displaystyle \operatorname {epi} f}$ ${\displaystyle f}$
• Si epi-converge a , entonces es semicontinuo inferior. ${\displaystyle f_{n}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$
• Si es convexo para cada uno y epiconverge a , entonces es convexo. ${\displaystyle f_{n}}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle (f_{n})}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$
• Si y ambos y epi-convergen a , entonces epi-convergen a . ${\displaystyle f_{n}^{1}\leq f_{n}\leq f_{n}^{2}}$ ${\displaystyle (f_{n}^{1})}$ ${\displaystyle (f_{n}^{2})}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (f_{n})}$ ${\displaystyle f}$
• Si converge uniformemente a en cada conjunto compacto de y son continuos, entonces epi-converge e hipo-converge a . ${\displaystyle (f_{n})}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{n}}$ ${\displaystyle (f_{n})}$ ${\displaystyle (f_{n})}$ ${\displaystyle f}$
• En general, la convergencia episódica no implica ni está implícita en la convergencia puntual . Se pueden hacer suposiciones adicionales sobre una familia de funciones convergentes puntuales para garantizar la convergencia episódica.

Referencias

• Rockafellar, R. Tyrrell ; Mojados, Roger (2009). "Límites epigráficos". Análisis variacional . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. vol. 317. Medios científicos y comerciales de Springer. págs. 238–297. doi :10.1007/978-3-642-02431-3_7. ISBN 978-3-540-62772-2.
• Kall, Peter (1986). "Aproximación a problemas de optimización: una revisión elemental". Matemáticas de la investigación de operaciones . 11 (1): 9–18. doi :10.1287/moor.11.1.9.
• Attouch, Hedy; Mojados, Roger (1989). "Análisis epigráfico". Annales de l'Institut Henri Poincaré C. 6 : 73–100. Código Bib : 1989AIHPC...6...73A. doi :10.1016/S0294-1449(17)30036-7.