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Epiconvergencia

En el análisis matemático , la epiconvergencia es un tipo de convergencia para funciones de valor real y de valor real extendidas .

La epiconvergencia es importante porque es la noción apropiada de convergencia con la que aproximar problemas de minimización en el campo de la optimización matemática . La noción simétrica de hipoconvergencia es apropiada para problemas de maximización. La convergencia de Mosco es una generalización de la epiconvergencia a espacios de dimensión infinita.

Definición

Sea un espacio métrico y una función de valor real para cada número natural . Decimos que la sucesión epiconverge a una función si para cada

Extensión de valor real extendida

La siguiente extensión permite aplicar la epiconvergencia a una secuencia de funciones con dominio no constante.

Denotemos por los números reales extendidos . Sea una función para cada . La sucesión epiconverge a si para cada

De hecho, la epiconvergencia coincide con la -convergencia en los primeros espacios contables.

Hipoconvergencia

La epiconvergencia es la topología apropiada para aproximar problemas de minimización. Para problemas de maximización se utiliza la noción simétrica de hipoconvergencia . La hipoconvergencia converge a si

y

Relación con los problemas de minimización

Supongamos que tenemos un problema de minimización difícil.

donde y . Podemos intentar aproximar este problema mediante una secuencia de problemas más sencillos

para funciones y conjuntos .

La epiconvergencia proporciona una respuesta a la pregunta: ¿En qué sentido deberían las aproximaciones converger al problema original para garantizar que las soluciones aproximadas converjan a una solución del original?

Podemos integrar estos problemas de optimización en el marco de epiconvergencia definiendo funciones de valor real extendidas.

De modo que los problemas y son equivalentes a los problemas original y aproximado, respectivamente.

Si la epiconvergencia es a , entonces . Además, si es un punto límite de minimizadores de , entonces es un minimizador de . En este sentido,

La epiconvergencia es la noción más débil de convergencia para la cual este resultado es válido.

Propiedades

Referencias