Epígrafe (matemáticas)

Región sobre un gráfico

Epígrafe de una función

Una función (en negro) es convexa si y solo si la región situada por encima de su gráfica (en verde) es un conjunto convexo . Esta región es el epígrafe de la función.

En matemáticas , el epígrafe o supergrafo ^[1] de una función valorada en números reales extendidos es el conjunto formado por todos los puntos del producto cartesiano que se encuentran sobre el gráfico de la función o por encima de él . ^[2] De manera similar, el epígrafe estricto es el conjunto de puntos que se encuentran estrictamente sobre su gráfico. ${\displaystyle f:X\to [-\infty ,\infty ]}$ ${\displaystyle [-\infty ,\infty ]=\mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}}$ $${\displaystyle \operatorname {epi} f=\{(x,r)\in X\times \mathbb {R} ~:~r\geq f(x)\}}$$ ${\displaystyle X\times \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \operatorname {epi} _{S}f}$ ${\displaystyle X\times \mathbb {R} }$

Es importante destacar que, a diferencia del gráfico del epígrafe, siempre consta completamente de puntos en (esto es cierto para el gráfico solo cuando es de valor real). Si la función toma como valor entonces no será un subconjunto de su epígrafe Por ejemplo, si entonces el punto pertenecerá a pero no a Estos dos conjuntos están, no obstante, estrechamente relacionados porque el gráfico siempre se puede reconstruir a partir del epígrafe y viceversa. ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle X\times \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \pm \infty }$ ${\displaystyle \operatorname {graph} f}$ ${\displaystyle \operatorname {epi} f.}$ ${\displaystyle f\left(x_{0}\right)=\infty }$ ${\displaystyle \left(x_{0},f\left(x_{0}\right)\right)=\left(x_{0},\infty \right)}$ ${\displaystyle \operatorname {graph} f}$ ${\displaystyle \operatorname {epi} f.}$

El estudio de funciones continuas de valores reales en el análisis real se ha asociado tradicionalmente con el estudio de sus gráficos , que son conjuntos que proporcionan información geométrica (e intuición) sobre estas funciones. ^[2] Los epígrafes sirven para este mismo propósito en los campos del análisis convexo y el análisis variacional , en los que el enfoque principal está en funciones convexas valoradas en en lugar de funciones continuas valoradas en un espacio vectorial (como o ). ^[2] Esto se debe a que, en general, para tales funciones, la intuición geométrica se obtiene más fácilmente del epígrafe de una función que de su gráfico. ^[2] De manera similar a cómo se utilizan los gráficos en el análisis real, el epígrafe a menudo se puede utilizar para dar interpretaciones geométricas de las propiedades de una función convexa , para ayudar a formular o probar hipótesis o para ayudar a construir contraejemplos . ${\displaystyle [-\infty ,\infty ]}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

Definición

La definición del epígrafe se inspiró en la del gráfico de una función , donde laEl gráfico dese define como el conjunto ${\displaystyle f:X\to Y}$ $${\displaystyle \operatorname {graph} f:=\{(x,y)\in X\times Y~:~y=f(x)\}.}$$

Elepígrafe oEl supergrafo de una función valorada ennúmeros reales extendidoses el conjunto^[2]donde todos los conjuntos que se unen en la última línea son disjuntos por pares. ${\displaystyle f:X\to [-\infty ,\infty ]}$ ${\displaystyle [-\infty ,\infty ]=\mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\operatorname {epi} f&=\{(x,r)\in X\times \mathbb {R} ~:~r\geq f(x)\}\\&=\left[f^{-1}(-\infty )\times \mathbb {R} \right]\cup \bigcup _{x\in f^{-1}(\mathbb {R} )}(\{x\}\times [f(x),\infty ))\end{alignedat}}}$$

En la unión que aparece arriba en el lado derecho de la última línea, el conjunto puede interpretarse como un "rayo vertical" que consta de y todos los puntos "directamente encima" de él. De manera similar, el conjunto de puntos sobre o debajo del gráfico de una función es su ${\displaystyle x\in f^{-1}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \{x\}\times [f(x),\infty )}$ ${\displaystyle (x,f(x))}$ ${\displaystyle X\times \mathbb {R} }$hipografo .

ElEl epígrafe estricto es el epígrafe con el gráfico eliminado: donde todos los conjuntos que se unen en la última línea son disjuntos por pares y algunos pueden estar vacíos. $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\operatorname {epi} _{S}f&=\{(x,r)\in X\times \mathbb {R} ~:~r>f(x)\}\\&=\operatorname {epi} f\setminus \operatorname {graph} f\\&=\bigcup _{x\in X}\left(\{x\}\times (f(x),\infty )\right)\end{alignedat}}}$$

Relaciones con otros conjuntos

A pesar del hecho de que podría tomar uno (o ambos) de como valor (en cuyo caso su gráfico no sería un subconjunto de ), el epígrafe de se define, no obstante, como un subconjunto de en lugar de de Esto es intencional porque cuando es un espacio vectorial , entonces también lo es pero nunca es un espacio vectorial ^[2] (ya que la línea de números reales extendida no es un espacio vectorial). Esta deficiencia en permanece incluso si, en lugar de ser un espacio vectorial, es simplemente un subconjunto no vacío de algún espacio vectorial. El epígrafe que es un subconjunto de un espacio vectorial permite que las herramientas relacionadas con el análisis real y el análisis funcional (y otros campos) se apliquen más fácilmente. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \pm \infty }$ ${\displaystyle X\times \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X\times \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X\times [-\infty ,\infty ].}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\times \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X\times [-\infty ,\infty ]}$ ${\displaystyle [-\infty ,\infty ]}$ ${\displaystyle X\times [-\infty ,\infty ]}$ ${\displaystyle X}$

El dominio (en lugar del codominio ) de la función no es particularmente importante para esta definición; puede ser cualquier espacio lineal ^[1] o incluso un conjunto arbitrario ^[3] en lugar de . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

El epígrafe estricto y el grafo son siempre disjuntos. ${\displaystyle \operatorname {epi} _{S}f}$ ${\displaystyle \operatorname {graph} f}$

El epígrafe de una función está relacionado con su gráfico y su epígrafe estricto por el hecho de que la igualdad de conjuntos se cumple si y solo si es de valor real. Sin embargo, siempre se cumple. ${\displaystyle f:X\to [-\infty ,\infty ]}$ $${\displaystyle \,\operatorname {epi} f\,\subseteq \,\operatorname {epi} _{S}f\,\cup \,\operatorname {graph} f}$$ ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle \operatorname {epi} f=\left[\operatorname {epi} _{S}f\,\cup \,\operatorname {graph} f\right]\,\cap \,[X\times \mathbb {R} ]}$$

Reconstrucción de funciones a partir de epígrafes

El epígrafe está vacío si y sólo si la función es idénticamente igual a infinito.

Así como cualquier función puede reconstruirse a partir de su gráfico, también cualquier función real extendida puede reconstruirse a partir de su epígrafe (incluso cuando toma como valor ). Dado el valor puede reconstruirse a partir de la intersección de con la "línea vertical" que pasa por la siguiente forma: ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle E:=\operatorname {epi} f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \pm \infty }$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle E\cap (\{x\}\times \mathbb {R} )}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \{x\}\times \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x}$

• caso 1: si y sólo si ${\displaystyle E\cap (\{x\}\times \mathbb {R} )=\varnothing }$ ${\displaystyle f(x)=\infty ,}$
• caso 2: si y sólo si ${\displaystyle E\cap (\{x\}\times \mathbb {R} )=\{x\}\times \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(x)=-\infty ,}$
• caso 3: de lo contrario, es necesariamente de la forma de la cual el valor de puede obtenerse tomando el ínfimo del intervalo. ${\displaystyle E\cap (\{x\}\times \mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \{x\}\times [f(x),\infty ),}$ ${\displaystyle f(x)}$

Las observaciones anteriores se pueden combinar para dar una única fórmula para en términos de Específicamente, para cualquier lugar por definición, Esta misma fórmula también se puede utilizar para reconstruir a partir de su epígrafe estricto ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle E:=\operatorname {epi} f.}$ ${\displaystyle x\in X,}$ $${\displaystyle f(x)=\inf _{}\{r\in \mathbb {R} ~:~(x,r)\in E\}}$$ ${\displaystyle \inf _{}\varnothing :=\infty .}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle E:=\operatorname {epi} _{S}f.}$

Relaciones entre propiedades de funciones y sus epígrafes

Una función es convexa si y sólo si su epígrafe es un conjunto convexo . El epígrafe de una función afín real es un semiespacio en ${\displaystyle g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}.}$

Una función es semicontinua inferior si y sólo si su epígrafe es cerrado .

Véase también

• Dominio efectivo
• Hipógrafo (matemáticas)  : región debajo de un gráfico
• Función convexa propia

Citas

1. Pekka Neittaanmäki; Sergey R. Repin (2004). Métodos confiables para simulación por computadora: control de errores y estimaciones posteriores. Elsevier. p. 81. ISBN 978-0-08-054050-4.
2. Rockafellar y Wets 2009, págs. 1–37.
3. Charalambos D. Aliprantis; Kim C. Border (2007). Análisis de dimensión infinita: guía del autoestopista (3.ª ed.). Springer Science & Business Media. pág. 8. ISBN 978-3-540-32696-0.

Referencias

• Rockafellar, R. Tyrrell ; Wets, Roger J.-B. (26 de junio de 2009). Análisis variacional . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. vol. 317. Berlín Nueva York: Springer Science & Business Media . ISBN 9783642024313.OCLC 883392544  .
• Rockafellar, Ralph Tyrell (1996), Análisis convexo , Princeton University Press, Princeton, NJ. ISBN 0-691-01586-4 .