Hipógrafo (matemáticas)

Región debajo de un gráfico

Hipograma de una función

En matemáticas , el hipógrafa o subgráfica de una función es el conjunto de puntos que se encuentran sobre o debajo de su gráfica . Una definición relacionada es la de epígrafe de una función , que es el conjunto de puntos que se encuentran sobre o encima de la gráfica de la función. ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }$

El dominio (en lugar del codominio ) de la función no es particularmente importante para esta definición; puede ser un conjunto arbitrario ^[1] en lugar de . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Definición

La definición del hipograma se inspiró en la del gráfico de una función , donde el gráfico de se define como el conjunto ${\displaystyle f:X\to Y}$

${\displaystyle \operatorname {graph} f:=\left\{(x,y)\in X\times Y~:~y=f(x)\right\}.}$

El hipógrafo o subgrafo de una función valorada en los números reales extendidos es el conjunto ^[2] ${\displaystyle f:X\to [-\infty ,\infty ]}$ ${\displaystyle [-\infty ,\infty ]=\mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\operatorname {hyp} f&=\left\{(x,r)\in X\times \mathbb {R} ~:~r\leq f(x)\right\}\\&=\left[f^{-1}(\infty )\times \mathbb {R} \right]\cup \bigcup _{x\in f^{-1}(\mathbb {R} )}(\{x\}\times (-\infty ,f(x)]).\end{alignedat}}}$

De manera similar, el conjunto de puntos sobre o por encima de la función es su epígrafe . El hipógrafo estricto es el hipógrafo con el grafo eliminado:

${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\operatorname {hyp} _{S}f&=\left\{(x,r)\in X\times \mathbb {R} ~:~r<f(x)\right\}\\&=\operatorname {hyp} f\setminus \operatorname {graph} f\\&=\bigcup _{x\in X}(\{x\}\times (-\infty ,f(x))).\end{alignedat}}}$

A pesar del hecho de que podría tomar uno (o ambos) de como valor (en cuyo caso su gráfico no sería un subconjunto de ), el hipógrafo de se define, no obstante, como un subconjunto de en lugar de de ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \pm \infty }$ ${\displaystyle X\times \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X\times \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X\times [-\infty ,\infty ].}$

Propiedades

El hipografo de una función está vacío si y sólo si es idénticamente igual a infinito negativo. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

Una función es cóncava si y sólo si su hipógrafo es un conjunto convexo . El hipógrafo de una función afín real es un semiespacio en ${\displaystyle g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}.}$

Una función es semicontinua superior si y sólo si su hipógrafo es cerrado .

Véase también

• Dominio efectivo
• Epígrafe (matemáticas)  – Región sobre un gráfico
• Función convexa propia

Citas

1. Charalambos D. Aliprantis; Kim C. Border (2007). Análisis de dimensión infinita: guía del autoestopista (3.ª ed.). Springer Science & Business Media. págs. 8-9. ISBN 978-3-540-32696-0.
2. Rockafellar y Wets 2009, págs. 1–37.

Referencias

• Rockafellar, R. Tyrrell ; Wets, Roger J.-B. (26 de junio de 2009). Análisis variacional . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. vol. 317. Berlín Nueva York: Springer Science & Business Media . ISBN 9783642024313.OCLC 883392544  .