Convergencia de Moscú

En análisis matemático , la convergencia de Mosco es una noción de convergencia para funcionales que se utiliza en análisis no lineal y análisis de valores conjuntos . Es un caso particular de Γ-convergencia . La convergencia de Mosco a veces se expresa como convergencia “Γ-liminf débil y Γ-limsup fuerte”, ya que utiliza tanto la topología débil como la fuerte en un espacio vectorial topológico X. En espacios de dimensión finita, la convergencia de Mosco coincide con la epiconvergencia , mientras que en los de dimensión infinita, la convergencia de Mosco es estrictamente una propiedad más fuerte.

La convergencia de Mosco recibe su nombre del matemático italiano Umberto Mosco.

Definición

Sea X un espacio vectorial topológico y sea X ^∗ el espacio dual de funcionales lineales continuos en X . Sean F _n  :  X  → [0, +∞] funcionales en X para cada n = 1, 2, ... Se dice que  la secuencia (o, más generalmente, neta ) ( F _n ) converge en Mosco a otro funcional F  :  X  → [0, +∞] si se cumplen las dos condiciones siguientes:

• desigualdad de límite inferior: para cada secuencia de elementos x _n  ∈  X que convergen débilmente a x  ∈  X ,

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }F_{n}(x_{n})\geq F(x);}$

• desigualdad de límite superior: para cada x  ∈  X existe una secuencia aproximada de elementos x _n  ∈  X , que converge fuertemente a x , tal que

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }F_{n}(x_{n})\leq F(x).}$

Dado que en la definición de Γ-convergencia se utilizan desigualdades de límite superior e inferior de este tipo, la convergencia Mosco a veces se expresa como convergencia “Γ-liminf débil y Γ-limsup fuerte”. La convergencia Mosco a veces se abrevia como M-convergencia y se denota por

${\displaystyle \mathop {\text{M-lim}} _{n\to \infty }F_{n}=F{\text{ or }}F_{n}{\xrightarrow[{n\to \infty }]{\mathrm {M} }}F.}$

Referencias

• Moscú, Umberto (1967). "Aproximación de las soluciones de algunas desigualdades variacionales". Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa . 21 (3): 373–394.
• Mosco, Umberto (1969). "Convergencia de conjuntos convexos y de soluciones de desigualdades variacionales". Avances en Matemáticas . 3 (4): 510–585. doi : 10.1016/0001-8708(69)90009-7 . hdl : 10338.dmlcz/101692 .
• Borwein, Jonathan M.; Fitzpatrick, Simon (1989). "Convergencia de Mosco y la propiedad de Kadec". Actas de la American Mathematical Society . 106 (3): 843–851. doi : 10.2307/2047444 . hdl : 1959.13/940515 . JSTOR  2047444.
• Mosco, Umberto. "Directorio de la facultad del Instituto Politécnico de Worcester".