Propiedad de las funciones que es más débil que la continuidad.
En análisis matemático , la semicontinuidad (o semicontinuidad ) es una propiedad de funciones extendidas de valores reales que es más débil que la continuidad . Una función extendida de valor real es semicontinua superior (respectivamente, inferior ) en un punto si, en términos generales, los valores de la función para los argumentos cerca no son mucho más altos (respectivamente, más bajos) que
Una función es continua si y sólo si es semicontinua superior e inferior. Si tomamos una función continua y aumentamos su valor en un cierto punto para algunos , entonces el resultado es semicontinuo superior; si reducimos su valor a entonces el resultado es semicontinuo inferior.
La noción de función semicontinua superior e inferior fue introducida y estudiada por primera vez por René Baire en su tesis de 1899. [1]
Una función se llama semicontinua superior en un punto si para cada real existe una vecindad tal que para todos . [2]
De manera equivalente, es semicontinua superior en si y solo si
donde lim sup es el límite superior de la función en el punto .
Una función se llama semicontinua superior si satisface alguna de las siguientes condiciones equivalentes: [2]
(1) La función es semicontinua superior en cada punto de su dominio .
(2) Para cada , el conjunto está abierto en , donde .
(5) La función es continua cuando al codominio se le da la topología de orden izquierdo . Esto es solo una reformulación de la condición (2), ya que todos los intervalos generan la topología de orden izquierdo .
Semicontinuidad inferior
Una función se llama semicontinua inferior en un punto si para cada real existe una vecindad tal que para todos . De manera equivalente, es semicontinua inferior en si y sólo si
donde es el límite inferior de la función en el punto .
Una función se llama semicontinua inferior si satisface alguna de las siguientes condiciones equivalentes:
(1) La función es semicontinua inferior en cada punto de su dominio .
(2) Para cada , el conjunto está abierto en , donde .
(5) La función es continua cuando al codominio se le da la topología de orden correcta . Esto es solo una reformulación de la condición (2), ya que todos los intervalos generan la topología de orden correcto .
Ejemplos
Considere la función definida por partes por:
Esta función es semicontinua superior en pero no semicontinua inferior.
La función piso que devuelve el mayor entero menor o igual a un número real dado es semicontinua en todas partes superiores. Del mismo modo, la función del techo es semicontinua inferior.
La semicontinuidad superior e inferior no tienen relación con la continuidad desde la izquierda o desde la derecha para funciones de una variable real. La semicontinuidad se define en términos de un orden en el rango de funciones, no en el dominio. [3] Por ejemplo, la función
es semicontinua superior en mientras que los límites de la función desde la izquierda o la derecha en cero ni siquiera existen.
Si es un espacio euclidiano (o más generalmente, un espacio métrico) y es el espacio de curvas en (con la distancia suprema ), entonces la longitud funcional que asigna a cada curva su longitud es semicontinua inferior. [4] Como ejemplo, considere aproximar la diagonal del cuadrado unitario mediante una escalera desde abajo. La escalera siempre tiene longitud 2, mientras que la línea diagonal solo tiene longitud .
Sea un espacio de medida y denotemos el conjunto de funciones positivas medibles dotadas de la topología de convergencia en medida con respecto a Entonces, según el lema de Fatou, la integral, vista como un operador de a, es semicontinua inferior.
Propiedades
A menos que se especifique lo contrario, todas las funciones siguientes son desde un espacio topológico hasta los números reales extendidos. Varios de los resultados son válidos para la semicontinuidad en un punto específico, pero por brevedad solo se indican para la semicontinuidad en todo el dominio.
Una función es continua si y sólo si es semicontinua superior e inferior.
La suma de dos funciones semicontinuas inferiores es semicontinua inferior [5] (siempre que la suma esté bien definida, es decir, no sea la forma indeterminada ). Lo mismo se aplica a las funciones semicontinuas superiores.
Si ambas funciones no son negativas, la función producto de dos funciones semicontinuas inferiores es semicontinua inferior. El resultado correspondiente es válido para funciones semicontinuas superiores.
Una función es semicontinua inferior si y sólo si es semicontinua superior.
La composición de las funciones semicontinuas superiores no es necesariamente semicontinua superior, pero si tampoco es decreciente, entonces es semicontinua superior. [6]
El mínimo y el máximo de dos funciones semicontinuas inferiores son semicontinuas inferiores. En otras palabras, el conjunto de todas las funciones semicontinuas inferiores desde a (o hasta ) forma una red . Lo mismo se aplica a las funciones semicontinuas superiores.
El supremo (puntual) de una familia arbitraria de funciones semicontinuas inferiores (definida por ) es semicontinua inferior. [7]
En particular, el límite de una secuencia creciente monótona de funciones continuas es semicontinuo inferior. (El teorema de Baire a continuación proporciona una inversa parcial). La función límite solo será semicontinua inferior en general, no continua. Un ejemplo lo dan las funciones definidas para for
Asimismo, el mínimo de una familia arbitraria de funciones semicontinuas superiores es semicontinua superior. Y el límite de una secuencia monótona decreciente de funciones continuas es semicontinuo superior.
( Teorema de Baire ) [nota 2] Supongamos que es un espacio métrico . Cada función semicontinua inferior es el límite de una secuencia creciente monótona de funciones continuas extendidas de valor real en ; Si no toma el valor , las funciones continuas pueden considerarse de valor real. [8] [9]
Y cada función semicontinua superior es el límite de una secuencia monótona decreciente de funciones continuas extendidas de valor real en ; Si no toma el valor, las funciones continuas pueden considerarse de valor real.
Si es un espacio compacto (por ejemplo, un intervalo acotado cerrado ) y es semicontinuo superior, entonces tiene un máximo en Si es semicontinuo inferior, tiene un mínimo en
( Prueba para el caso semicontinuo superior : según la condición (5) en la definición, es continuo cuando se le da la topología de orden izquierdo. Entonces su imagen es compacta en esa topología. Y los conjuntos compactos en esa topología son exactamente los conjuntos con un máximo Para obtener una demostración alternativa, consulte el artículo sobre el teorema del valor extremo ).
Cualquier función semicontinua superior en un espacio topológico arbitrario es localmente constante en algún subconjunto abierto denso de
Semicontinuidad de funciones con valores establecidos
Para funciones con valores establecidos , se han definido varios conceptos de semicontinuidad, a saber, semicontinuidad superior , inferior , exterior e interior , así como hemicontinuidad superior e inferior . Se escribe una función con valores de conjunto de un conjunto a un conjunto. Para cada uno, la función define un conjunto.
Un mapa con valores de conjuntos es semicontinuo superior en si para cada conjunto abierto tal que , existe una vecindad tal que [10] : Def. 2.1
Un mapa con valores de conjunto es semicontinuo inferior en si para cada conjunto abierto tal que exista una vecindad tal que [10] : Def. 2.2
La semicontinuidad superior e inferior con valores de conjunto también se definen de manera más general para mapas con valores de conjunto entre espacios topológicos reemplazando y en las definiciones anteriores con espacios topológicos arbitrarios. [10]
Tenga en cuenta que no existe una correspondencia directa entre la semicontinuidad inferior y superior de un solo valor y la semicontinuidad inferior y superior de valor establecido. Una función semicontinua superior de un solo valor no es necesariamente semicontinua superior cuando se considera un mapa de valores conjuntos. [10] : 18
Por ejemplo, la función definida por
es semicontinua superior en el sentido de un solo valor, pero el mapa de valores establecidos no es semicontinuo superior en el sentido de valores establecidos.
Ver también
Continuidad direccional : función matemática sin cambios repentinosPages displaying short descriptions of redirect targets
Hemicontinuidad : semicontinuidad para funciones con valores establecidos
Notas
^
En el contexto del análisis convexo , la función característica de un conjunto se define de manera diferente, como si y si . Con esa definición, la función característica de cualquier conjunto cerrado es semicontinua inferior y la función característica de cualquier conjunto abierto es semicontinua superior.
↑ El resultado fue probado por René Baire en 1904 para una función de valor real definida en . Hans Hahn lo amplió a espacios métricos en 1917, y Hing Tong demostró en 1952 que la clase más general de espacios donde se cumple el teorema es la clase de espacios perfectamente normales . (Ver Engelking, Ejercicio 1.7.15(c), p. 62 para detalles y referencias específicas.)
Referencias
^ Muy bien, Matthieu. "Historia de las matemáticas - René Baire".
^ Puterman, Martín L. (2005). Procesos de decisión de Markov Programación dinámica estocástica discreta . Wiley-Interscience. págs.602. ISBN978-0-471-72782-8.
^ Moore, James C. (1999). Métodos matemáticos para la teoría económica . Berlín: Springer. pag. 143.ISBN9783540662358.
^ "Para demostrar que el supremo de cualquier colección de funciones semicontinuas inferiores es semicontinua inferior".
^ Stromberg, pág. 132, Ejercicio 4(g)
^ "Demuestre que la función semicontinua inferior es el supremo de una secuencia creciente de funciones continuas".
^ abcd Freeman, RA, Kokotović, P. (1996). Diseño robusto de control no lineal. Birkhäuser Boston. doi :10.1007/978-0-8176-4759-9. ISBN978-0-8176-4758-2..
Bibliografía
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Bourbaki, Nicolás (1998). Elementos de matemáticas: topología general, 1–4 . Saltador. ISBN 0-201-00636-7.
Bourbaki, Nicolás (1998). Elementos de matemáticas: topología general, 5–10 . Saltador. ISBN 3-540-64563-2.
Gelbaum, Bernard R.; Olmsted, John MH (2003). Contraejemplos en el análisis . Publicaciones de Dover. ISBN 0-486-42875-3.
Hyers, Donald H.; Isaac, George; Rassias, Temístocles M. (1997). Temas de análisis y aplicaciones no lineales . Científico mundial. ISBN 981-02-2534-2.
Stromberg, Karl (1981). Introducción al Análisis Real Clásico . Wadsworth. ISBN 978-0-534-98012-2.