Teorema de Tonelli (análisis funcional)

En matemáticas , el teorema de Tonelli en análisis funcional es un resultado fundamental de la semicontinuidad inferior débil de funcionales no lineales ^{[ se necesita desambiguación ]} en espacios L p . Como tal, tiene importantes implicaciones para el análisis funcional y el cálculo de variaciones . En términos generales, muestra que la semicontinuidad inferior débil para funcionales integrales es equivalente a la convexidad del núcleo integral. El resultado se atribuye a la matemática italiana Leonida Tonelli .

Declaración del teorema

Sea un dominio acotado en un espacio euclidiano dimensional y sea una función continua extendida de valor real . Definir una función no lineal en funciones mediante ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle u:\Omega \to \mathbb {R} ^{m}}$

$${\displaystyle F[u]=\int _{\Omega }f(u(x))\,\mathrm {d} x.}$$

Entonces es secuencialmente semicontinuo débilmente inferior en el espacio para y semicontinuo débilmente-∗ inferior en si y solo si es convexo . ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle L^{p}(\Omega ,\mathbb {R} ^{m})}$ ${\displaystyle 1<p<+\infty }$ ${\displaystyle L^{\infty }(\Omega ,\mathbb {R} ^{m})}$ ${\displaystyle f}$

Ver también

• Funcional lineal discontinuo

Referencias

• Renardy, Michael y Rogers, Robert C. (2004). Una introducción a las ecuaciones diferenciales parciales . Textos de Matemática Aplicada 13 (Segunda ed.). Nueva York: Springer-Verlag. pag. 347.ISBN​ 0-387-00444-0.(Teorema 10.16)