Cálculo multivariable

Cálculo de funciones de varias variables.

El cálculo multivariable (también conocido como cálculo multivariado ) es la extensión del cálculo en una variable al cálculo con funciones de varias variables : la diferenciación e integración de funciones que involucran múltiples variables ( multivariado ), en lugar de solo una. ^[1]

El cálculo multivariable puede considerarse una parte elemental del cálculo avanzado. Para cálculo avanzado, consulte cálculo en el espacio euclidiano . El caso especial del cálculo en el espacio tridimensional suele denominarse cálculo vectorial .

Introducción

En el cálculo de una sola variable, operaciones como diferenciación e integración se realizan en funciones de una sola variable. En el cálculo multivariado, es necesario generalizarlos a múltiples variables y, por lo tanto, el dominio es multidimensional. Por lo tanto, se requiere cuidado en estas generalizaciones, debido a dos diferencias clave entre los espacios 1D y de dimensiones superiores:

1. Hay infinitas maneras de acercarse a un solo punto en dimensiones superiores, a diferencia de dos (desde la dirección positiva y negativa) en 1D;
2. Hay varios objetos extendidos asociados con la dimensión; por ejemplo, para una función 1D, se debe representar como una curva en el plano cartesiano 2D , pero una función con dos variables es una superficie en 3D, mientras que las curvas también pueden vivir en el espacio 3D.

La consecuencia de la primera diferencia es la diferencia en la definición del límite y la diferenciación. Los límites direccionales y las derivadas definen el límite y el diferencial a lo largo de una curva parametrizada 1D, reduciendo el problema al caso 1D; Se pueden construir más objetos de dimensiones superiores a partir de estos operadores.

La consecuencia de la segunda diferencia es la existencia de múltiples tipos de integración, incluidas las integrales de línea , las integrales de superficie y las integrales de volumen . Debido a la falta de unicidad de estas integrales, no se puede definir correctamente una integral antiderivada o indefinida.

Límites

Un estudio de límites y continuidad en cálculo multivariable produce muchos resultados contrarios a la intuición que no se demuestran con funciones de una sola variable.

Se puede definir un límite a lo largo de una ruta considerando una ruta parametrizada en un espacio euclidiano de n dimensiones. Luego, cualquier función se puede proyectar en la ruta como una función 1D . Por lo tanto , el límite de hasta el punto a lo largo del camino se puede definir como ${\displaystyle s(t):\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f({\overrightarrow {x}}):\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle f(s(t))}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle s(t_{0})}$ ${\displaystyle s(t)}$

Tenga en cuenta que el valor de este límite puede depender de la forma de , es decir, del camino elegido, no sólo del punto al que se aproxima el límite. ^{[1] : 19–22} Por ejemplo, considere la función . Si se aborda el punto a través de la recta , o en forma paramétrica: ${\displaystyle s(t)}$ ${\displaystyle f(x,y)={\frac {x^{2}y}{x^{4}+y^{2}}}}$ ${\displaystyle (0,0)}$ ${\displaystyle y=kx}$

Gráfica de la función f ( x , y ) = ( x ²y)/( x ⁴ + y ² )

Entonces el límite a lo largo del camino será:

Por otro lado, si se elige la ruta (o paramétricamente ), entonces el límite pasa a ser: ${\displaystyle y=\pm x^{2}}$ ${\displaystyle x(t)=t,y(t)=\pm t^{2}}$

Dado que tomar diferentes caminos hacia el mismo punto produce valores diferentes, no se puede definir un límite general en el punto para la función. ${\displaystyle (0,0)}$

Se puede definir un límite general si los límites de un punto a lo largo de todos los caminos posibles convergen al mismo valor, es decir, decimos para una función que el límite de un punto es L, si y sólo si ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}}$

para todas las funciones continuas tales que . ${\displaystyle s(t):\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle s(t_{0})=x_{0}}$

Continuidad

Del concepto de límite a lo largo de una trayectoria, podemos derivar la definición de continuidad multivariada de la misma manera, es decir: decimos para una función que es continua en el punto , si y sólo si ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{0}}$

para todas las funciones continuas tales que . ${\displaystyle s(t):\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle s(t_{0})=x_{0}}$

Como ocurre con los límites, ser continuo a lo largo de un camino no implica continuidad multivariada. ${\displaystyle s(t)}$

En el siguiente ejemplo también se puede ver que la continuidad en cada argumento no es suficiente para la continuidad multivariante. ^{[1] : 17–19} Por ejemplo, para una función de valor real con dos parámetros de valor real, la continuidad de in para fijo y la continuidad de in para fijo no implica continuidad de . ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(x,y)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$

Considerar

${\displaystyle f(x,y)={\begin{cases}{\frac {y}{x}}-y&{\text{if}}\quad 0\leq y<x\leq 1\\{\frac {x}{y}}-x&{\text{if}}\quad 0\leq x<y\leq 1\\1-x&{\text{if}}\quad 0<x=y\\0&{\text{everywhere else}}.\end{cases}}}$

Es fácil verificar que esta función es cero por definición en el límite y fuera del cuadrilátero . Además, las funciones definidas para constante y y por ${\displaystyle (0,1)\times (0,1)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle 0\leq a\leq 1}$

${\displaystyle g_{a}(x)=f(x,a)\quad }$y ${\displaystyle \quad h_{a}(y)=f(a,y)\quad }$

son continuos. Específicamente,

${\displaystyle g_{0}(x)=f(x,0)=h_{0}(0,y)=f(0,y)=0}$para todo x e y . Por tanto, y además, a lo largo de los ejes de coordenadas, y . Por tanto, la función es continua a lo largo de ambos argumentos individuales. ${\displaystyle f(0,0)=0}$ ${\displaystyle \lim _{x\to 0}f(x,0)=0}$ ${\displaystyle \lim _{y\to 0}f(0,y)=0}$

Sin embargo, considere la ruta paramétrica . La función paramétrica se convierte en ${\displaystyle x(t)=t,y(t)=t}$

Por lo tanto,

Por tanto, queda claro que la función no es continua multivariada, a pesar de ser continua en ambas coordenadas.

Teoremas sobre límites multivariados y continuidad.

• Todas las propiedades de linealidad y superposición del cálculo de una sola variable se trasladan al cálculo multivariado.
• Composición : Si y son funciones continuas multivariadas en los puntos y respectivamente, entonces también es una función continua multivariada en el punto . ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle g:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{p}}$ ${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f(x_{0})\in \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle g\circ f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{p}}$ ${\displaystyle x_{0}}$
• Multiplicación : Si y son funciones continuas en el punto , entonces es continua en y también es continua en siempre que . ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle fg:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle {\frac {f}{g}}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle g(x_{0})\neq 0}$
• Si es una función continua en el punto , entonces también lo es en el mismo punto. ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle |f|}$
• Si Lipschitz es continuo (con los espacios normados apropiados según sea necesario) en la vecindad del punto , entonces es multivariado continuo en . ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{0}}$

Diferenciación

Derivado direccional

La derivada de una función de una sola variable se define como

Utilizando la extensión de límites discutida anteriormente, se puede extender la definición de la derivada a una función con valores escalares a lo largo de algún camino : ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle s(t):\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}}$

A diferencia de los límites, para los cuales el valor depende de la forma exacta de la trayectoria , se puede demostrar que la derivada a lo largo de la trayectoria depende sólo del vector tangente de la trayectoria en , es decir , siempre que Lipschitz sea continua en y que el límite salidas para al menos uno de esos caminos. ${\displaystyle s(t)}$ ${\displaystyle s(t_{0})}$ ${\displaystyle s'(t_{0})}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle s(t_{0})}$

Por lo tanto, es posible generar la definición de la derivada direccional de la siguiente manera: La derivada direccional de una función con valores escalares a lo largo del vector unitario en algún punto es ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {u}}}}$ ${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}}$

o, cuando se expresa en términos de diferenciación ordinaria,

que es una expresión bien definida porque es una función escalar con una variable en . ${\displaystyle f(x_{0}+{\hat {\mathbf {u}}}t)}$ ${\displaystyle t}$

No es posible definir una derivada escalar única sin una dirección; está claro por ejemplo que . También es posible que existan derivadas direccionales para algunas direcciones pero no para otras. ${\displaystyle \nabla _{\hat {\mathbf {u}}}f(x_{0})=-\nabla _{-{\hat {\mathbf {u}}}}f(x_{0})}$

Derivada parcial

La derivada parcial generaliza la noción de derivada a dimensiones superiores. Una derivada parcial de una función multivariable es una derivada con respecto a una variable con todas las demás variables mantenidas constantes. ^{[1] : 26 y siguientes}

Se puede considerar una derivada parcial como la derivada direccional de la función a lo largo de un eje de coordenadas.

Las derivadas parciales se pueden combinar de formas interesantes para crear expresiones más complicadas de la derivada. En cálculo vectorial , el operador del ( ) se utiliza para definir los conceptos de gradiente , divergencia y curvatura en términos de derivadas parciales. Se puede utilizar una matriz de derivadas parciales, la matriz jacobiana , para representar la derivada de una función entre dos espacios de dimensión arbitraria. Por tanto, la derivada puede entenderse como una transformación lineal que varía directamente de un punto a otro en el dominio de la función. ${\displaystyle \nabla }$

Las ecuaciones diferenciales que contienen derivadas parciales se denominan ecuaciones diferenciales parciales o PDE. Estas ecuaciones son generalmente más difíciles de resolver que las ecuaciones diferenciales ordinarias , que contienen derivadas con respecto a una sola variable. ^{[1] : 654 y siguientes}

Integración múltiple

La integral múltiple amplía el concepto de integral a funciones de cualquier número de variables. Se pueden utilizar integrales dobles y triples para calcular áreas y volúmenes de regiones en el plano y en el espacio. El teorema de Fubini garantiza que una integral múltiple puede evaluarse como una integral repetida o una integral iterada siempre que el integrando sea continuo en todo el dominio de integración. ^{[1] : 367 y siguientes}

La integral de superficie y la integral de línea se utilizan para integrar variedades curvas como superficies y curvas .

Teorema fundamental del cálculo en múltiples dimensiones.

En el cálculo de una sola variable, el teorema fundamental del cálculo establece un vínculo entre la derivada y la integral. El vínculo entre la derivada y la integral en el cálculo multivariable está plasmado en los teoremas integrales del cálculo vectorial: ^{[1] : 543ff}

• Teorema del gradiente
• teorema de stokes
• Teorema de divergencia
• Teorema de Green .

En un estudio más avanzado del cálculo multivariable, se ve que estos cuatro teoremas son encarnaciones específicas de un teorema más general, el teorema generalizado de Stokes , que se aplica a la integración de formas diferenciales sobre variedades . ^[2]

Aplicaciones y usos

Se utilizan técnicas de cálculo multivariable para estudiar muchos objetos de interés en el mundo material. En particular,

El cálculo multivariable se puede aplicar para analizar sistemas deterministas que tienen múltiples grados de libertad . Para modelar estos sistemas se suelen utilizar funciones con variables independientes correspondientes a cada uno de los grados de libertad, y el cálculo multivariable proporciona herramientas para caracterizar la dinámica del sistema .

El cálculo multivariado se utiliza en el control óptimo de sistemas dinámicos de tiempo continuo . Se utiliza en análisis de regresión para derivar fórmulas para estimar relaciones entre varios conjuntos de datos empíricos .

El cálculo multivariable se utiliza en muchos campos de las ciencias naturales y sociales y de la ingeniería para modelar y estudiar sistemas de alta dimensión que exhiben un comportamiento determinista. En economía , por ejemplo, la elección del consumidor sobre una variedad de bienes y la elección del productor sobre diversos insumos a utilizar y productos a producir se modelan con cálculo multivariado.

Los sistemas no deterministas o estocásticos se pueden estudiar utilizando un tipo diferente de matemáticas, como el cálculo estocástico .

Ver también

• Lista de temas de cálculo multivariable
• Estadísticas multivariadas

Referencias

1. Richard Courant; Fritz John (14 de diciembre de 1999). Introducción al Cálculo y Análisis Volumen II/2 . Medios de ciencia y negocios de Springer. ISBN 978-3-540-66570-0.
2. Spivak, Michael (1965). Cálculo de variedades. Nueva York: WA Benjamin, Inc. ISBN 9780805390216.

enlaces externos

• Videoconferencias de UC Berkeley sobre cálculo multivariable, otoño de 2009, profesor Edward Frenkel
• Videoconferencias del MIT sobre cálculo multivariable, otoño de 2007
• Cálculo multivariable: un libro de texto gratuito en línea de George Cain y James Herod
• Cálculo multivariable en línea: un libro de texto en línea gratuito de Jeff Knisley
• Cálculo multivariable: una revisión muy rápida, Prof. Blair Perot, Universidad de Massachusetts Amherst
• Cálculo multivariable, texto en línea del Dr. Jerry Shurman