Cálculo sobre el espacio euclidiano

En matemáticas, el cálculo en el espacio euclidiano es una generalización del cálculo de funciones en una o varias variables al cálculo de funciones en el espacio euclidiano así como en un espacio vectorial real de dimensión finita . Este cálculo también se conoce como cálculo avanzado , especialmente en los Estados Unidos. Es similar al cálculo multivariable pero es algo más sofisticado en el sentido de que utiliza el álgebra lineal (o algún análisis funcional) de manera más extensa y cubre algunos conceptos de la geometría diferencial como las formas diferenciales y la fórmula de Stokes en términos de formas diferenciales. Este uso extensivo del álgebra lineal también permite una generalización natural del cálculo multivariable al cálculo en espacios de Banach o espacios vectoriales topológicos. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

El cálculo en el espacio euclidiano es también un modelo local del cálculo en variedades , una teoría de funciones en variedades.

Nociones básicas

Funciones en una variable real

Esta sección es una breve revisión de la teoría de funciones en el cálculo de una variable.

Una función de valor real es continua en si es aproximadamente constante cerca de ; es decir, ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$

${\displaystyle \lim _{h\to 0}(f(a+h)-f(a))=0.}$

Por el contrario, la función es diferenciable en si es aproximadamente lineal cerca de ; es decir, existe algún número real tal que ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)-\lambda h}{h}}=0.}$^[1]

(Para simplificar, supongamos que . Entonces lo anterior significa que donde tiende a 0 más rápido que h tiende a 0 y, en ese sentido, se comporta como .) ${\displaystyle f(a)=0}$ ${\displaystyle f(a+h)=\lambda h+g(a,h)}$ ${\displaystyle g(a,h)}$ ${\displaystyle f(a+h)}$ ${\displaystyle \lambda h}$

El número depende de y por lo tanto se denota como . Si es diferenciable en un intervalo abierto y si es una función continua en , entonces se llama función C ¹ . De manera más general, se llama función C ^k si su derivada es función C ^k-1 . El teorema de Taylor establece que una función C ^k es precisamente una función que puede aproximarse mediante un polinomio de grado k . ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f'(a)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle f'}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f'}$

Si es una función C ¹ y para algún , entonces o bien o bien ; es decir, o bien es estrictamente creciente o estrictamente decreciente en algún intervalo abierto que contiene a . En particular, es biyectiva para algún intervalo abierto que contiene a . El teorema de la función inversa dice entonces que la función inversa es diferenciable en U con las derivadas: para ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f'(a)\neq 0}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f'(a)>0}$ ${\displaystyle f'(a)<0}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f:f^{-1}(U)\to U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle f(a)}$ ${\displaystyle f^{-1}}$ ${\displaystyle y\in U}$

${\displaystyle (f^{-1})'(y)={1 \over f'(f^{-1}(y))}.}$

Derivada de un mapa y regla de la cadena

Para las funciones definidas en el plano o, de manera más general, en un espacio euclidiano , es necesario considerar funciones que tengan valores vectoriales o matriciales. También resulta conceptualmente útil hacerlo de manera invariante (es decir, sin coordenadas). Las derivadas de dichas funciones en un punto son, entonces, vectores o funciones lineales, no números reales. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Sea una función de un subconjunto abierto de a un subconjunto abierto de . Entonces se dice que la función es diferenciable en un punto en si existe una transformación lineal (necesariamente única) , llamada derivada de en , tal que ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f'(x):\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {1}{|h|}}|f(x+h)-f(x)-f'(x)h|=0}$

donde es la aplicación de la transformación lineal a . ^[2] Si es diferenciable en , entonces es continua en ya que ${\displaystyle f'(x)h}$ ${\displaystyle f'(x)}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle |f(x+h)-f(x)|\leq (|h|^{-1}|f(x+h)-f(x)-f'(x)h|)|h|+|f'(x)h|\to 0}$como . ${\displaystyle h\to 0}$

Al igual que en el caso de una variable, hay

Regla de la cadena  —  ^[3] Seacomo se indica arriba yuna función para algún subconjunto abiertode. Sies diferenciable enydiferenciable en, entonces la composiciónes diferenciable encon la derivada ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g:Y\to Z}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{l}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle y=f(x)}$ ${\displaystyle g\circ f}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle (g\circ f)'(x)=g'(y)\circ f'(x).}$

Esto se demuestra exactamente igual que para las funciones de una variable. En efecto, con la notación , tenemos: ${\displaystyle {\widetilde {h}}=f(x+h)-f(x)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {1}{|h|}}|g(f(x+h))-g(y)-g'(y)f'(x)h|\\&\leq {\frac {1}{|h|}}|g(y+{\widetilde {h}})-g(y)-g'(y){\widetilde {h}}|+{\frac {1}{|h|}}|g'(y)(f(x+h)-f(x)-f'(x)h)|.\end{aligned}}}$

Aquí, como es diferenciable en , el segundo término de la derecha tiende a cero cuando . En cuanto al primer término, se puede escribir como: ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle h\to 0}$

${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {|{\widetilde {h}}|}{|h|}}|g(y+{\widetilde {h}})-g(y)-g'(y){\widetilde {h}}|/|{\widetilde {h}}|,&{\widetilde {h}}\neq 0,\\0,&{\widetilde {h}}=0.\end{cases}}}$

Ahora, por el argumento que muestra la continuidad de en , vemos que está acotado. Además, como es continuo en . Por lo tanto, el primer término también tiende a cero como por la diferenciabilidad de en . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\frac {|{\widetilde {h}}|}{|h|}}}$ ${\displaystyle {\widetilde {h}}\to 0}$ ${\displaystyle h\to 0}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle h\to 0}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \square }$

La función como la anterior se llama continuamente diferenciable o si es diferenciable en el dominio y además las derivadas varían continuamente; es decir, es continua. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle C^{1}}$ ${\displaystyle x\mapsto f'(x)}$

Corolario  —  Si son continuamente diferenciables, entonces es continuamente diferenciable. ${\displaystyle f,g}$ ${\displaystyle g\circ f}$

Como transformación lineal, se representa mediante una matriz , llamada matriz jacobiana de at y la escribimos como: ${\displaystyle f'(x)}$ ${\displaystyle m\times n}$ ${\displaystyle Jf(x)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle (Jf)(x)={\begin{bmatrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}(x)&\cdots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}(x)\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}(x)&\cdots &{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}(x)\end{bmatrix}}.}$

Tomando como , un número real y el j -ésimo elemento de base estándar, vemos que la diferenciabilidad de en implica: ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle he_{j}}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle e_{j}=(0,\cdots ,1,\cdots ,0)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {f_{i}(x+he_{j})-f_{i}(x)}{h}}={\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}(x)}$

donde denota el i -ésimo componente de . Es decir, cada componente de es diferenciable en en cada variable con la derivada . En términos de matrices jacobianas, la regla de la cadena dice ; es decir, como , ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}(x)}$ ${\displaystyle J(g\circ f)(x)=Jg(y)Jf(x)}$ ${\displaystyle (g\circ f)_{i}=g_{i}\circ f}$

${\displaystyle {\frac {\partial (g_{i}\circ f)}{\partial x_{j}}}(x)={\frac {\partial g_{i}}{\partial y_{1}}}(y){\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{j}}}(x)+\cdots +{\frac {\partial g_{i}}{\partial y_{m}}}(y){\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{j}}}(x),}$

que es la forma de la regla de la cadena que a menudo se enuncia.

Se cumple una recíproca parcial de lo anterior. Es decir, si todas las derivadas parciales están definidas y son continuas, entonces es continuamente diferenciable. ^[4] Esto es una consecuencia de la desigualdad del valor medio: ${\displaystyle {\partial f_{i}}/{\partial x_{j}}}$ ${\displaystyle f}$

Desigualdad de valor medio  —  ^[5] Dado el mapa como el anterior y los puntos en tales que el segmento de línea entre se encuentra en , si es continua en y es diferenciable en el interior, entonces, para cualquier vector , ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle x,y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x,y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle t\mapsto f(x+ty)}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle v\in \mathbb {R} ^{m}}$

${\displaystyle |\Delta _{y}f(x)-v|\leq \sup _{0<t<1}\left|{\frac {d}{dt}}f(x+ty)-v\right|}$

dónde ${\displaystyle \Delta _{y}f(x)=f(x+y)-f(x).}$

(Esta versión de la desigualdad del valor medio se deriva de la desigualdad del valor medio en Teorema del valor medio § Teorema del valor medio para funciones con valores vectoriales aplicado a la función , donde se da la prueba de la desigualdad del valor medio). ${\displaystyle [0,1]\to \mathbb {R} ^{m},\,t\mapsto f(x+ty)-tv}$

De hecho, sea . Observamos que, si , entonces ${\displaystyle g(x)=(Jf)(x)}$ ${\displaystyle y=y_{i}e_{i}}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}f(x+ty)={\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(x+ty)y=g(x+ty)(y_{i}e_{i}).}$

Para simplificar, supongamos que (el argumento para el caso general es similar). Entonces, por desigualdad de valor medio, con la norma del operador , ${\displaystyle n=2}$ ${\displaystyle \|\cdot \|}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&|\Delta _{y}f(x)-g(x)y|\\&\leq |\Delta _{y_{1}e_{1}}f(x_{1},x_{2}+y_{2})-g(x)(y_{1}e_{1})|+|\Delta _{y_{2}e_{2}}f(x_{1},x_{2})-g(x)(y_{2}e_{2})|\\&\leq |y_{1}|\sup _{0<t<1}\|g(x_{1}+ty_{1},x_{2}+y_{2})-g(x)\|+|y_{2}|\sup _{0<t<1}\|g(x_{1},x_{2}+ty_{2})-g(x)\|,\end{aligned}}}$

lo que implica según sea necesario. ${\displaystyle |\Delta _{y}f(x)-g(x)y|/|y|\to 0}$ ${\displaystyle \square }$

Ejemplo : Sea el conjunto de todas las matrices cuadradas reales invertibles de tamaño n . Nota puede identificarse como un subconjunto abierto de con coordenadas . Considere la función = la matriz inversa de definida en . Para adivinar sus derivadas, suponga que es diferenciable y considere la curva donde significa la matriz exponencial de . Por la regla de la cadena aplicada a , tenemos: ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n^{2}}}$ ${\displaystyle x_{ij},0\leq i,j\neq n}$ ${\displaystyle f(g)=g^{-1}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle c(t)=ge^{tg^{-1}h}}$ ${\displaystyle e^{A}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f(c(t))=e^{-tg^{-1}h}g^{-1}}$

${\displaystyle f'(c(t))\circ c'(t)=-g^{-1}he^{-tg^{-1}h}g^{-1}}$.

Tomando , obtenemos: ${\displaystyle t=0}$

${\displaystyle f'(g)h=-g^{-1}hg^{-1}}$.

Ahora, entonces tenemos: ^[6]

${\displaystyle \|(g+h)^{-1}-g^{-1}+g^{-1}hg^{-1}\|\leq \|(g+h)^{-1}\|\|h\|\|g^{-1}hg^{-1}\|.}$

Como la norma del operador es equivalente a la norma euclidiana en (cualquier norma es equivalente entre sí), esto implica que es diferenciable. Finalmente, a partir de la fórmula para , vemos que las derivadas parciales de son suaves (infinitamente diferenciables); por lo que, también es suave. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n^{2}}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f'}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

Derivadas superiores y fórmula de Taylor

Si es diferenciable donde es un subconjunto abierto, entonces las derivadas determinan la función , donde representa homomorfismos entre espacios vectoriales; es decir, funciones lineales. Si es diferenciable, entonces . Aquí, el codominio de se puede identificar con el espacio de funciones bilineales por: ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle X\subset \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f':X\to \operatorname {Hom} (\mathbb {R} ^{n},\mathbb {R} ^{m})}$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} }$ ${\displaystyle f'}$ ${\displaystyle f'':X\to \operatorname {Hom} (\mathbb {R} ^{n},\operatorname {Hom} (\mathbb {R} ^{n},\mathbb {R} ^{m}))}$ ${\displaystyle f''}$

${\displaystyle \operatorname {Hom} (\mathbb {R} ^{n},\operatorname {Hom} (\mathbb {R} ^{n},\mathbb {R} ^{m})){\overset {\varphi }{\underset {\sim }{\to }}}\{(\mathbb {R} ^{n})^{2}\to \mathbb {R} ^{m}{\text{ bilinear}}\}}$

donde y es biyectiva con la inversa dada por . ^[a] En general, es una función de al espacio de funciones -multilineales . ${\displaystyle \varphi (g)(x,y)=g(x)y}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle (\psi (g)x)y=g(x,y)}$ ${\displaystyle f^{(k)}=(f^{(k-1)})'}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{n})^{k}\to \mathbb {R} ^{m}}$

Así como se representa mediante una matriz (matriz jacobiana), cuando (una función bilineal es una forma bilineal), la forma bilineal se representa mediante una matriz llamada matriz hessiana de en ; es decir, la matriz cuadrada de tamaño tal que , donde la paridad se refiere a un producto interno de , y no es otra que la matriz jacobiana de . La -ésima entrada de se da, por tanto, explícitamente como . ${\displaystyle f'(x)}$ ${\displaystyle m=1}$ ${\displaystyle f''(x)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f''(x)(y,z)=(Hy,z)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle f':X\to (\mathbb {R} ^{n})^{*}\simeq \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle (i,j)}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H_{ij}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}(x)}$

Además, si existe y es continua, entonces la matriz es simétrica , hecho conocido como simetría de las derivadas segundas . ^[7] Esto se ve utilizando la desigualdad del valor medio. Para los vectores en , utilizando la desigualdad del valor medio dos veces, tenemos: ${\displaystyle f''}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle u,v}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle |\Delta _{v}\Delta _{u}f(x)-f''(x)(u,v)|\leq \sup _{0<t_{1},t_{2}<1}|f''(x+t_{1}u+t_{2}v)(u,v)-f''(x)(u,v)|,}$

que dice

${\displaystyle f''(x)(u,v)=\lim _{s,t\to 0}(\Delta _{tv}\Delta _{su}f(x)-f(x))/(st).}$

Como el lado derecho es simétrico en , también lo es el lado izquierdo: . Por inducción, si es , entonces la función k -multilineal es simétrica; es decir, el orden de toma de derivadas parciales no importa. ^[7] ${\displaystyle u,v}$ ${\displaystyle f''(x)(u,v)=f''(x)(v,u)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle f^{(k)}(x)}$

Como en el caso de una variable, la expansión de la serie de Taylor se puede demostrar mediante integración por partes:

${\displaystyle f(z+(h,k))=\sum _{a+b<n}\partial _{x}^{a}\partial _{y}^{b}f(z){h^{a}k^{b} \over a!b!}+n\int _{0}^{1}(1-t)^{n-1}\sum _{a+b=n}\partial _{x}^{a}\partial _{y}^{b}f(z+t(h,k)){h^{a}k^{b} \over a!b!}\,dt.}$

La fórmula de Taylor tiene un efecto de dividir una función por variables, lo que puede ilustrarse con el siguiente uso teórico típico de la fórmula.

Ejemplo : ^[8] Sea una función lineal entre el espacio vectorial de funciones suaves en con derivadas rápidamente decrecientes; es decir, para cualquier índice múltiple . (El espacio se denomina espacio de Schwartz ). Para cada en , la fórmula de Taylor implica que podemos escribir: ${\displaystyle T:{\mathcal {S}}\to {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \sup |x^{\beta }\partial ^{\alpha }\varphi |<\infty }$ ${\displaystyle \alpha ,\beta }$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

${\displaystyle \varphi -\psi \varphi (y)=\sum _{j=1}^{n}(x_{j}-y_{j})\varphi _{j}}$

con , donde es una función suave con soporte compacto y . Ahora, supongamos que conmuta con coordenadas; es decir, . Entonces ${\displaystyle \varphi _{j}\in {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi (y)=1}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T(x_{j}\varphi )=x_{j}T\varphi }$

${\displaystyle T\varphi -\varphi (y)T\psi =\sum _{j=1}^{n}(x_{j}-y_{j})T\varphi _{j}}$.

Evaluando lo anterior en , obtenemos En otras palabras, es una multiplicación por alguna función ; es decir, . Ahora, supongamos además que conmuta con diferenciaciones parciales. Entonces vemos fácilmente que es una constante; es una multiplicación por una constante. ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle T\varphi (y)=\varphi (y)T\psi (y).}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle T\varphi =m\varphi }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle T}$

(Aparte: la discusión anterior casi prueba la fórmula de inversión de Fourier . De hecho, sea la transformada de Fourier y la reflexión; es decir, . Luego, al tratar directamente con la integral involucrada, uno puede ver conmutaciones con coordenadas y diferenciaciones parciales; por lo tanto, es una multiplicación por una constante. Esto es casi una prueba ya que uno todavía tiene que calcular esta constante). ${\displaystyle F,R:{\mathcal {S}}\to {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle (R\varphi )(x)=\varphi (-x)}$ ${\displaystyle T=RF^{2}}$ ${\displaystyle T}$

También se cumple una inversa parcial de la fórmula de Taylor; véase el lema de Borel y el teorema de extensión de Whitney .

Teorema de la función inversa y teorema de inmersión

Teorema de la función inversa  —  Sea una función entre subconjuntos abiertos en . Si es continuamente diferenciable (o, de manera más general , ) y es biyectiva, existen vecindades de y la inversa que es continuamente diferenciable (o, respectivamente , ). ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle X,Y}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},\mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle f'(x)}$ ${\displaystyle U,V}$ ${\displaystyle x,f(x)}$ ${\displaystyle f^{-1}:V\to U}$ ${\displaystyle C^{k}}$

Una función con la función inversa se denomina difeomorfismo. Por lo tanto, el teorema dice que, para una función que satisface la hipótesis en un punto , es un difeomorfismo cerca de Para una demostración, véase Teorema de la función inversa § Una demostración usando aproximación sucesiva . ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x,f(x).}$

El teorema de la función implícita dice: ^[9] dada una función , si , está en un entorno de y la derivada de at es invertible, entonces existe una función diferenciable para algunos entornos de tal que . El teorema se deduce del teorema de la función inversa; véase Teorema de la función inversa § Teorema de la función implícita . ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle f(a,b)=0}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle y\mapsto f(a,y)}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle g:U\to V}$ ${\displaystyle U,V}$ ${\displaystyle a,b}$ ${\displaystyle f(x,g(x))=0}$

Otra consecuencia es el teorema de inmersión .

Funciones integrables en espacios euclidianos

Una partición de un intervalo es una secuencia finita . Una partición de un rectángulo (producto de intervalos) en entonces consiste en particiones de los lados de ; es decir, si , entonces consiste en tal que es una partición de . ^[10] ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle a=t_{0}\leq t_{1}\leq \cdots \leq t_{k}=b}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D=\prod _{1}^{n}[a_{i},b_{i}]}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P_{1},\dots ,P_{n}}$ ${\displaystyle P_{i}}$ ${\displaystyle [a_{i},b_{i}]}$

Dada una función en , definimos entonces la suma de Riemann superior de la misma como: ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle D}$

${\displaystyle U(f,P)=\sum _{Q\in P}(\sup _{Q}f)\operatorname {vol} (Q)}$

dónde

• ${\displaystyle Q}$es un elemento de partición de ; es decir, cuando es una partición de . ^[11] ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q=\prod _{i=1}^{n}[t_{i,j_{i}},t_{i,j_{i}+1}]}$ ${\displaystyle P_{i}:a_{i}=t_{i,0}\leq \dots \cdots \leq t_{i,k_{i}}=b_{i}}$ ${\displaystyle [a_{i},b_{i}]}$
• El volumen de es el volumen euclidiano habitual, es decir, . ${\displaystyle \operatorname {vol} (Q)}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle \operatorname {vol} (Q)=\prod _{1}^{n}(t_{i,j_{i}+1}-t_{i,j_{i}})}$

La suma de Riemann inferior de se define entonces reemplazando por . Finalmente, la función se llama integrable si está acotada y . En ese caso, el valor común se denota como . ^[12] ${\displaystyle L(f,P)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \sup }$ ${\displaystyle \inf }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \sup\{L(f,P)\mid P\}=\inf\{U(f,P)\mid P\}}$ ${\displaystyle \int _{D}f\,dx}$

Se dice que un subconjunto de tiene medida cero si para cada , existen algunos posiblemente infinitos rectángulos cuya unión contiene el conjunto y ^[13] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle D_{1},D_{2},\dots ,}$ ${\displaystyle \sum _{i}\operatorname {vol} (D_{i})<\epsilon .}$

Un teorema clave es

Teorema  —  ^[14] Una función acotada en un rectángulo cerrado es integrable si y sólo si el conjunto tiene medida cero. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \{x|f{\text{ is not continuous at }}x\}}$

El siguiente teorema nos permite calcular la integral de una función como la iteración de las integrales de la función en una variable:

Teorema de Fubini  :  Sies una función continua en un rectángulo cerrado(de hecho, esta suposición es demasiado fuerte), entonces ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle D=\prod [a_{i},b_{i}]}$

${\displaystyle \int _{D}f\,dx=\int _{a_{n}}^{b_{n}}\cdots \left(\int _{a_{1}}^{b_{1}}f(x_{1},\dots ,x_{n})dx_{1}\right)dx_{2}\cdots dx_{n}.}$

En particular, se puede cambiar el orden de las integraciones.

Finalmente, si es un subconjunto abierto acotado y una función en , entonces definimos donde es un rectángulo cerrado que contiene y es la función característica en ; es decir, si y si se proporciona es integrable. ^[15] ${\displaystyle M\subset \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \int _{M}f\,dx:=\int _{D}\chi _{M}f\,dx}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \chi _{M}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \chi _{M}(x)=1}$ ${\displaystyle x\in M}$ ${\displaystyle =0}$ ${\displaystyle x\not \in M,}$ ${\displaystyle \chi _{M}f}$

Integral de superficie

Si una superficie acotada en está parametrizada por con dominio , entonces la integral de superficie de una función medible en se define y se denota como: ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle {\textbf {r}}={\textbf {r}}(u,v)}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle \int _{M}F\,dS:=\int \int _{D}(F\circ {\textbf {r}})|{\textbf {r}}_{u}\times {\textbf {r}}_{v}|\,dudv}$

Si tiene un valor vectorial, entonces definimos ${\displaystyle F:M\to \mathbb {R} ^{3}}$

${\displaystyle \int _{M}F\cdot dS:=\int _{M}(F\cdot {\textbf {n}})\,dS}$

donde es un vector unitario normal externo a . Como , tenemos: ${\displaystyle {\textbf {n}}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\textbf {n}}={\frac {{\textbf {r}}_{u}\times {\textbf {r}}_{v}}{|{\textbf {r}}_{u}\times {\textbf {r}}_{v}|}}}$

${\displaystyle \int _{M}F\cdot dS=\int \int _{D}(F\circ {\textbf {r}})\cdot ({\textbf {r}}_{u}\times {\textbf {r}}_{v})\,dudv=\int \int _{D}\det(F\circ {\textbf {r}},{\textbf {r}}_{u},{\textbf {r}}_{v})\,dudv.}$

Análisis vectorial

Vectores tangentes y campos vectoriales

Sea una curva diferenciable. Entonces el vector tangente a la curva en es un vector en el punto cuyos componentes están dados como: ${\displaystyle c:[0,1]\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle c(t)}$

${\displaystyle v=(c_{1}'(t),\dots ,c_{n}'(t))}$. ^[16]

Por ejemplo, si es una hélice, entonces el vector tangente en t es: ${\displaystyle c(t)=(a\cos(t),a\sin(t),bt),a>0,b>0}$

${\displaystyle c'(t)=(-a\sin(t),a\cos(t),b).}$

Corresponde a la intuición de que un punto de la hélice se mueve hacia arriba con una velocidad constante.

Si es una curva o superficie diferenciable, entonces el espacio tangente a en un punto p es el conjunto de todos los vectores tangentes a las curvas diferenciables con . ${\displaystyle M\subset \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle c:[0,1]\to M}$ ${\displaystyle c(0)=p}$

Un campo vectorial X es una asignación a cada punto p en M de un vector tangente a M en p tal que la asignación varía suavemente. ${\displaystyle X_{p}}$

Formas diferenciales

La noción dual de un campo vectorial es una forma diferencial. Dado un subconjunto abierto en , por definición, una 1-forma diferencial (a menudo simplemente 1-forma) es una asignación a un punto en una función lineal en el espacio tangente a en tal que la asignación varía suavemente. Para una función suave (real o de valor complejo) , defina la 1-forma por: para un vector tangente en , ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \omega _{p}}$ ${\displaystyle T_{p}M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle df}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle df_{p}(v)=v(f)}$

donde denota la derivada direccional de en la dirección en . ^[17] Por ejemplo, si es la función de coordenadas -ésima, entonces ; es decir, son la base dual de la base estándar en . Entonces cada 1-forma diferencial se puede escribir de forma única como ${\displaystyle v(f)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle dx_{i,p}(v)=v_{i}}$ ${\displaystyle dx_{i,p}}$ ${\displaystyle T_{p}M}$ ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle \omega =f_{1}\,dx_{1}+\cdots +f_{n}\,dx_{n}}$

para algunas funciones suaves en (ya que, para cada punto , la funcional lineal es una combinación lineal única de sobre números reales). De manera más general, una k -forma diferencial es una asignación a un punto en un vector en la -ésima potencia exterior del espacio dual de tal que la asignación varía suavemente. ^[17] En particular, una 0-forma es lo mismo que una función suave. Además, cualquier -forma se puede escribir de forma única como: ${\displaystyle f_{1},\dots ,f_{n}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \omega _{p}}$ ${\displaystyle dx_{i}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \omega _{p}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \bigwedge ^{k}T_{p}^{*}M}$ ${\displaystyle T_{p}^{*}M}$ ${\displaystyle T_{p}M}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle \omega =\sum _{i_{1}<\cdots <i_{k}}f_{i_{1}\dots i_{k}}\,dx_{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx_{i_{k}}}$

para algunas funciones suaves . ^[17] ${\displaystyle f_{i_{1}\dots i_{k}}}$

Al igual que una función suave, podemos diferenciar e integrar formas diferenciales. Si es una función suave, entonces se puede escribir como: ^[18] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle df}$

${\displaystyle df=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\,dx_{i}}$

ya que, para , tenemos: . Nótese que, en la expresión anterior, el lado izquierdo (de donde el lado derecho) es independiente de las coordenadas ; esta propiedad se llama invariancia del diferencial. ${\displaystyle v=\partial /\partial x_{j}|_{p}}$ ${\displaystyle df_{p}(v)={\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}(p)=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(p)\,dx_{i}(v)}$ ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$

La operación se llama derivada exterior y se extiende a cualquier forma diferencial inductivamente por el requisito ( regla de Leibniz ). ${\displaystyle d}$

${\displaystyle d(\alpha \wedge \beta )=d\alpha \wedge \beta +(-1)^{p}\alpha \wedge d\beta .}$

donde hay una forma p y una forma q . ${\displaystyle \alpha ,\beta }$

La derivada exterior tiene la importante propiedad de que ; es decir, la derivada exterior de una forma diferencial es cero. Esta propiedad es una consecuencia de la simetría de las segundas derivadas (las derivadas parciales mixtas son iguales). ${\displaystyle d\circ d=0}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d\omega }$

Límite y orientación

Un círculo puede estar orientado en el sentido de las agujas del reloj o en el sentido contrario. Matemáticamente, decimos que un subconjunto de está orientado si existe una elección consistente de vectores normales a que varíe de forma continua. Por ejemplo, un círculo o, de forma más general, una n -esfera pueden estar orientados; es decir, ser orientables. Por otro lado, una cinta de Möbius (una superficie obtenida mediante la identificación de dos lados opuestos del rectángulo de forma torcida) no puede estar orientada: si partimos de un vector normal y recorremos la cinta, el vector normal al final apuntará en la dirección opuesta. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle M}$

Proposición  —  Una región diferenciable acotada de dimensión está orientada si y sólo si existe una forma que no desaparece en ninguna parte (llamada forma de volumen). ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle M}$

La propuesta es útil porque nos permite dar una orientación dando una forma de volumen.

Integración de formas diferenciales

Si es una n -forma diferencial en un subconjunto abierto M en (cualquier n -forma es esa forma), entonces su integración con la orientación estándar se define como: ${\displaystyle \omega =f\,dx_{1}\wedge \cdots \wedge dx_{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle \int _{M}\omega =\int _{M}f\,dx_{1}\cdots dx_{n}.}$

Si a M se le da la orientación opuesta a la estándar, entonces se define como el negativo del lado derecho. ${\displaystyle \int _{M}\omega }$

Luego tenemos la fórmula fundamental que relaciona la derivada exterior con la integración:

Fórmula de Stokes  :  Para una región acotadadedimensióncuyo límite es una unión de un número finitode subconjuntos, siestá orientada, entonces ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle C^{1}}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle \int _{\partial M}\omega =\int _{M}d\omega }$

para cualquier forma diferencial en el límite de . ${\displaystyle (k-1)}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \partial M}$ ${\displaystyle M}$

He aquí un bosquejo de la prueba de la fórmula. ^[19] Si es una función suave con soporte compacto, entonces tenemos: ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \int d(f\omega )=0}$

(ya que, por el teorema fundamental del cálculo, lo anterior puede evaluarse en los límites del conjunto que contiene el soporte). Por otra parte,

${\displaystyle \int d(f\omega )=\int df\wedge \omega +\int f\,d\omega .}$

Acerquémonos a la función característica en . Entonces el segundo término de la derecha va a mientras que el primero va a , por un argumento similar a la demostración del teorema fundamental del cálculo. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \int _{M}d\omega }$ ${\displaystyle -\int _{\partial M}\omega }$ ${\displaystyle \square }$

La fórmula generaliza el teorema fundamental del cálculo , así como el teorema de Stokes en el cálculo multivariable. De hecho, si es un intervalo y , entonces y la fórmula dice: ${\displaystyle M=[a,b]}$ ${\displaystyle \omega =f}$ ${\displaystyle d\omega =f'\,dx}$

${\displaystyle \int _{M}f'\,dx=f(b)-f(a)}$.

De manera similar, si es una superficie acotada orientada en y , entonces y de manera similar para y . Reuniendo los términos, obtenemos: ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \omega =f\,dx+g\,dy+h\,dz}$ ${\displaystyle d(f\,dx)=df\wedge dx={\frac {\partial f}{\partial y}}\,dy\wedge dx+{\frac {\partial f}{\partial z}}\,dz\wedge dx}$ ${\displaystyle d(g\,dy)}$ ${\displaystyle d(g\,dy)}$

${\displaystyle d\omega =\left({\frac {\partial h}{\partial y}}-{\frac {\partial g}{\partial z}}\right)dy\wedge dz+\left({\frac {\partial f}{\partial z}}-{\frac {\partial h}{\partial x}}\right)dz\wedge dx+\left({\frac {\partial g}{\partial x}}-{\frac {\partial f}{\partial y}}\right)dx\wedge dy.}$

Entonces, a partir de la definición de la integración de , tenemos donde es la función vectorial y . Por lo tanto, la fórmula de Stokes se convierte en ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \int _{M}d\omega =\int _{M}(\nabla \times F)\cdot dS}$ ${\displaystyle F=(f,g,h)}$ ${\displaystyle \nabla =\left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)}$

${\displaystyle \int _{M}(\nabla \times F)\cdot dS=\int _{\partial M}(f\,dx+g\,dy+h\,dz),}$

que es la forma usual del teorema de Stokes sobre superficies. El teorema de Green también es un caso especial de la fórmula de Stokes.

La fórmula de Stokes también da una versión general de la fórmula integral de Cauchy . Para enunciarla y demostrarla, para la variable compleja y el conjugado , introduzcamos los operadores ${\displaystyle z=x+iy}$ ${\displaystyle {\bar {z}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}-i{\frac {\partial }{\partial y}}\right),\,{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}+i{\frac {\partial }{\partial y}}\right).}$

En estas notaciones, una función es holomorfa (analítica compleja) si y solo si (las ecuaciones de Cauchy-Riemann ). Además, tenemos: ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}=0}$

${\displaystyle df={\frac {\partial f}{\partial z}}dz+{\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}d{\bar {z}}.}$

Sea un disco perforado con centro . Como es holomorfo en , tenemos: ${\displaystyle D_{\epsilon }=\{z\in \mathbb {C} \mid \epsilon <|z-z_{0}|<r\}}$ ${\displaystyle z_{0}}$ ${\displaystyle 1/(z-z_{0})}$ ${\displaystyle D_{\epsilon }}$

${\displaystyle d\left({\frac {f}{z-z_{0}}}dz\right)={\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}{\frac {d{\bar {z}}\wedge dz}{z-z_{0}}}}$.

Según la fórmula de Stokes,

${\displaystyle \int _{D_{\epsilon }}{\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}{\frac {d{\bar {z}}\wedge dz}{z-z_{0}}}=\left(\int _{|z-z_{0}|=r}-\int _{|z-z_{0}|=\epsilon }\right){\frac {f}{z-z_{0}}}dz.}$

Dejando entonces que: ^{[20] [21]} ${\displaystyle \epsilon \to 0}$

${\displaystyle 2\pi i\,f(z_{0})=\int _{|z-z_{0}|=r}{\frac {f}{z-z_{0}}}dz+\int _{|z-z_{0}|\leq r}{\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}{\frac {dz\wedge d{\bar {z}}}{z-z_{0}}}.}$

Números devanados y lema de Poincaré

Una forma diferencial se llama cerrada si y se llama exacta si para alguna forma diferencial (a menudo llamada potencial). Como , una forma exacta es cerrada. Pero la inversa no se cumple en general; podría haber una forma cerrada no exacta. Un ejemplo clásico de tal forma es: ^[22] ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle d\omega =0}$ ${\displaystyle \omega =d\eta }$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle d\circ d=0}$

${\displaystyle \omega ={\frac {-y}{x^{2}+y^{2}}}+{\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}}$,

que es una forma diferencial en . Supongamos que cambiamos a coordenadas polares: donde . Entonces ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}-0}$ ${\displaystyle x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta }$ ${\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$

${\displaystyle \omega =r^{-2}(-r\sin \theta \,dx+r\cos \theta \,dy)=d\theta .}$

Esto no demuestra que sea exacta: el problema es que no es una función continua bien definida en . Dado que cualquier función en con difiere de por constante, esto significa que no es exacta. El cálculo, sin embargo, muestra que es exacta, por ejemplo, en ya que podemos tomar allí. ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}-0}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}-0}$ ${\displaystyle df=\omega }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}-\{x=0\}}$ ${\displaystyle \theta =\arctan(y/x)}$

Hay un resultado (lema de Poincaré) que da una condición que garantiza que las formas cerradas sean exactas. Para enunciarla, necesitamos algunas nociones de topología. Dados dos mapas continuos entre subconjuntos de (o más generalmente espacios topológicos), una homotopía de a es una función continua tal que y . Intuitivamente, una homotopía es una variación continua de una función a otra. Un bucle en un conjunto es una curva cuyo punto de inicio coincide con el punto final; es decir, tal que . Entonces un subconjunto de se llama simplemente conexo si cada bucle es homotópico a una función constante. Un ejemplo típico de un conjunto simplemente conexo es un disco . De hecho, dado un bucle , tenemos la homotopía de a la función constante . Un disco perforado, por otro lado, no es simplemente conexo. ${\displaystyle f,g:X\to Y}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m},\mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle H:X\times [0,1]\to Y}$ ${\displaystyle f(x)=H(x,0)}$ ${\displaystyle g(x)=H(x,1)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle c:[0,1]\to X}$ ${\displaystyle c(0)=c(1)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle D=\{(x,y)\mid {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\leq r\}\subset \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle c:[0,1]\to D}$ ${\displaystyle H:[0,1]^{2}\to D,\,H(x,t)=(1-t)c(x)+tc(0)}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c(0)}$

Lema de Poincaré  :  Sies un subconjunto abierto simplemente conexo de, entonces cada 1-forma cerrada dees exacta. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle M}$

Geometría de curvas y superficies

Marco móvil

Los campos vectoriales en se denominan campos de marco si son ortogonales entre sí en cada punto; es decir, en cada punto. ^[23] El ejemplo básico es el marco estándar ; es decir, es una base estándar para cada punto en . Otro ejemplo es el marco cilíndrico ${\displaystyle E_{1},\dots ,E_{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle E_{i}\cdot E_{j}=\delta _{ij}}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle U_{i}(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

${\displaystyle E_{1}=\cos \theta U_{1}+\sin \theta U_{2},\,E_{2}=-\sin \theta U_{1}+\cos \theta U_{2},\,E_{3}=U_{3}.}$^[24]

Para el estudio de la geometría de una curva, el marco importante a utilizar es un marco de Frenet en una curva de velocidad unitaria dada como: ${\displaystyle T,N,B}$ ${\displaystyle \beta :I\to \mathbb {R} ^{3}}$

El teorema de Gauss-Bonnet

El teorema de Gauss-Bonnet relaciona la topología de una superficie y su geometría.

El teorema de Gauss-Bonnet  —  ^[25] Para cada superficie acotada en , tenemos: ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

${\displaystyle 2\pi \,\chi (M)=\int _{M}K\,dS}$

donde es la característica de Euler de y la curvatura. ${\displaystyle \chi (M)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle K}$

Cálculo de variaciones

Método del multiplicador de Lagrange

Multiplicador de Lagrange  —  ^[26] Seauna función diferenciable de un subconjunto abierto detal quetiene rangoen cada punto en. Para una función diferenciable, sialcanza un máximo o un mínimo en un puntoen, entonces existen números realestales que ${\displaystyle g:U\to \mathbb {R} ^{r}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle g'}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle g^{-1}(0)}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle g^{-1}(0)}$ ${\displaystyle \lambda _{1},\dots ,\lambda _{r}}$

${\displaystyle \nabla f(p)=\lambda _{i}\sum _{i=1}^{r}\nabla g_{i}(p)}$.

En otras palabras, es un punto estacionario de . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f-\sum _{1}^{r}\lambda _{i}g_{i}}$

Al conjunto se le suele llamar restricción. ${\displaystyle g^{-1}(0)}$

Ejemplo : ^[27] Supongamos que queremos encontrar la distancia mínima entre el círculo y la línea . Esto significa que queremos minimizar la función , la distancia al cuadrado entre un punto del círculo y un punto de la línea, bajo la restricción . Tenemos: ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$ ${\displaystyle x+y=4}$ ${\displaystyle f(x,y,u,v)=(x-u)^{2}+(y-v)^{2}}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle (u,v)}$ ${\displaystyle g=(x^{2}+y^{2}-1,u+v-4)}$

${\displaystyle \nabla f=(2(x-u),2(y-v),-2(x-u),-2(y-v)).}$

${\displaystyle \nabla g_{1}=(2x,2y,0,0),\nabla g_{2}=(0,0,1,1).}$

Dado que la matriz jacobiana de tiene rango 2 en todas partes en , el multiplicador de Lagrange da: ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g^{-1}(0)}$

${\displaystyle x-u=\lambda _{1}x,\,y-v=\lambda _{1}y,\,2(x-u)=-\lambda _{2},\,2(y-v)=-\lambda _{2}.}$

Si , entonces , no es posible. Por lo tanto, y ${\displaystyle \lambda _{1}=0}$ ${\displaystyle x=u,y=v}$ ${\displaystyle \lambda _{1}\neq 0}$

${\displaystyle x={\frac {x-u}{\lambda _{1}}},\,y={\frac {y-v}{\lambda _{1}}}.}$

De esto se deduce fácilmente que y . Por lo tanto, la distancia mínima es (ya que claramente existe una distancia mínima). ${\displaystyle x=y=1/{\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle u=v=2}$ ${\displaystyle 2{\sqrt {2}}-1}$

Aquí hay una aplicación al álgebra lineal. ^[28] Sea un espacio vectorial real de dimensión finita y un operador autoadjunto . Demostraremos que tiene una base que consiste en vectores propios de (es decir, es diagonalizable) por inducción en la dimensión de . Al elegir una base en podemos identificar y está representada por la matriz . Consideremos la función , donde el corchete significa el producto interno . Entonces . Por otro lado, para , ya que es compacto, alcanza un máximo o mínimo en un punto en . Como , por el multiplicador de Lagrange, encontramos un número real tal que Pero eso significa . Por hipótesis inductiva, el operador autoadjunto , el complemento ortogonal de , tiene una base que consiste en vectores propios. Por lo tanto, hemos terminado. . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle T:V\to V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V=\mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle [a_{ij}]}$ ${\displaystyle f(x)=(Tx,x)}$ ${\displaystyle \nabla f=2(\sum a_{1i}x_{i},\dots ,\sum a_{ni}x_{i})}$ ${\displaystyle g=\sum x_{i}^{2}-1}$ ${\displaystyle g^{-1}(0)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle g^{-1}(0)}$ ${\displaystyle \nabla g=2(x_{1},\dots ,x_{n})}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle 2\sum _{i}a_{ji}u_{i}=2\lambda u_{j},1\leq j\leq n.}$ ${\displaystyle Tu=\lambda u}$ ${\displaystyle T:W\to W}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \square }$

Derivados débiles

Hasta los conjuntos de medida cero, se puede determinar si dos funciones son iguales o no mediante la integración con otras funciones (llamadas funciones de prueba). Es decir, el siguiente lema, a veces llamado el lema fundamental del cálculo de variaciones :

Lema ^[29]  —  Si son funciones localmente integrables en un subconjunto abierto tales que ${\displaystyle f,g}$ ${\displaystyle M\subset \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \int (f-g)\varphi \,dx=0}$

para cada (llamada función de prueba). Luego, casi en todas partes. Si, además, son continuas, entonces . ${\displaystyle \varphi \in C_{c}^{\infty }(M)}$ ${\displaystyle f=g}$ ${\displaystyle f,g}$ ${\displaystyle f=g}$

Dada una función continua , por el lema, una función continuamente diferenciable es tal que si y sólo si ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}=f}$

${\displaystyle \int {\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}\varphi \,dx=\int f\varphi \,dx}$

para cada . Pero, por integración por partes , la derivada parcial del lado izquierdo de se puede mover a la de ; es decir, ${\displaystyle \varphi \in C_{c}^{\infty }(M)}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle -\int u{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{i}}}\,dx=\int f\varphi \,dx}$

donde no hay término de contorno ya que tiene soporte compacto. Ahora bien, el punto clave es que esta expresión tiene sentido incluso si no es necesariamente diferenciable y, por lo tanto, puede usarse para dar sentido a una derivada de dicha función. ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle u}$

Nótese que cada función localmente integrable define el funcional lineal en y, además, cada función localmente integrable puede identificarse con dicho funcional lineal, debido al lema temprano. Por lo tanto, de manera bastante general, si es un funcional lineal en , entonces definimos como el funcional lineal donde el corchete significa . Entonces se llama derivada débil de con respecto a . Si es continuamente diferenciable, entonces la derivada débil de coincide con la usual; es decir, el funcional lineal es el mismo que el funcional lineal determinado por la derivada parcial usual de con respecto a . Una derivada usual a menudo se llama derivada clásica. Cuando un funcional lineal en es continuo con respecto a una cierta topología en , dicho funcional lineal se llama distribución , un ejemplo de una función generalizada . ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \varphi \mapsto \int u\varphi \,dx}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(M)}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(M)}$ ${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}}$ ${\displaystyle \varphi \mapsto -\left\langle u,{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{i}}}\right\rangle }$ ${\displaystyle \langle \alpha ,\varphi \rangle =\alpha (\varphi )}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(M)}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(M)}$

Un ejemplo clásico de una derivada débil es el de la función de Heaviside , la función característica en el intervalo . ^[30] Para cada función de prueba , tenemos: ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle (0,\infty )}$ ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \langle H',\varphi \rangle =-\int _{0}^{\infty }\varphi '\,dx=\varphi (0).}$

Sea α la función lineal , llamada función delta de Dirac (aunque no es exactamente una función). Entonces, lo anterior se puede escribir como: ${\displaystyle \delta _{a}}$ ${\displaystyle \varphi \mapsto \varphi (a)}$

${\displaystyle H'=\delta _{0}.}$

La fórmula integral de Cauchy tiene una interpretación similar en términos de derivadas débiles. Para la variable compleja , sea . Para una función de prueba , si el disco contiene el soporte de , por la fórmula integral de Cauchy, tenemos: ${\displaystyle z=x+iy}$ ${\displaystyle E_{z_{0}}(z)={\frac {1}{\pi (z-z_{0})}}}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle |z-z_{0}|\leq r}$ ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \varphi (z_{0})={1 \over 2\pi i}\int {\frac {\partial \varphi }{\partial {\bar {z}}}}{\frac {dz\wedge d{\bar {z}}}{z-z_{0}}}.}$

Desde entonces , esto significa: ${\displaystyle dz\wedge d{\bar {z}}=-2idx\wedge dy}$

${\displaystyle \varphi (z_{0})=-\int E_{z_{0}}{\frac {\partial \varphi }{\partial {\bar {z}}}}dxdy=\left\langle {\frac {\partial E_{z_{0}}}{\partial {\bar {z}}}},\varphi \right\rangle ,}$

o

${\displaystyle {\frac {\partial E_{z_{0}}}{\partial {\bar {z}}}}=\delta _{z_{0}}.}$^[31]

En general, una función generalizada se denomina solución fundamental para un operador diferencial parcial lineal si la aplicación del operador a ella es la delta de Dirac. Por lo tanto, lo anterior es la solución fundamental para el operador diferencial . ${\displaystyle E_{z_{0}}}$ ${\displaystyle \partial /\partial {\bar {z}}}$

Teoría de Hamilton-Jacobi

Cálculo sobre variedades

Definición de una variedad

Esta sección requiere algunos conocimientos de topología general .

Una variedad es un espacio topológico de Hausdorff que se modela localmente mediante un espacio euclidiano. Por definición, un atlas de un espacio topológico es un conjunto de mapas , llamados gráficos, tales que ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \varphi _{i}:U_{i}\to \mathbb {R} ^{n}}$

• ${\displaystyle U_{i}}$son una cubierta abierta de ; es decir, cada uno está abierto y , ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle M=\cup _{i}U_{i}}$
• ${\displaystyle \varphi _{i}:U_{i}\to \varphi _{i}(U_{i})}$es un homeomorfismo y
• ${\displaystyle \varphi _{j}\circ \varphi _{i}^{-1}:\varphi _{i}(U_{i}\cap U_{j})\to \varphi _{j}(U_{i}\cap U_{j})}$es suave, por lo tanto es un difeomorfismo.

Por definición, una variedad es un espacio topológico de Hausdorff contable en segundo orden con un atlas máximo (llamado estructura diferenciable ); "máximo" significa que no está contenido en un atlas estrictamente mayor. La dimensión de la variedad es la dimensión del espacio euclidiano modelo ; es decir, y una variedad se llama n -variedad cuando tiene dimensión n . Se dice que una función en una variedad es suave si es suave en cada gráfico de la estructura diferenciable. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle f|_{U}\circ \varphi ^{-1}}$ ${\displaystyle \varphi (U)}$ ${\displaystyle \varphi :U\to \mathbb {R} ^{n}}$

Una variedad es paracompacta ; esto implica que admite una partición de unidad subordinada a una cubierta abierta dada.

Si se reemplaza por un semiespacio superior , entonces obtenemos la noción de una variedad con límite . El conjunto de puntos que se asignan al límite de debajo de los gráficos se denota por y se llama límite de . Este límite puede no ser el límite topológico de . Dado que el interior de es difeomorfo a , una variedad es una variedad con límite con límite vacío. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$ ${\displaystyle \partial M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

El siguiente teorema proporciona muchos ejemplos de variedades.

Teorema  —  ^[32] Sea una función diferenciable de un subconjunto abierto tal que tiene rango para cada punto en . Entonces el conjunto cero es una -variedad. ${\displaystyle g:U\to \mathbb {R} ^{r}}$ ${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle g'(p)}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle g^{-1}(0)}$ ${\displaystyle g^{-1}(0)}$ ${\displaystyle (n-r)}$

Por ejemplo, para , la derivada tiene rango uno en cada punto de . Por lo tanto, la n -esfera es una n -variedad. ${\displaystyle g(x)=x_{1}^{2}+\cdots +x_{n+1}^{2}-1}$ ${\displaystyle g'(x)={\begin{bmatrix}2x_{1}&2x_{2}&\cdots &2x_{n+1}\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle g^{-1}(0)}$ ${\displaystyle g^{-1}(0)}$

El teorema se demuestra como corolario del teorema de la función inversa.

Muchas variedades conocidas son subconjuntos de . El siguiente resultado teóricamente importante dice que no hay otro tipo de variedades. Una inmersión es una función suave cuyo diferencial es inyectivo. Una incrustación es una inmersión que es homeomorfa (y por lo tanto difeomorfa) a la imagen. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Teorema de incrustación de Whitney  :  cadavariedad puede incrustarse en. ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2k}}$

La prueba de que una variedad puede ser embebida en para algún N es considerablemente más fácil y se puede dar fácilmente aquí. Se sabe ^{[ cita requerida ]} que una variedad tiene un atlas finito . Sean funciones suaves tales que y cubren (por ejemplo, una partición de la unidad). Consideremos la función ${\displaystyle \mathbb {R} ^{N}}$ ${\displaystyle \{\varphi _{i}:U_{i}\to \mathbb {R} ^{n}\mid 1\leq i\leq r\}}$ ${\displaystyle \lambda _{i}}$ ${\displaystyle \operatorname {Supp} (\lambda _{i})\subset U_{i}}$ ${\displaystyle \{\lambda _{i}=1\}}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle f=(\lambda _{1}\varphi _{1},\dots ,\lambda _{r}\varphi _{r},\lambda _{1},\dots ,\lambda _{r}):M\to \mathbb {R} ^{(k+1)r}}$

Es fácil ver que se trata de una inmersión inyectiva. Puede que no sea una incrustación. Para solucionarlo, utilizaremos: ${\displaystyle f}$

${\displaystyle (f,g):M\to \mathbb {R} ^{(k+1)r+1}}$

donde es una función propia suave. La existencia de una función propia suave es consecuencia de una partición de la unidad. Véase [1] para el resto de la prueba en el caso de una inmersión. ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \square }$

El teorema de incrustación de Nash dice que, si está equipado con una métrica de Riemann, entonces la incrustación puede considerarse isométrica con un gasto de creciente ; para esto, consulte este blog de T. Tao. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle 2k}$

Barrio tubular y transversalidad

Un resultado técnicamente importante es:

Teorema de vecindad tubular  :  Sea M una variedad y una subvariedad cerrada compacta. Entonces existe una vecindad de tal que es difeomorfa al fibrado normal a y corresponde a la sección cero de bajo el difeomorfismo. ${\displaystyle N\subset M}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \nu _{N}=TM|_{N}/TN}$ ${\displaystyle i:N\hookrightarrow M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \nu _{i}}$

Esto se puede demostrar poniendo una métrica de Riemann en la variedad . De hecho, la elección de la métrica hace que el fibrado normal sea un fibrado complementario a ; es decir, es la suma directa de y . Entonces, usando la métrica, tenemos la función exponencial para alguna vecindad de en el fibrado normal a alguna vecindad de en . La función exponencial aquí puede no ser inyectiva pero es posible hacerla inyectiva (y por lo tanto difeomórfica) mediante encogimiento (por ahora, ver [2]). ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \nu _{i}}$ ${\displaystyle TN}$ ${\displaystyle TM|_{N}}$ ${\displaystyle TN}$ ${\displaystyle \nu _{N}}$ ${\displaystyle \exp :U\to V}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \nu _{N}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle U}$

Integración en colectores y densidades de distribución

El punto de partida para el tema de la integración en variedades es que no existe una manera invariable de integrar funciones en variedades. Esto puede resultar obvio si nos preguntamos: ¿qué es una integración de funciones en un espacio vectorial real de dimensión finita? (En cambio, existe una manera invariable de hacer diferenciación ya que, por definición, una variedad tiene una estructura diferenciable). Hay varias maneras de introducir la teoría de la integración en variedades:

• Integrar formas diferenciales.
• Realizar la integración frente a alguna medida.
• Equipar una variedad con una métrica de Riemann y realizar la integración contra dicha métrica.

Por ejemplo, si una variedad está incrustada en un espacio euclidiano , adquiere la medida de Lebesgue que la restringe del espacio euclidiano circundante y entonces funciona el segundo enfoque. El primer enfoque es adecuado en muchas situaciones, pero requiere que la variedad esté orientada (y existe una variedad no orientable que no es patológica). El tercer enfoque generaliza y da lugar a la noción de densidad. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Generalizaciones

Extensiones a espacios normados de dimensión infinita

Nociones como la de diferenciabilidad se extienden a los espacios normados .

Véase también

• Geometría diferencial de superficies
• Integración a lo largo de las fibras
• Teorema de Lusin
• Densidad en una variedad

Notas

1. Esto es solo la adjunción tensor-hom .

Citas

1. Spivak 1965, Cap. 2. Definiciones básicas.
2. Hörmander 2015, Definición 1.1.4.
3. Hörmander 2015, (1.1.3.)
4. Hörmander 2015, Teorema 1.1.6.
5. Hörmander 2015, (1.1.2)
6. Hörmander 2015, pág. 8
7. Hörmander 2015, Teorema 1.1.8.
8. Hörmander 2015, Lema 7.1.4.
9. Spivak 1965, Teorema 2-12.
10. Spivak 1965, pág. 46
11. Spivak 1965, pág. 47
12. Spivak 1965, pág. 48
13. Spivak 1965, pág. 50
14. Spivak 1965, Teorema 3-8.
15. Spivak 1965, pág. 55
16. Spivak 1965, Ejercicio 4.14.
17. Spivak 1965, pág. 89
18. Spivak 1965, Teorema 4-7.
19. Hörmander 2015, pág. 151
20. Teorema 1.2.1. en Hörmander, Lars (1990). Introducción al análisis complejo en varias variables (tercera edición). Holanda Septentrional..
21. Spivak 1965, Ejercicio 4-33.
22. Spivak 1965, pág. 93
23. O'Neill 2006, Definición 6.1.
24. O'Neill 2006, Ejemplo 6.2. (1)
25. O'Neill 2006, Teorema 6.10.
26. Spivak 1965, Ejercicio 5-16.
27. Edwards 1994, Cap. II, $ 5. Ejemplo 9.
28. Spivak 1965, Ejercicio 5-17.
29. Hörmander 2015, Teorema 1.2.5.
30. Hörmander 2015, ejemplo 3.1.2.
31. Hörmander 2015, pág. 63
32. Spivak 1965, Teorema 5-1.

Referencias

• do Carmo, Manfredo P. (1976), Geometría diferencial de curvas y superficies , Prentice-Hall, ISBN 978-0-13-212589-5
• Edwards, Charles Henry (1994) [1973], Cálculo avanzado de varias variables , Mineola, Nueva York: Dover Publications, ISBN 0-486-68336-2
• Folland, Gerald , Análisis real: técnicas modernas y sus aplicaciones (2.ª ed.)
• Cartan, Henri (1971), Calcul Differentiel (en francés), Hermann , ISBN 9780395120330
• Hirsch, Morris (1994), Topología diferencial (2.ª ed.), Springer-Verlag
• Hörmander, Lars (2015), El análisis de operadores diferenciales parciales lineales I: teoría de distribución y análisis de Fourier , Classics in Mathematics (2.ª ed.), Springer, ISBN 9783642614972
• Loomis, Lynn Harold ; Sternberg, Shlomo (1968), Cálculo avanzado , Addison-Wesley(revisado en 1990, Jones y Bartlett; reimpreso en 2014, World Scientific) [este texto en particular analiza la densidad]
• O'Neill, Barrett (2006), Geometría diferencial elemental (2.ª edición revisada), Ámsterdam: Elsevier/Academic Press, ISBN 0-12-088735-5
• Rudin, Walter (1976) [1953], Principios del análisis matemático (3.ª ed.), Nueva York: McGraw Hill, págs. 204-299, ISBN 978-0-07-054235-8
• Spivak, Michael (1965). Cálculo en variedades: un enfoque moderno de los teoremas clásicos del cálculo avanzado . San Francisco: Benjamin Cummings. ISBN 0-8053-9021-9.