Teorema de Stokes generalizado

Afirmación sobre la integración en variedades

En cálculo vectorial y geometría diferencial, el teorema de Stokes generalizado (a veces con apóstrofe como teorema de Stokes o teorema de Stokes ), también llamado teorema de Stokes-Cartan , ^[1] es un enunciado sobre la integración de formas diferenciales en variedades , que simplifica y generaliza varios teoremas del cálculo vectorial . En particular, el teorema fundamental del cálculo es el caso especial donde la variedad es un segmento de línea , el teorema de Green y el teorema de Stokes son los casos de una superficie en o y el teorema de la divergencia es el caso de un volumen en ^[2] Por lo tanto, el teorema a veces se conoce como el teorema fundamental del cálculo multivariante . ^[3] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3},}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}.}$

El teorema de Stokes dice que la integral de una forma diferencial sobre el límite de alguna variedad orientable es igual a la integral de su derivada exterior sobre todo , es decir, ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \partial \Omega }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle d\omega }$ ${\displaystyle \Omega }$ $${\displaystyle \int _{\partial \Omega }\omega =\int _{\Omega }\operatorname {d} \omega \,.}$$

El teorema de Stokes fue formulado en su forma moderna por Élie Cartan en 1945, ^[4] siguiendo trabajos anteriores sobre la generalización de los teoremas del cálculo vectorial de Vito Volterra , Édouard Goursat y Henri Poincaré . ^{[5] [6]}

Esta forma moderna del teorema de Stokes es una amplia generalización de un resultado clásico que Lord Kelvin comunicó a George Stokes en una carta fechada el 2 de julio de 1850. ^{[7] [8] [9]} Stokes planteó el teorema como una pregunta en el examen del Premio Smith de 1854 , lo que llevó al resultado que lleva su nombre. Fue publicado por primera vez por Hermann Hankel en 1861. ^{[9] [10]} Este caso clásico relaciona la integral de superficie del rotacional de un campo vectorial sobre una superficie (es decir, el flujo de ) en el tridimensional euclidiano con la integral de línea del campo vectorial sobre el límite de la superficie. ${\displaystyle {\textbf {F}}}$ ${\displaystyle {\text{curl}}\,{\textbf {F}}}$

Introducción

El segundo teorema fundamental del cálculo establece que la integral de una función en el intervalo se puede calcular encontrando una antiderivada de : ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)\,.}$$

El teorema de Stokes es una amplia generalización de este teorema en el siguiente sentido.

• Por la elección de , . En el lenguaje de las formas diferenciales , esto quiere decir que es la derivada exterior de la forma 0, es decir, la función, : en otras palabras, que . El teorema general de Stokes se aplica a formas diferenciales de grado superior en lugar de solo a formas 0 como . ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle {\frac {dF}{dx}}=f(x)}$ ${\displaystyle f(x)\,dx}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle dF=f\,dx}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle F}$
• Un intervalo cerrado es un ejemplo simple de una variedad unidimensional con un límite . Su límite es el conjunto formado por los dos puntos y . La integración sobre el intervalo se puede generalizar a formas de integración sobre una variedad de dimensiones superiores. Se necesitan dos condiciones técnicas: la variedad tiene que ser orientable y la forma tiene que estar soportada de forma compacta para dar una integral bien definida. ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle f}$
• Los dos puntos y forman el límite del intervalo cerrado. De manera más general, el teorema de Stokes se aplica a variedades orientadas con límite. El límite de es en sí mismo una variedad y hereda una orientación natural de la de . Por ejemplo, la orientación natural del intervalo da una orientación de los dos puntos límite. Intuitivamente, hereda la orientación opuesta como , ya que están en extremos opuestos del intervalo. Por lo tanto, "integrar" sobre dos puntos límite , es tomar la diferencia . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \partial M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle F(b)-F(a)}$

En términos aún más simples, se pueden considerar los puntos como límites de curvas, es decir, como límites 0-dimensionales de variedades 1-dimensionales. Por lo tanto, tal como se puede hallar el valor de una integral ( ) sobre una variedad 1-dimensional ( ) considerando la antiderivada ( ) en los límites 0-dimensionales ( ), se puede generalizar el teorema fundamental del cálculo, con algunas salvedades adicionales, para tratar el valor de las integrales ( ) sobre variedades -dimensionales ( ) considerando la antiderivada ( ) en los límites -dimensionales ( ) de la variedad. ${\displaystyle f\,dx=dF}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \{a,b\}}$ ${\displaystyle d\omega }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle (n-1)}$ ${\displaystyle \partial \Omega }$

Así pues, el teorema fundamental dice: $${\displaystyle \int _{[a,b]}f(x)\,dx=\int _{[a,b]}\,dF=\int _{\partial [a,b]}\,F=\int _{\{a\}^{-}\cup \{b\}^{+}}F=F(b)-F(a)\,.}$$

Formulación para variedades suaves con límite

Sea una variedad orientada y suave de dimensión con borde y sea una forma suave y diferencial que se apoya de forma compacta en . Primero, supongamos que se apoya de forma compacta en el dominio de una única carta de coordenadas orientada . En este caso, definimos la integral de sobre como es decir, a través del pullback de a . ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \{U,\varphi \}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \Omega }$ $${\displaystyle \int _{\Omega }\alpha =\int _{\varphi (U)}(\varphi ^{-1})^{*}\alpha \,,}$$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

En términos más generales, la integral de sobre se define de la siguiente manera: Sea una partición de la unidad asociada con una cubierta localmente finita de gráficos de coordenadas (orientados de manera consistente), entonces defina la integral donde cada término en la suma se evalúa retrotrayéndose a como se describió anteriormente. Esta cantidad está bien definida; es decir, no depende de la elección de los gráficos de coordenadas ni de la partición de la unidad. ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \{\psi _{i}\}}$ ${\displaystyle \{U_{i},\varphi _{i}\}}$ $${\displaystyle \int _{\Omega }\alpha \equiv \sum _{i}\int _{U_{i}}\psi _{i}\alpha \,,}$$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

El teorema de Stokes generalizado dice:

Teorema  ( Stokes–Cartan )  :  Sea una forma suave con soporte compacto en una variedad orientada , -dimensional con borde , donde se da la orientación inducida.Entonces ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle (n-1)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \partial \Omega }$ $${\displaystyle \int _{\Omega }d\omega =\int _{\partial \Omega }\omega .}$$

Aquí está la derivada exterior , que se define utilizando solo la estructura de la variedad. El lado derecho a veces se escribe para enfatizar el hecho de que la -variedad no tiene frontera. ^{[nota 1]} (Este hecho también es una implicación del teorema de Stokes, ya que para una variedad de -dimensional suave dada , la aplicación del teorema dos veces da para cualquier -forma , lo que implica que ). El lado derecho de la ecuación se usa a menudo para formular leyes integrales ; el lado izquierdo conduce entonces a formulaciones diferenciales equivalentes (ver más abajo). ${\displaystyle d}$ ${\textstyle \oint _{\partial \Omega }\omega }$ ${\displaystyle (n-1)}$ ${\displaystyle \partial \Omega }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\textstyle \int _{\partial (\partial \Omega )}\omega =\int _{\Omega }d(d\omega )=0}$ ${\displaystyle (n-2)}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \partial (\partial \Omega )=\emptyset }$

El teorema se utiliza a menudo en situaciones en las que hay una subvariedad orientada incrustada de alguna variedad mayor, a menudo , en la que se define la forma . ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$ ${\displaystyle \omega }$

Preliminares topológicos; integración sobre cadenas

Sea M una variedad suave . Un k -símplex singular (suave) en M se define como una función suave del símplex estándar en R ^k a M. El grupo C _k ( M , Z ) de cadenas k singulares en M se define como el grupo abeliano libre en el conjunto de k -símplices singulares en M. Estos grupos, junto con la función límite, ∂ , definen un complejo de cadena . El grupo de homología (resp. cohomología) correspondiente es isomorfo al grupo de homología singular usual H _k ( M , Z ) (resp. el grupo de cohomología singular H ^k ( M , Z ) ), definido usando símplices continuos en lugar de suaves en M.

Por otra parte, las formas diferenciales, con derivada exterior, d , como mapa de conexión, forman un complejo de cocadena, que define los grupos de cohomología de De Rham . ${\displaystyle H_{dR}^{k}(M,\mathbf {R} )}$

Las k -formas diferenciales pueden integrarse sobre un k -símplex de manera natural, retrocediendo hasta R ^k . Extender por linealidad permite integrar sobre cadenas. Esto da una función lineal desde el espacio de k -formas hasta el k -ésimo grupo de cocadenas singulares, C ^k ( M , Z ) , los funcionales lineales sobre C _k ( M , Z ) . En otras palabras, una k -forma ω define un funcional sobre las k -cadenas. El teorema de Stokes dice que esta es una función en cadena desde la cohomología de De Rham hasta la cohomología singular con coeficientes reales; la derivada exterior, d , se comporta como el dual de ∂ sobre las formas. Esto da un homomorfismo desde la cohomología de De Rham hasta la cohomología singular. En el nivel de las formas, esto significa: $${\displaystyle I(\omega )(c)=\oint _{c}\omega .}$$

1. Las formas cerradas, es decir, dω = 0 , tienen integral cero sobre los límites , es decir, sobre variedades que pueden escribirse como ∂Σ _c M _c , y
2. Las formas exactas, es decir, ω = dσ , tienen integral cero en ciclos , es decir, si los límites suman el conjunto vacío: ∂Σ _c M _c = ∅ .

El teorema de De Rham muestra que este homomorfismo es, de hecho, un isomorfismo . Por lo tanto, la inversa de los puntos 1 y 2 anteriores es válida. En otras palabras, si { c _i } son ciclos que generan el k -ésimo grupo de homología, entonces, para cualquier número real correspondiente, { a _i } , existe una forma cerrada, ω , tal que y esta forma es única hasta que se encuentren formas exactas. $${\displaystyle \oint _{c_{i}}\omega =a_{i}\,,}$$

El teorema de Stokes sobre variedades suaves se puede derivar del teorema de Stokes para cadenas en variedades suaves, y viceversa. ^[11] Formalmente establecido, este último se lee: ^[12]

Teorema  ( teorema de Stokes para cadenas )  :  si c es una k -cadena suave en una variedad suave M , y ω es una ( k − 1) -forma suave en M , entonces $${\displaystyle \int _{\partial c}\omega =\int _{c}d\omega .}$$

Principio subyacente

Para simplificar estos argumentos topológicos, vale la pena examinar el principio subyacente considerando un ejemplo para d = 2 dimensiones. La idea esencial se puede entender mediante el diagrama de la izquierda, que muestra que, en un teselado orientado de una variedad, los caminos interiores se recorren en direcciones opuestas; sus contribuciones a la integral de trayectorias se cancelan entre sí por pares. Como consecuencia, solo queda la contribución del borde. Por lo tanto, basta con demostrar el teorema de Stokes para teselados suficientemente finos (o, equivalentemente, símplices ), lo que generalmente no es difícil.

Ejemplo de análisis vectorial clásico

Sea una curva plana de Jordan suave por partes . El teorema de la curva de Jordan implica que se divide en dos componentes, uno compacto y otro que no es compacto. Sea la parte compacta que está limitada por y supongamos que es suave, con . Si es la curva espacial definida por ^{[nota 2]} y es un campo vectorial suave en , entonces: ^{[13] [14] [15]} ${\displaystyle \gamma :[a,b]\to \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \psi :D\to \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle S=\psi (D)}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma (t)=\psi (\gamma (t))}$ ${\displaystyle {\textbf {F}}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ $${\displaystyle \oint _{\Gamma }\mathbf {F} \,\cdot \,d{\mathbf {\Gamma } }=\iint _{S}\left(\nabla \times \mathbf {F} \right)\cdot \,d\mathbf {S} }$$

Este enunciado clásico es un caso especial de la formulación general después de hacer una identificación de un campo vectorial con una forma 1 y su rotacional con una forma dos a través de $${\displaystyle {\begin{pmatrix}F_{x}\\F_{y}\\F_{z}\\\end{pmatrix}}\cdot d\Gamma \to F_{x}\,dx+F_{y}\,dy+F_{z}\,dz}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}&\nabla \times {\begin{pmatrix}F_{x}\\F_{y}\\F_{z}\end{pmatrix}}\cdot d\mathbf {S} ={\begin{pmatrix}\partial _{y}F_{z}-\partial _{z}F_{y}\\\partial _{z}F_{x}-\partial _{x}F_{z}\\\partial _{x}F_{y}-\partial _{y}F_{x}\\\end{pmatrix}}\cdot d\mathbf {S} \to \\[1.4ex]&d(F_{x}\,dx+F_{y}\,dy+F_{z}\,dz)=\left(\partial _{y}F_{z}-\partial _{z}F_{y}\right)dy\wedge dz+\left(\partial _{z}F_{x}-\partial _{x}F_{z}\right)dz\wedge dx+\left(\partial _{x}F_{y}-\partial _{y}F_{x}\right)dx\wedge dy.\end{aligned}}}$$

Generalización a conjuntos aproximados

Una región (aquí denominada D en lugar de Ω ) con un límite suave por partes. Se trata de una variedad con vértices , por lo que su límite no es una variedad suave.

La formulación anterior, en la que es una variedad suave con borde, no es suficiente en muchas aplicaciones. Por ejemplo, si el dominio de integración se define como la región plana entre dos coordenadas y los gráficos de dos funciones, a menudo ocurrirá que el dominio tenga vértices. En tal caso, los vértices significan que no es una variedad suave con borde, y por lo tanto el enunciado del teorema de Stokes dado anteriormente no se aplica. Sin embargo, es posible verificar que la conclusión del teorema de Stokes sigue siendo verdadera. Esto se debe a que y su borde se comportan bien lejos de un pequeño conjunto de puntos (un conjunto de medida cero ). ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Omega }$

Una versión del teorema de Stokes que permite la rugosidad fue demostrada por Whitney. ^[16] Supóngase que es un subconjunto abierto acotado y conexo de . Llamemos a un dominio estándar si satisface la siguiente propiedad: existe un subconjunto de , abierto en , cuyo complemento en tiene medida de Hausdorff cero; y tal que cada punto de tiene un vector normal generalizado . Este es un vector tal que, si se elige un sistema de coordenadas de modo que sea el primer vector base, entonces, en un entorno abierto alrededor de , existe una función suave tal que es el grafo y es la región . Whitney señala que el límite de un dominio estándar es la unión de un conjunto de medida de Hausdorff cero y una unión finita o contable de variedades suaves, cada una de las cuales tiene el dominio en un solo lado. Luego demuestra que si es un dominio estándar en , es una forma definida, continua y acotada en , suave en , integrable en , y tal que es integrable en , entonces se cumple el teorema de Stokes, es decir, ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \partial D}$ ${\displaystyle \partial D}$ ${\displaystyle \partial D}$ ${\displaystyle (n-1)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle {\textbf {v}}(x)}$ ${\displaystyle {\textbf {v}}(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(x_{2},\dots ,x_{n})}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \{x_{1}=f(x_{2},\dots ,x_{n})\}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \{x_{1}:x_{1}<f(x_{2},\dots ,x_{n})\}}$ ${\displaystyle (n-1)}$ ${\displaystyle (n-1)}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle (n-1)}$ ${\displaystyle D\cup P}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle d\omega }$ ${\displaystyle D}$ $${\displaystyle \int _{P}\omega =\int _{D}d\omega \,.}$$

El estudio de las propiedades de los conjuntos aproximados en el campo de la medida conduce a la teoría de la medida geométrica . Federer y Harrison han demostrado versiones aún más generales del teorema de Stokes. ^[17]

Casos especiales

La forma general del teorema de Stokes que utiliza formas diferenciales es más potente y fácil de usar que los casos especiales. Las versiones tradicionales se pueden formular utilizando coordenadas cartesianas sin la maquinaria de la geometría diferencial y, por lo tanto, son más accesibles. Además, son más antiguas y, como resultado, sus nombres son más familiares. Las formas tradicionales suelen considerarse más convenientes para los científicos e ingenieros en ejercicio, pero la falta de naturalidad de la formulación tradicional se hace evidente cuando se utilizan otros sistemas de coordenadas, incluso los familiares como las coordenadas esféricas o cilíndricas. Existe la posibilidad de confusión en la forma en que se aplican los nombres y el uso de formulaciones duales.

Caso clásico (cálculo vectorial)

Una ilustración del teorema de Stokes del cálculo vectorial, con la superficie , su límite y el vector "normal" n . ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \partial \Sigma }$

Este es un caso (dualizado) (1 + 1)-dimensional, para una forma 1 (dualizada porque es una afirmación sobre campos vectoriales ). Este caso especial se suele denominar simplemente teorema de Stokes en muchos cursos universitarios introductorios de cálculo vectorial y se utiliza en física e ingeniería. También se lo conoce a veces como teorema del rizo .

El teorema clásico de Stokes relaciona la integral de superficie del rotacional de un campo vectorial sobre una superficie en el espacio tridimensional euclidiano con la integral de línea del campo vectorial sobre su borde. Es un caso especial del teorema general de Stokes (con ) una vez que identificamos un campo vectorial con una forma 1 utilizando la métrica en el espacio tridimensional euclidiano. La curva de la integral de línea, , debe tener orientación positiva , lo que significa que apunta en sentido antihorario cuando la normal de la superficie , , apunta hacia el observador. ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle n=2}$ ${\displaystyle \partial \Sigma }$ ${\displaystyle \partial \Sigma }$ ${\displaystyle n}$

Una consecuencia de este teorema es que las líneas de campo de un campo vectorial con rotacional cero no pueden ser contornos cerrados. La fórmula puede reescribirse como:

Teorema  —  Supongamos que está definida en una región con superficie lisa y tiene derivadas parciales de primer orden continuas . Entonces donde y son los componentes de , y es el límite de la región . ${\displaystyle {\textbf {F}}={\big (}P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z){\big )}}$ ${\displaystyle \Sigma }$ $${\displaystyle \iint _{\Sigma }{\Biggl (}\left({\frac {\partial R}{\partial y}}-{\frac {\partial Q}{\partial z}}\right)dy\,dz+\left({\frac {\partial P}{\partial z}}-{\frac {\partial R}{\partial x}}\right)dz\,dx+\left({\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}\right)dx\,dy{\Biggr )}=\oint _{\partial \Sigma }{\Big (}P\,dx+Q\,dy+R\,dz{\Big )}\,,}$$ ${\displaystyle P,Q}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\textbf {F}}}$ ${\displaystyle \partial \Sigma }$ ${\displaystyle \Sigma }$

Teorema de Green

El teorema de Green es inmediatamente reconocible como el tercer integrando de ambos lados de la integral en términos de P , Q y R citados anteriormente.

En electromagnetismo

Dos de las cuatro ecuaciones de Maxwell involucran rotaciones de campos vectoriales 3-D, y sus formas diferencial e integral están relacionadas por el caso especial tridimensional (cálculo vectorial) del teorema de Stokes . Se debe tener cuidado para evitar casos con límites móviles: las derivadas parciales temporales tienen como objetivo excluir tales casos. Si se incluyen límites móviles, el intercambio de integración y diferenciación introduce términos relacionados con el movimiento de límites que no se incluyen en los resultados a continuación (ver Diferenciación bajo el signo integral ):

El subconjunto de ecuaciones de Maxwell enumerado anteriormente es válido para campos electromagnéticos expresados ​​en unidades del SI . En otros sistemas de unidades, como el CGS o las unidades gaussianas , los factores de escala para los términos difieren. Por ejemplo, en unidades gaussianas, la ley de inducción de Faraday y la ley de Ampère toman las formas: ^{[18] [19]} respectivamente, donde c es la velocidad de la luz en el vacío. $${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \times \mathbf {E} &=-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\,,\\\nabla \times \mathbf {H} &={\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}+{\frac {4\pi }{c}}\mathbf {J} \,,\end{aligned}}}$$

Teorema de divergencia

De la misma manera, el teorema de divergencia es un caso especial si identificamos un campo vectorial con la forma obtenida al contraer el campo vectorial con la forma de volumen euclidiano. Una aplicación de esto es el caso donde es un vector constante arbitrario. Calculando la divergencia del producto obtenemos Como esto es válido para todos, encontramos $${\displaystyle \int _{\mathrm {Vol} }\nabla \cdot \mathbf {F} \,d_{\mathrm {Vol} }=\oint _{\partial \operatorname {Vol} }\mathbf {F} \cdot d{\boldsymbol {\Sigma }}}$$ ${\displaystyle (n-1)}$ ${\displaystyle {\textbf {F}}=f{\vec {c}}}$ ${\displaystyle {\vec {c}}}$ $${\displaystyle {\vec {c}}\cdot \int _{\mathrm {Vol} }\nabla f\,d_{\mathrm {Vol} }={\vec {c}}\cdot \oint _{\partial \mathrm {Vol} }f\,d{\boldsymbol {\Sigma }}\,.}$$ ${\displaystyle {\vec {c}}}$ $${\displaystyle \int _{\mathrm {Vol} }\nabla f\,d_{\mathrm {Vol} }=\oint _{\partial \mathrm {Vol} }f\,d{\boldsymbol {\Sigma }}\,.}$$

Integral de volumen del gradiente de un campo escalar

Sea un campo escalar . Entonces, donde es el vector normal a la superficie en un punto dado. ${\displaystyle f:\Omega \to \mathbb {R} }$ $${\displaystyle \int _{\Omega }{\vec {\nabla }}f=\int _{\partial \Omega }{\vec {n}}f}$$ ${\displaystyle {\vec {n}}}$ ${\displaystyle \partial \Omega }$

Demostración: Sea un vector. Entonces, como esto es válido para cualquier vector base (en particular, para cada vector base ), se obtiene el resultado. ${\displaystyle {\vec {c}}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}0&=\int _{\Omega }{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {c}}f-\int _{\partial \Omega }{\vec {n}}\cdot {\vec {c}}f&{\text{by the divergence theorem}}\\&=\int _{\Omega }{\vec {c}}\cdot {\vec {\nabla }}f-\int _{\partial \Omega }{\vec {c}}\cdot {\vec {n}}f\\&={\vec {c}}\cdot \int _{\Omega }{\vec {\nabla }}f-{\vec {c}}\cdot \int _{\partial \Omega }{\vec {n}}f\\&={\vec {c}}\cdot \left(\int _{\Omega }{\vec {\nabla }}f-\int _{\partial \Omega }{\vec {n}}f\right)\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle {\vec {c}}}$

Véase también

• Portal de matemáticas

• Lema de Chandrasekhar-Wentzel

Notas al pie

1. Para los matemáticos este hecho es conocido, por lo tanto el círculo es redundante y a menudo se omite. Sin embargo, uno debe tener en cuenta aquí que en termodinámica , donde con frecuencia aparecen expresiones como (donde la derivada total, véase más adelante, no debe confundirse con la exterior), la trayectoria de integración es una línea cerrada unidimensional en una variedad de dimensiones mucho mayores. Es decir, en una aplicación termodinámica, donde es una función de la temperatura , el volumen y la polarización eléctrica de la muestra, uno tiene y el círculo es realmente necesario, por ejemplo, si uno considera las consecuencias diferenciales del postulado integral ${\displaystyle \oint _{W}\{{\text{d}}_{\text{total}}U\}}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \alpha _{1}=T}$ ${\displaystyle \alpha _{2}=V}$ ${\displaystyle \alpha _{3}=P}$ $${\displaystyle \{d_{\text{total}}U\}=\sum _{i=1}^{3}{\frac {\partial U}{\partial \alpha _{i}}}\,d\alpha _{i}\,,}$$ $${\displaystyle \oint _{W}\,\{d_{\text{total}}U\}\,{\stackrel {!}{=}}\,0\,.}$$
2. y son ambos bucles, sin embargo, no es necesariamente una curva de Jordan ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma }$

Referencias

1. Michel Moisan; Jacques Pelletier. Física de plasmas colisionales: introducción a. Springer.
2. "El hombre que resolvió el mercado", Gregory Zuckerman, Portfolio noviembre de 2019, ASIN: B07P1NNTSD
3. Spivak, Michael (1965). Cálculo en variedades: un enfoque moderno de los teoremas clásicos del cálculo avanzado . Nueva York: Avalon Publishing. ISBN 0-8053-9021-9.OCLC 187146  .
4. Cartan, Élie (1945). Les Systèmes Différentiels Extérieurs et leurs Applications Géométriques . París: Hermann.
5. Katz, Victor J. (1 de enero de 1979). "La historia del teorema de Stokes". Revista de matemáticas . 52 (3): 146–156. doi :10.2307/2690275. JSTOR  2690275.
6. Katz, Victor J. (1999). "5. Formas diferenciales". En James, IM (ed.). Historia de la topología . Ámsterdam: Elsevier. págs. 111–122. ISBN 9780444823755.
7. Ver:
   • Katz, Victor J. (mayo de 1979). "La historia del teorema de Stokes". Revista de Matemáticas . 52 (3): 146–156. doi :10.1080/0025570x.1979.11976770.
   • La carta de Thomson a Stokes aparece en: Thomson, William ; Stokes, George Gabriel (1990). Wilson, David B. (ed.). The Correspondence between Sir George Gabriel Stokes and Sir William Thomson, Baron Kelvin of Largs, Volume 1: 1846–1869. Cambridge, Inglaterra: Cambridge University Press. pp. 96–97. ISBN. 9780521328319.
   • Ni Thomson ni Stokes publicaron una demostración del teorema. La primera prueba publicada apareció en 1861 en: Hankel, Hermann (1861). Zur allgemeinen Theorie der Bewegung der Flüssigkeiten [ Sobre la teoría general del movimiento de fluidos ]. Gotinga, Alemania: Dieterische University Buchdruckerei. págs. 34-37.Hankel no menciona al autor del teorema.
   • En una nota a pie de página, Larmor menciona a investigadores anteriores que habían integrado, sobre una superficie, el rotacional de un campo vectorial. Véase: Stokes, George Gabriel (1905). Larmor, Joseph; Strutt, John William (eds.). Mathematical and Physical Papers by the late Sir George Gabriel Stokes. Vol. 5. Cambridge, Inglaterra: University of Cambridge Press. pp. 320–321.
8. Darrigol, Olivier (2000). Electrodinámica desde Ampère hasta Einstein . Oxford, Inglaterra: OUP Oxford. p. 146. ISBN 0198505930.
9. Spivak (1965), pág. vii, Prefacio.
10. Ver:
    • El examen del premio Smith de 1854 está disponible en línea en: Clerk Maxwell Foundation. Maxwell tomó este examen y empató en el primer lugar con Edward John Routh . Véase: Clerk Maxwell, James (1990). Harman, P. M. (ed.). The Scientific Letters and Papers of James Clerk Maxwell, Volume I: 1846–1862. Cambridge, Inglaterra: Cambridge University Press. p. 237, nota al pie 2. ISBN 9780521256254.Véase también el premio Smith o la Fundación Clerk Maxwell.
    • Clerk Maxwell, James (1873). Tratado sobre electricidad y magnetismo. Vol. 1. Oxford, Inglaterra: Clarendon Press. Págs. 25–27.En una nota a pie de página en la página 27, Maxwell menciona que Stokes utilizó el teorema como pregunta 8 en el examen del Premio Smith de 1854. Esta nota a pie de página parece haber sido la causa de que el teorema fuera conocido como "teorema de Stokes".
11. Renteln, Paul (2014). Variedades, tensores y formas . Cambridge, Reino Unido: Cambridge University Press. pp. 158–175. ISBN. 9781107324893.
12. Lee, John M. (2013). Introducción a las variedades lisas . Nueva York: Springer. pág. 481. ISBN 9781441999818.
13. Stewart, James (2010). Cálculo esencial: trascendentales tempranos. Cole.
14. Esta prueba se basa en las notas de clase impartidas por el profesor Robert Scheichl ( Universidad de Bath , Reino Unido) [1], consulte [2]
15. "Esta prueba también es la misma que la prueba que se muestra en".
16. Whitney, Teoría de la integración geométrica, III.14.
17. Harrison, J. (octubre de 1993). "Teorema de Stokes para cadenas no suaves". Boletín de la American Mathematical Society . Nueva serie. 29 (2): 235–243. arXiv : math/9310231 . Bibcode :1993math.....10231H. doi :10.1090/S0273-0979-1993-00429-4. S2CID  17436511.
18. Jackson, J. D. (1975). Electrodinámica clásica (2.ª ed.). Nueva York, NY: Wiley. ISBN 9780471431329.
19. Born, M.; Wolf, E. (1980). Principios de óptica (6.ª ed.). Cambridge, Inglaterra: Cambridge University Press.

Lectura adicional

• Grunsky, Helmut (1983). El teorema general de Stokes . Boston: Pitman. ISBN 0-273-08510-7.
• Katz, Victor J. (mayo de 1979). "La historia del teorema de Stokes". Revista de matemáticas . 52 (3): 146–156. doi :10.2307/2690275. JSTOR  2690275.
• Loomis, Lynn Harold ; Sternberg, Shlomo (2014). Cálculo avanzado. Hackensack, Nueva Jersey: World Scientific. ISBN 978-981-4583-93-0.
• Madsen, Ib ; Tornehave, Jørgen (1997). Del cálculo a la cohomología: cohomología de De Rham y clases características. Cambridge, Reino Unido: Cambridge University Press. ISBN 0-521-58956-8.
• Marsden, Jerrold E. ; Anthony, Tromba (2003). Cálculo vectorial (5.ª ed.). W. H. Freeman.
• Lee, John (2003). Introducción a las variedades lisas. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-95448-6.
• Rudin, Walter (1976). Principios del análisis matemático. Nueva York, NY: McGraw–Hill. ISBN 0-07-054235-X.
• Spivak, Michael (1965). Cálculo en variedades: un enfoque moderno de los teoremas clásicos del cálculo avanzado . San Francisco: Benjamin Cummings. ISBN 0-8053-9021-9.
• Stewart, James (2009). Cálculo: conceptos y contextos. Cengage Learning. pp. 960–967. ISBN 978-0-495-55742-5.
• Stewart, James (2003). Cálculo: funciones trascendentales tempranas (5.ª ed.). Brooks/Cole.
• Tu, Loring W. (2011). Introducción a las variedades (2.ª ed.). Nueva York: Springer. ISBN 978-1-4419-7399-3.

Enlaces externos

• "Fórmula de Stokes", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Demostración del teorema de divergencia y del teorema de Stokes
• Cálculo 3 – Teorema de Stokes de lamar.edu – una explicación expositiva