Cadena (topología algebraica)

Una combinación lineal formal

En topología algebraica , una k - cadena es una combinación lineal formal de las k -celdas en un complejo de celdas . En complejos simpliciales (respectivamente, complejos cúbicos ), las k -cadenas son combinaciones de k -simples (respectivamente, k -cubos), ^{[1] [2] [3]} pero no necesariamente conectadas. Las cadenas se utilizan en homología ; los elementos de un grupo de homología son clases de equivalencia de cadenas.

Definición

Para un complejo simplicial , el grupo de cadenas de está dado por: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C_{n}(X)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle C_{n}(X)=\left\{\sum \limits _{i}m_{i}\sigma _{i}|m_{i}\in \mathbb {Z} \right\}}$

donde son -simples singulares de . que cualquier elemento no necesariamente tiene que ser un complejo simplicial conexo. ${\displaystyle \sigma _{i}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C_{n}(X)}$

Integración en cadenas

La integración se define en cadenas tomando la combinación lineal de integrales sobre los símplices de la cadena con coeficientes (que normalmente son números enteros). El conjunto de todas las k -cadenas forma un grupo y la secuencia de estos grupos se denomina complejo de cadena .

Operador de límite en cadenas

El límite de una curva poligonal es una combinación lineal de sus nodos; en este caso, una combinación lineal de A ₁ a A ₆ . Suponiendo que todos los segmentos están orientados de izquierda a derecha (en orden creciente de A _k a A _{k +1} ), el límite es A ₆ − A ₁ .

Una curva poligonal cerrada, asumiendo una orientación consistente, tiene un límite nulo.

El límite de una cadena es la combinación lineal de los límites de los símplices de la cadena. El límite de una k -cadena es una ( k −1)-cadena. Nótese que el límite de un símplice no es un símplice, sino una cadena con coeficientes 1 o −1 – por lo tanto, las cadenas son la clausura de los símplices bajo el operador de límite.

Ejemplo 1: El límite de un camino es la diferencia formal de sus puntos finales: es una suma telescópica . Para ilustrarlo, si la 1-cadena es un camino desde el punto hasta el punto , donde , y son sus 1-símplices constituyentes, entonces ${\displaystyle c=t_{1}+t_{2}+t_{3}\,}$ ${\displaystyle v_{1}\,}$ ${\displaystyle v_{4}\,}$ ${\displaystyle t_{1}=[v_{1},v_{2}]\,}$ ${\displaystyle t_{2}=[v_{2},v_{3}]\,}$ ${\displaystyle t_{3}=[v_{3},v_{4}]\,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\partial _{1}c&=\partial _{1}(t_{1}+t_{2}+t_{3})\\&=\partial _{1}(t_{1})+\partial _{1}(t_{2})+\partial _{1}(t_{3})\\&=\partial _{1}([v_{1},v_{2}])+\partial _{1}([v_{2},v_{3}])+\partial _{1}([v_{3},v_{4}])\\&=([v_{2}]-[v_{1}])+([v_{3}]-[v_{2}])+([v_{4}]-[v_{3}])\\&=[v_{4}]-[v_{1}].\end{aligned}}}$

Ejemplo 2: El límite del triángulo es una suma formal de sus aristas con signos dispuestos para hacer el recorrido del límite en sentido antihorario.

Una cadena se denomina ciclo cuando su límite es cero. Una cadena que es el límite de otra cadena se denomina límite . Los límites son ciclos, por lo que las cadenas forman un complejo de cadena , cuyos grupos de homología (ciclos módulo límites) se denominan grupos de homología simpliciales .

Ejemplo 3: El plano perforado en el origen tiene un grupo de 1-homología no trivial ya que el círculo unitario es un ciclo, pero no un límite.

En geometría diferencial , la dualidad entre el operador de borde de las cadenas y la derivada exterior se expresa mediante el teorema general de Stokes .

Referencias

1. Hatcher, Allen (2002). Topología algebraica. Cambridge University Press . ISBN 0-521-79540-0.
2. Lee, John M. (2011). Introducción a las variedades topológicas (2.ª ed.). Nueva York: Springer. ISBN 978-1441979391.OCLC 697506452  .
3. Kaczynski, Tomasz; Mischaikow, Konstantin; Mrozek, Marian (2004). Homología computacional . Applied Mathematical Sciences. Vol. 157. Nueva York: Springer-Verlag. doi :10.1007/b97315. ISBN . 0-387-40853-3.Señor 2028588  .