Ecuación no lineal de Schrödinger

Forma no lineal de la ecuación de Schrödinger

Valor absoluto de la envolvente compleja de soluciones analíticas exactas de respiración de la ecuación no lineal de Schrödinger (NLS) en forma adimensional . (A) La respiración de Akhmediev; (B) la respiración de Peregrine ; (C) la respiración de Kuznetsov–Ma. ^[1]

En física teórica , la ecuación de Schrödinger no lineal (unidimensional) ( NLSE ) es una variación no lineal de la ecuación de Schrödinger . Es una ecuación de campo clásica cuyas principales aplicaciones son la propagación de la luz en fibras ópticas no lineales y guías de onda planas ^[2] y en condensados ​​de Bose-Einstein confinados en trampas con forma de cigarro altamente anisotrópicas , en el régimen de campo medio . ^{[3] Además, la ecuación aparece en los estudios de} ondas de gravedad de pequeña amplitud en la superficie de agua profunda no viscosa (viscosidad cero); ^[2] las ondas de Langmuir en plasmas calientes ; ^[2] la propagación de haces de ondas difractadas en el plano en las regiones de enfoque de la ionosfera; ^[4] la propagación de solitones de hélice alfa de Davydov , que son responsables del transporte de energía a lo largo de las cadenas moleculares; ^[5] y muchos otros. De manera más general, la NLSE aparece como una de las ecuaciones universales que describen la evolución de paquetes de ondas cuasi-monocromáticas que varían lentamente en medios débilmente no lineales que tienen dispersión . ^[2] A diferencia de la ecuación lineal de Schrödinger , la NLSE nunca describe la evolución temporal de un estado cuántico. ^{[ cita requerida ]} La NLSE 1D es un ejemplo de un modelo integrable .

En mecánica cuántica , el NLSE 1D es un caso especial del campo de Schrödinger no lineal clásico , que a su vez es un límite clásico de un campo de Schrödinger cuántico. Por el contrario, cuando el campo de Schrödinger clásico se cuantifica canónicamente , se convierte en una teoría cuántica de campos (que es lineal, a pesar del hecho de que se llama "ecuación cuántica no lineal de Schrödinger") que describe partículas puntuales bosónicas con interacciones de función delta: las partículas se repelen o se atraen cuando están en el mismo punto. De hecho, cuando el número de partículas es finito, esta teoría cuántica de campos es equivalente al modelo de Lieb-Liniger . Tanto la ecuación cuántica como la clásica de Schrödinger no lineal 1D son integrables. De especial interés es el límite de repulsión de fuerza infinita, en cuyo caso el modelo de Lieb-Liniger se convierte en el gas de Tonks-Girardeau (también llamado gas de Bose de núcleo duro o gas de Bose impenetrable). En este límite, los bosones pueden, mediante un cambio de variables que es una generalización continua de la transformación de Jordan-Wigner , transformarse en un sistema de fermiones unidimensionales sin espín ^{[nb 1]} que no interactúan . ^[6]

La ecuación no lineal de Schrödinger es una forma simplificada de 1+1 dimensiones de la ecuación de Ginzburg-Landau introducida en 1950 en su trabajo sobre superconductividad, y fue escrita explícitamente por RY Chiao, E. Garmire y CH Townes (1964, ecuación (5)) en su estudio de haces ópticos.

La versión multidimensional reemplaza la segunda derivada espacial por la laplaciana. En más de una dimensión, la ecuación no es integrable, lo que permite un colapso y turbulencia de onda. ^[7]

Ecuación

La ecuación de Schrödinger no lineal es una ecuación diferencial parcial no lineal , aplicable a la mecánica clásica y cuántica .

Ecuación clásica

La ecuación de campo clásica (en forma adimensional ) es: ^[8]

Ecuación no lineal de Schrödinger (teoría clásica de campos)

${\displaystyle i\partial _{t}\psi =-{1 \over 2}\partial _{x}^{2}\psi +\kappa |\psi |^{2}\psi }$

para el campo complejo ψ ( x , t ).

Esta ecuación surge del hamiltoniano ^[8]

${\displaystyle H=\int \mathrm {d} x\left[{1 \over 2}|\partial _{x}\psi |^{2}+{\kappa \over 2}|\psi |^{4}\right]}$

con los corchetes de Poisson

${\displaystyle \{\psi (x),\psi (y)\}=\{\psi ^{*}(x),\psi ^{*}(y)\}=0\,}$

${\displaystyle \{\psi ^{*}(x),\psi (y)\}=i\delta (x-y).\,}$

A diferencia de su contraparte lineal, nunca describe la evolución temporal de un estado cuántico. ^{[ cita requerida ]}

El caso con κ negativo se denomina enfoque y permite soluciones de solitones brillantes (localizados en el espacio y que tienen atenuación espacial hacia el infinito) así como soluciones de respiración . Se puede resolver exactamente mediante el uso de la transformada de dispersión inversa , como lo demostraron Zakharov y Shabat (1972) (ver más abajo). El otro caso, con κ positivo, es el NLS desenfoque que tiene soluciones de solitones oscuros (que tienen amplitud constante en el infinito y una caída espacial local en la amplitud). ^[9]

Mecánica cuántica

Para obtener la versión cuantificada , simplemente reemplace los corchetes de Poisson por conmutadores.

${\displaystyle {\begin{aligned}{}[\psi (x),\psi (y)]&=[\psi ^{*}(x),\psi ^{*}(y)]=0\\{}[\psi ^{*}(x),\psi (y)]&=-\delta (x-y)\end{aligned}}}$

y el orden normal el hamiltoniano

${\displaystyle H=\int dx\left[{1 \over 2}\partial _{x}\psi ^{\dagger }\partial _{x}\psi +{\kappa \over 2}\psi ^{\dagger }\psi ^{\dagger }\psi \psi \right].}$

La versión cuántica fue resuelta por el ansatz de Bethe de Lieb y Liniger . La termodinámica fue descrita por Chen-Ning Yang . Las funciones de correlación cuántica también fueron evaluadas por Korepin en 1993. ^[6] El modelo tiene leyes de conservación superiores: Davies y Korepin en 1989 las expresaron en términos de campos locales. ^[10]

Resolviendo la ecuación

La ecuación no lineal de Schrödinger es integrable en 1d: Zakharov y Shabat (1972) la resolvieron con la transformada de dispersión inversa . El sistema de ecuaciones lineal correspondiente se conoce como sistema de Zakharov–Shabat:

${\displaystyle {\begin{aligned}\phi _{x}&=J\phi \Lambda +U\phi \\\phi _{t}&=2J\phi \Lambda ^{2}+2U\phi \Lambda +\left(JU^{2}-JU_{x}\right)\phi ,\end{aligned}}}$

dónde

${\displaystyle \Lambda ={\begin{pmatrix}\lambda _{1}&0\\0&\lambda _{2}\end{pmatrix}},\quad J=i\sigma _{z}={\begin{pmatrix}i&0\\0&-i\end{pmatrix}},\quad U=i{\begin{pmatrix}0&q\\r&0\end{pmatrix}}.}$

La ecuación no lineal de Schrödinger surge como condición de compatibilidad del sistema Zakharov-Shabat:

${\displaystyle \phi _{xt}=\phi _{tx}\quad \Rightarrow \quad U_{t}=-JU_{xx}+2JU^{2}U\quad \Leftrightarrow \quad {\begin{cases}iq_{t}=q_{xx}+2qrq\\ir_{t}=-r_{xx}-2qrr.\end{cases}}}$

Fijando q = r * o q = − r * se obtiene la ecuación de Schrödinger no lineal con interacción atractiva o repulsiva.

Un enfoque alternativo utiliza directamente el sistema Zakharov-Shabat y emplea la siguiente transformación de Darboux:

${\displaystyle {\begin{aligned}\phi \to \phi [1]&=\phi \Lambda -\sigma \phi \\U\to U[1]&=U+[J,\sigma ]\\\sigma &=\varphi \Omega \varphi ^{-1}\end{aligned}}}$

lo que deja el sistema invariante.

Aquí, φ es otra solución matricial invertible (diferente de ϕ ) del sistema Zakharov-Shabat con parámetro espectral Ω:

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi _{x}&=J\varphi \Omega +U\varphi \\\varphi _{t}&=2J\varphi \Omega ^{2}+2U\varphi \Omega +\left(JU^{2}-JU_{x}\right)\varphi .\end{aligned}}}$

Partiendo de la solución trivial U = 0 e iterando, se obtienen las soluciones con n solitones .

La ecuación NLS es una ecuación diferencial parcial como la ecuación de Gross-Pitaevskii . Por lo general, no tiene solución analítica y se utilizan los mismos métodos numéricos utilizados para resolver la ecuación de Gross-Pitaevskii, como el método de Crank-Nicolson de pasos divididos ^[11] y el método espectral de Fourier ^[12] . Existen diferentes programas Fortran y C para su solución. ^{[13] [14]}

Invariancia galileana

La ecuación no lineal de Schrödinger es invariante galileana en el siguiente sentido:

Dada una solución ψ ( x, t ), se puede obtener una nueva solución reemplazando x con x + vt en todas partes en ψ( x, t ) y añadiendo un factor de fase de : ${\displaystyle e^{-iv(x+vt/2)}\,}$

${\displaystyle \psi (x,t)\mapsto \psi _{[v]}(x,t)=\psi (x+vt,t)\;e^{-iv(x+vt/2)}.}$

La ecuación no lineal de Schrödinger en la fibra óptica

En óptica , la ecuación no lineal de Schrödinger se da en el sistema Manakov , un modelo de propagación de ondas en fibra óptica. La función ψ representa una onda y la ecuación no lineal de Schrödinger describe la propagación de la onda a través de un medio no lineal. La derivada de segundo orden representa la dispersión, mientras que el término κ representa la no linealidad. La ecuación modela muchos efectos de no linealidad en una fibra, incluidos, entre otros, la modulación de fase propia , la mezcla de cuatro ondas , la generación de segundos armónicos , la dispersión Raman estimulada , los solitones ópticos , los pulsos ultracortos , etc.

La ecuación no lineal de Schrödinger en las ondas del agua

Solitón de envolvente secante hiperbólico (sech) para ondas superficiales en aguas profundas. Línea azul
: ondas en el agua.
Línea roja: solitón de envolvente.

Para las ondas de agua , la ecuación no lineal de Schrödinger describe la evolución de la envolvente de los grupos de ondas moduladas . En un artículo de 1968, Vladimir E. Zakharov describe la estructura hamiltoniana de las ondas de agua. En el mismo artículo, Zakharov muestra que, para grupos de ondas moduladas lentamente, la amplitud de la onda satisface la ecuación no lineal de Schrödinger, aproximadamente. ^[15] El valor del parámetro de no linealidad к depende de la profundidad relativa del agua. Para aguas profundas, con una profundidad del agua grande en comparación con la longitud de onda de las ondas de agua, к es negativo y pueden aparecer solitones de envolvente . Además, la velocidad de grupo de estos solitones de envolvente podría aumentar mediante una aceleración inducida por un flujo de agua externo dependiente del tiempo. ^[16]

En aguas poco profundas, con longitudes de onda superiores a 4,6 veces la profundidad del agua, el parámetro de no linealidad к es positivo y no existen grupos de ondas con solitones envolventes . En aguas poco profundas, sí existen solitones de elevación superficial u ondas de traslación , pero no están regidos por la ecuación no lineal de Schrödinger.

Se cree que la ecuación no lineal de Schrödinger es importante para explicar la formación de ondas rebeldes . ^[17]

El campo complejo ψ , tal como aparece en la ecuación no lineal de Schrödinger, está relacionado con la amplitud y la fase de las ondas en el agua. Consideremos una onda portadora modulada lentamente con una elevación de la superficie del agua η de la forma:

${\displaystyle \eta =a(x_{0},t_{0})\;\cos \left[k_{0}\,x_{0}-\omega _{0}\,t_{0}-\theta (x_{0},t_{0})\right],}$

donde a ( x ₀ , t ₀ ) y θ ( x ₀ , t ₀ ) son la amplitud y la fase moduladas lentamente . Además, ω ₀ y k _{0 son la} frecuencia angular (constante) y el número de onda de las ondas portadoras, que deben satisfacer la relación de dispersión ω ₀ = Ω( k ₀ ). Entonces

${\displaystyle \psi =a\;\exp \left(i\theta \right).}$

Entonces su módulo | ψ | es la amplitud de onda a , y su argumento arg( ψ ) es la fase θ .

La relación entre las coordenadas físicas ( x ₀ , t ₀ ) y las coordenadas ( x, t ), tal como se utilizan en la ecuación no lineal de Schrödinger dada anteriormente, viene dada por:

${\displaystyle x=k_{0}\left[x_{0}-\Omega '(k_{0})\;t_{0}\right],\quad t=k_{0}^{2}\left[-\Omega ''(k_{0})\right]\;t_{0}}$

Por lo tanto, ( x, t ) es un sistema de coordenadas transformado que se mueve con la velocidad de grupo Ω'( k _{0 ) de las ondas portadoras. La} curvatura de la relación de dispersión Ω"( k ₀ ) – que representa la dispersión de la velocidad de grupo – es siempre negativa para las ondas de agua bajo la acción de la gravedad, para cualquier profundidad de agua.

Para las olas en la superficie del agua profunda, los coeficientes de importancia para la ecuación de Schrödinger no lineal son:

${\displaystyle \kappa =-2k_{0}^{2},\quad \Omega (k_{0})={\sqrt {gk_{0}}}=\omega _{0}\,\!}$  entonces  ${\displaystyle \Omega '(k_{0})={\frac {1}{2}}{\frac {\omega _{0}}{k_{0}}},\quad \Omega ''(k_{0})=-{\frac {1}{4}}{\frac {\omega _{0}}{k_{0}^{2}}},\,\!}$

donde g es la aceleración debida a la gravedad en la superficie de la Tierra.

En las coordenadas originales ( x ₀ , t ₀ ) la ecuación no lineal de Schrödinger para las ondas de agua se lee: ^[18]

${\displaystyle i\,\partial _{t_{0}}A+i\,\Omega '(k_{0})\,\partial _{x_{0}}A+{\tfrac {1}{2}}\Omega ''(k_{0})\,\partial _{x_{0}x_{0}}A-\nu \,|A|^{2}\,A=0,}$

con (es decir, el conjugado complejo de ) y Entonces para ondas en aguas profundas. ${\displaystyle A=\psi ^{*}}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \nu =\kappa \,k_{0}^{2}\,\Omega ''(k_{0}).}$ ${\displaystyle \nu ={\tfrac {1}{2}}\omega _{0}k_{0}^{2}}$

Contraparte equivalente de calibre

NLSE (1) es equivalente a la siguiente ecuación isótropa de Landau-Lifshitz (LLE) o ecuación ferromagnética de Heisenberg

${\displaystyle {\vec {S}}_{t}={\vec {S}}\wedge {\vec {S}}_{xx}.\qquad }$

Nótese que esta ecuación admite varias generalizaciones integrables y no integrables en 2 + 1 dimensiones como la ecuación de Ishimori , etc.

Formulación de curvatura cero

El NLSE es equivalente a la curvatura de una conexión particular al ser igual a cero. ^[19] ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

Explícitamente, con coordenadas en , los componentes de conexión están dados por donde son las matrices de Pauli . Entonces la ecuación de curvatura cero ${\displaystyle (x,t)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle A_{\mu }}$ $${\displaystyle A_{x}={\begin{pmatrix}i\lambda &i\varphi ^{*}\\i\varphi &-i\lambda \end{pmatrix}}}$$ $${\displaystyle A_{t}={\begin{pmatrix}2i\lambda ^{2}-i|\varphi |^{2}&2i\lambda \varphi ^{*}+\varphi _{x}^{*}\\2i\lambda \varphi -\varphi _{x}&-2i\lambda ^{2}+i|\varphi |^{2}\end{pmatrix}}}$$ ${\displaystyle \sigma _{i}}$ $${\displaystyle \partial _{t}A_{x}-\partial _{x}A_{t}+[A_{x},A_{t}]=0}$$

es equivalente a la NLSE . La ecuación de curvatura cero se llama así porque corresponde a que la curvatura sea igual a cero si está definida . ${\displaystyle i\varphi _{t}+\varphi _{xx}+2|\varphi |^{2}\varphi =0}$ ${\displaystyle F_{\mu \nu }=[\partial _{\mu }-A_{\mu },\partial _{\nu }-A_{\nu }]}$

El par de matrices y también se conocen como un par Lax para el NLSE, en el sentido de que la ecuación de curvatura cero recupera la EDP en lugar de satisfacer la ecuación de Lax. ${\displaystyle A_{x}}$ ${\displaystyle A_{t}}$

Relación con los vórtices

Hasimoto (1972) demostró que el trabajo de da Rios  (1906) sobre filamentos de vórtice está estrechamente relacionado con la ecuación no lineal de Schrödinger. Posteriormente, Salman (2013) utilizó esta correspondencia para demostrar que también pueden surgir soluciones de respiración para un filamento de vórtice.

Véase también

• Sistema AKNS
• Ecuación de Eckhaus
• Interacción cuártica para un modelo relacionado en la teoría cuántica de campos
• Solitón (óptica)
• Ecuación logarítmica de Schrödinger

Notas

1. Una posible fuente de confusión aquí es el teorema de estadística de espín , que exige que los fermiones tengan un espín semientero; sin embargo, es un teorema de teorías cuánticas de campos relativistas de 3+1 dimensiones y, por lo tanto, no es aplicable en este caso unidimensional, no relativista.

Referencias

Notas

1. Figura 1 de: Onorato, M.; Proment, D.; Clauss, G .; Klein, M. (2013), "Olas rebeldes: de soluciones de respiración de Schrödinger no lineales a pruebas de mantenimiento del mar", PLOS ONE , 8 (2): e54629, Bibcode :2013PLoSO...854629O, doi : 10.1371/journal.pone.0054629 , PMC  3566097 , PMID  23405086
2. Malomed, Boris (2005), "Ecuaciones de Schrödinger no lineales", en Scott, Alwyn (ed.), Encyclopedia of Nonlinear Science , Nueva York: Routledge, págs. 639–643
3. Pitaevskii, L.; Stringari, S. (2003), Condensación de Bose-Einstein , Oxford, Reino Unido: Clarendon
4. Gurevich, AV (1978), Fenómenos no lineales en la ionosfera , Berlín: Springer
5. Balakrishnan, R. (1985). "Propagación de solitones en medios no uniformes". Physical Review A . 32 (2): 1144–1149. Bibcode :1985PhRvA..32.1144B. doi :10.1103/PhysRevA.32.1144. PMID  9896172.
6. Korepin, VE; Bogoliubov, NM; Izergin, AG (1993). Método de dispersión inversa cuántica y funciones de correlación . Cambridge, Reino Unido: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-58646-7.
7. G. Falkovich (2011). Mecánica de fluidos (Un curso breve para físicos). Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-00575-4.
8. VE Zakharov ; SV Manakov (1974). "Sobre la integrabilidad completa de una ecuación no lineal de Schrödinger". Journal of Theoretical and Mathematical Physics . 19 (3): 551–559. Bibcode :1974TMP....19..551Z. doi :10.1007/BF01035568. S2CID  121253212. Originalmente en: Teoreticheskaya i Matematicheskaya Fizika 19 (3): 332–343. Junio ​​de 1974.
9. Ablowitz, MJ (2011), Ondas dispersivas no lineales. Análisis asintótico y solitones , Cambridge University Press, pp. 152–156, ISBN 978-1-107-01254-7
10. "Copia archivada" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 16 de mayo de 2012. Consultado el 4 de septiembre de 2011 .{{cite web}}: CS1 maint: archived copy as title (link)
11. P. Muruganandam y SK Adhikari (2009). "Programas Fortran para la ecuación de Gross-Pitaevskii dependiente del tiempo en una trampa completamente anisotrópica". Comput. Phys. Commun . 180 (3): 1888–1912. arXiv : 0904.3131 . Código Bibliográfico : 2009CoPhC.180.1888M. doi : 10.1016/j.cpc.2009.04.015. S2CID  7403553.
12. P. Muruganandam y SK Adhikari (2003). "Dinámica de condensación de Bose-Einstein en tres dimensiones mediante los métodos pseudoespectral y de diferencias finitas". J. Phys. B . 36 (12): 2501–2514. arXiv : cond-mat/0210177 . Bibcode :2003JPhB...36.2501M. doi :10.1088/0953-4075/36/12/310. S2CID  13180020.
13. D. Vudragovic; et al. (2012). "Programas C para la ecuación de Gross-Pitaevskii dependiente del tiempo en una trampa completamente anisotrópica". Comput. Phys. Commun . 183 (9): 2021–2025. arXiv : 1206.1361 . Código Bibliográfico :2012CoPhC.183.2021V. doi :10.1016/j.cpc.2012.03.022. S2CID  12031850.
14. LE Young-S.; et al. (2016). "Programas OpenMP Fortran y C para la ecuación de Gross-Pitaevskii dependiente del tiempo en una trampa completamente anisotrópica". Comput. Phys. Commun . 204 (9): 209–213. arXiv : 1605.03958 . Código Bibliográfico : 2016CoPhC.204..209Y. doi : 10.1016/j.cpc.2016.03.015. S2CID  206999817.
15. VE Zakharov (1968). "Estabilidad de ondas periódicas de amplitud finita en la superficie de un fluido profundo". Revista de mecánica aplicada y física técnica . 9 (2): 190–194. Bibcode :1968JAMTP...9..190Z. doi :10.1007/BF00913182. S2CID  55755251.Originalmente en: Zhurnal Prikdadnoi Mekhaniki i Tekhnicheskoi Fiziki 9 (2): 86–94, 1968.]
16. GG Rozenman, A. Arie, L. Shemer (2019). "Observación de paquetes de ondas solitarias aceleradas". Phys. Rev. E . 101 (5): 050201. doi :10.1103/PhysRevE.101.050201. PMID  32575227. S2CID  219506298.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
17. Dysthe, K.; Krogstad, HE; ​​Müller, P. (2008). "Olas gigantescas oceánicas". Revista anual de mecánica de fluidos . 40 (1): 287–310. Código Bibliográfico :2008AnRFM..40..287D. doi :10.1146/annurev.fluid.40.111406.102203.
18. Whitham, GB (1974). Ondas lineales y no lineales . Wiley-Interscience. págs. 601–606 y 489–491. ISBN 0-471-94090-9.
19. Dunajski, Maciej (2010). Solitones, instantones y twistores . Oxford: Oxford University Press. pág. 49. ISBN. 978-0-19-857063-9.

Otro

• Chiao, RY; Garmire, E.; Townes, CH (1964), "Autoatrapamiento de haces ópticos", Phys. Rev. Lett. , 13 (15): 479–482, Bibcode :1964PhRvL..13..479C, doi :10.1103/PhysRevLett.13.479
• da Rios, Luigi Sante (1906), "Sul moto d'un liquido indefinito con un filetto vorticoso di forma qualunque", Rediconti del Circolo Matematico di Palermo (en italiano), 22 : 117–135, doi :10.1007/BF03018608, JFM  37.0764.01, S2CID  120549348
• Hasimoto, Hidenori (1972), "Un solitón en un filamento de vórtice", Journal of Fluid Mechanics , 51 (3): 477–485, Bibcode :1972JFM....51..477H, doi :10.1017/S0022112072002307, S2CID  123315958
• Salman, Hayder (2013), "Respiradores en vórtices superfluidos cuantificados", Phys. Rev. Lett. , 111 (16): 165301, arXiv : 1307.7531 , Bibcode :2013PhRvL.111p5301S, doi :10.1103/PhysRevLett.111.165301, PMID  24182275, S2CID  25062555
• Zakharov, VE; Shabat, AB (1972), "Teoría exacta del autoenfoque bidimensional y la automodulación unidimensional de ondas en medios no lineales", Journal of Experimental and Theoretical Physics , 34 (1): 62–69, Bibcode :1972JETP...34...62Z, MR  0406174, archivado desde el original el 2016-03-07 , consultado el 2013-05-11

Enlaces externos

• "Sistemas de Schrödinger no lineales". Scholarpedia .
• Clase tutorial sobre la ecuación de Schrödinger no lineal (vídeo).
• Ecuación de Schrödinger no lineal con no linealidad cúbica en EqWorld: El mundo de las ecuaciones matemáticas.
• Ecuación de Schrödinger no lineal con una no linealidad de ley de potencia en EqWorld: El mundo de las ecuaciones matemáticas.
• Ecuación de Schrödinger no lineal de forma general en EqWorld: El mundo de las ecuaciones matemáticas.
• Aspectos matemáticos de la ecuación no lineal de Schrödinger en Dispersive Wiki