Método de elementos espectrales

En la solución numérica de ecuaciones diferenciales parciales , un tema de las matemáticas , el método de elementos espectrales (SEM) es una formulación del método de elementos finitos (FEM) que utiliza polinomios por partes de alto grado como funciones base. El método de elementos espectrales fue introducido en un artículo de 1984 ^[1] por AT Patera. Aunque se le atribuye el desarrollo del método, su trabajo fue un redescubrimiento de un método existente (ver Historial de desarrollo)

Discusión

El método espectral expande la solución en series trigonométricas , siendo una ventaja principal que el método resultante es de un orden muy alto. Este enfoque se basa en el hecho de que los polinomios trigonométricos son una base ortonormal para . ^[2] El método del elemento espectral elige en cambio funciones base polinómicas por partes de alto grado, logrando también un orden muy alto de precisión. Dichos polinomios son generalmente polinomios de Chebyshev ortogonales o polinomios de Lagrange de orden muy alto sobre nodos espaciados no uniformemente. En SEM, el error computacional disminuye exponencialmente a medida que aumenta el orden del polinomio de aproximación, por lo tanto, se logra una convergencia rápida de la solución a la solución exacta con menos grados de libertad de la estructura en comparación con FEM. En el monitoreo de la salud estructural , FEM se puede utilizar para detectar fallas grandes en una estructura, pero a medida que se reduce el tamaño de la falla, existe la necesidad de utilizar una onda de alta frecuencia. Para simular la propagación de una onda de alta frecuencia, la malla FEM requerida es muy fina, lo que da como resultado un mayor tiempo de cálculo. Por otro lado, SEM proporciona una buena precisión con menos grados de libertad. La no uniformidad de los nodos ayuda a hacer que la matriz de masa sea diagonal, lo que ahorra tiempo y memoria y también es útil para adoptar un método de diferencia central (CDM). Las desventajas de SEM incluyen la dificultad para modelar geometría compleja, en comparación con la flexibilidad de FEM. ${\displaystyle L^{2}(\Omega )}$

Aunque el método se puede aplicar con una base polinomial ortogonal modal por partes, se implementa con mayor frecuencia con una base de Lagrange de producto tensorial nodal. ^[3] El método gana su eficiencia al ubicar los puntos nodales en los puntos de Legendre-Gauss-Lobatto (LGL) y realizar las integraciones del método Galerkin con una cuadratura de Gauss-Lobatto reducida utilizando los mismos nodos. Con esta combinación, se obtienen simplificaciones tales que se produce una agrupación de masas en todos los nodos y se produce un procedimiento de colocación en los puntos interiores.

Las aplicaciones más populares del método son la dinámica de fluidos computacional ^[3] y el modelado de la propagación de ondas sísmicas. ^[4]

Estimación de error a priori

El análisis clásico de los métodos de Galerkin y el lema de Céa se cumple aquí y se puede demostrar que, si es la solución de la ecuación débil, es la solución aproximada y : ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle u_{N}}$ ${\displaystyle u\in H^{s+1}(\Omega )}$

${\displaystyle \|u-u_{N}\|_{H^{1}(\Omega )}\leqq C_{s}N^{-s}\|u\|_{H^{s+1}(\Omega )}}$

donde está relacionado con la discretización del dominio (es decir, longitud del elemento), es independiente de y no es mayor que el grado de la base polinómica por partes. Se pueden obtener resultados similares para limitar el error en topologías más fuertes. Si ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle C_{s}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle k\leq s+1}$

${\displaystyle \|u-u_{N}\|_{H^{k}(\Omega )}\leq C_{s,k}N^{k-1-s}\|u\|_{H^{s+1}(\Omega )}}$

A medida que aumentamos , también podemos aumentar el grado de las funciones base. En este caso, si es una función analítica : ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle u}$

${\displaystyle \|u-u_{N}\|_{H^{1}(\Omega )}\leqq C\exp(-\gamma N)}$

donde depende solo de . ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle u}$

El Hybrid-Colocation-Galerkin posee algunas propiedades de superconvergencia. ^[5] La forma LGL de SEM es equivalente, ^[6] por lo que logra las mismas propiedades de superconvergencia.

Historial de desarrollo

El desarrollo de la forma LGL más popular del método se atribuye normalmente a Maday y Patera. ^[7] Sin embargo, se desarrolló más de una década antes. En primer lugar, está el método Hybrid-Collocation-Galerkin (HCGM), ^{[8] [5]} que aplica la colocación en los puntos interiores de Lobatto y utiliza un procedimiento integral similar al de Galerkin en las interfaces de los elementos. El método Lobatto-Galerkin descrito por Young ^[9] es idéntico al SEM, mientras que el HCGM es equivalente a estos métodos. ^[6] Este trabajo anterior se ignora en la literatura espectral.

Métodos relacionados

• Los métodos espectrales más utilizados son G-NI o ​​SEM-NI. Se modifica la formulación de Galerkin de los métodos espectrales o métodos de elementos espectrales, para G-NI o ​​SEM-NI respectivamente, y se utiliza la integración de Gauss-Lobatto en lugar de las integrales en la definición de la forma bilineal y en la funcional . Su convergencia es una consecuencia del lema de Strang. ${\displaystyle a(\cdot ,\cdot )}$ ${\displaystyle F}$
• SEM es un método FEM (método de elementos finitos) basado en Galerkin con funciones de base (forma) de Lagrange e integración numérica reducida mediante cuadratura de Lobatto utilizando los mismos nodos.
• El método pseudoespectral , el método de colocación ortogonal , el método de cuadratura diferencial y el método G-NI son nombres diferentes para el mismo método. Estos métodos emplean funciones de base globales en lugar de polinómicas por partes. La extensión a una base FEM o SEM por partes es casi trivial. ^[6]
• El método de elementos espectrales utiliza un espacio de producto tensorial abarcado por funciones base nodales asociadas con puntos de Gauss-Lobatto . Por el contrario, el método de elementos finitos de la versión p abarca un espacio de polinomios de alto orden por funciones base sin nodos, elegidas aproximadamente ortogonales para la estabilidad numérica . Dado que no es necesario que estén presentes todas las funciones base interiores, el método de elementos finitos de la versión p puede crear un espacio que contenga todos los polinomios hasta un grado dado con menos grados de libertad. ^[10] Sin embargo, algunas técnicas de aceleración posibles en los métodos espectrales debido a su carácter de producto tensorial ya no están disponibles. El nombre de la versión p significa que la precisión aumenta al aumentar el orden de los polinomios de aproximación (por lo tanto, p ) en lugar de disminuir el tamaño de la malla, h .
• El método de elementos finitos hp ( hp-FEM ) combina las ventajas de los refinamientos h y p para obtener tasas de convergencia exponencial. ^[11]

Notas

1. Patera, AT (1984). "Un método de elementos espectrales para la dinámica de fluidos - Flujo laminar en una expansión de canal". Journal of Computational Physics . 54 (3): 468–488. Bibcode :1984JCoPh..54..468P. doi :10.1016/0021-9991(84)90128-1.
2. Muradova, Aliki D. (2008). "El método espectral y el algoritmo de continuación numérica para el problema de von Kármán con comportamiento de pospandeo de las soluciones". Adv Comput Math . 29 (2): 179–206, 2008. doi :10.1007/s10444-007-9050-7. hdl : 1885/56758 . S2CID  46564029.
3. Karniadakis, G. y Sherwin, S.: Métodos de elementos espectrales/hp para dinámica de fluidos computacional, Oxford Univ. Press, (2013), ISBN 9780199671366 
4. Komatitsch, D. y Villote, J.-P.: “El método de elementos espectrales: una herramienta eficaz para simular la respuesta sísmica de estructuras geológicas 2D y 3D”, Bull. Seismological Soc. America, 88, 2, 368-392 (1998)
5. Wheeler, MF: “Un método de elementos finitos de colocación C0 para problemas parabólicos de dimensión espacial y valor límite de dos puntos”, SIAM J. Numer. Anal., 14, 1, 71-90 (1977)
6. Young, LC, “Revisión de la colocación ortogonal”, Comp. Methods in Appl. Mech. and Engr. 345 (1) 1033-1076 (marzo de 2019), doi.org/10.1016/j.cma.2018.10.019
7. Maday, Y. y Patera, AT, “Métodos de elementos espectrales para las ecuaciones incompresibles de Navier-Stokes” en State-of-the-Art Surveys on Computational Mechanics, AK Noor, editor, ASME, Nueva York (1989).
8. Diaz, J., “Un método de colocación-Galerkin para el problema de valor en la frontera de dos puntos utilizando espacios polinomiales continuos por partes”, SIAM J. Num. Anal., 14 (5) 844-858 (1977) ISSN 0036-1429
9. Young, LC, “Un método de elementos finitos para la simulación de yacimientos”, Soc. Petr. Engrs. J. 21(1) 115-128, (febrero de 1981), artículo SPE 7413 presentado en octubre de 1978, doi.org/10.2118/7413-PA
10. Barna Szabó e Ivo Babuška , análisis de elementos finitos, John Wiley & Sons, Inc., Nueva York, 1991. ISBN 0-471-50273-1 
11. P. Šolín, K. Segeth, I. Doležel: Métodos de elementos finitos de orden superior, Chapman & Hall/CRC Press, 2003. ISBN 1-58488-438-X