Clase de procesos analíticos de resolución de ecuaciones diferenciales parciales
Los métodos pseudoespectrales , [1] también conocidos como métodos de representación de variable discreta (DVR), son una clase de métodos numéricos utilizados en matemáticas aplicadas y computación científica para la solución de ecuaciones diferenciales parciales . Están estrechamente relacionados con los métodos espectrales , pero complementan la base mediante una base pseudoespectral adicional, que permite la representación de funciones en una cuadrícula de cuadratura [ definición necesaria ] . Esto simplifica la evaluación de ciertos operadores y puede acelerar considerablemente el cálculo cuando se utilizan algoritmos rápidos como la transformada rápida de Fourier .
Motivación con un ejemplo concreto
Tomemos el problema del valor inicial
con condiciones periódicas . Este ejemplo específico es la ecuación de Schrödinger para una partícula en un potencial , pero la estructura es más general. En muchas ecuaciones diferenciales parciales prácticas, se tiene un término que involucra derivadas (como una contribución de energía cinética) y una multiplicación con una función (por ejemplo, un potencial).
En el método espectral, la solución se expande en un conjunto adecuado de funciones base, por ejemplo ondas planas,
La inserción e igualación de coeficientes idénticos produce un conjunto de ecuaciones diferenciales ordinarias para los coeficientes,
donde los elementos se calculan a través de la transformada de Fourier explícita
La solución se obtendría entonces truncando la expansión a funciones base y encontrando una solución para . En general, esto se hace mediante métodos numéricos , como los métodos de Runge-Kutta . Para las soluciones numéricas, el lado derecho de la ecuación diferencial ordinaria debe evaluarse repetidamente en diferentes pasos de tiempo. En este punto, el método espectral tiene un problema importante con el término potencial .
En la representación espectral, la multiplicación con la función se transforma en una multiplicación de matriz-vector, que escala como . Además, los elementos de la matriz deben evaluarse explícitamente antes de poder resolver la ecuación diferencial para los coeficientes, lo que requiere un paso adicional.
En el método pseudoespectral, este término se evalúa de manera diferente. Dados los coeficientes , una transformada de Fourier discreta inversa produce el valor de la función en puntos discretos de la cuadrícula . En estos puntos de la cuadrícula, la función se multiplica, y el resultado se transforma de nuevo mediante la transformada de Fourier. Esto produce un nuevo conjunto de coeficientes que se utilizan en lugar del producto matricial .
Se puede demostrar que ambos métodos tienen una precisión similar. Sin embargo, el método pseudoespectral permite el uso de una transformada rápida de Fourier, que escala como , y por lo tanto es significativamente más eficiente que la multiplicación de matrices. Además, la función se puede utilizar directamente sin evaluar ninguna integral adicional.
Discusión técnica
De forma más abstracta, el método pseudoespectral se ocupa de la multiplicación de dos funciones y como parte de una ecuación diferencial parcial. Para simplificar la notación, se elimina la dependencia del tiempo. Conceptualmente, consta de tres pasos:
- se expanden en un conjunto finito de funciones base (este es el método espectral ).
- Para un conjunto dado de funciones base, se busca una cuadratura que convierta los productos escalares de estas funciones base en una suma ponderada sobre los puntos de la cuadrícula.
- El producto se calcula multiplicando en cada punto de la cuadrícula.
Expansión en una base
Las funciones se pueden expandir de forma finita como
Para simplificar, supongamos que la base es ortogonal y está normalizada, utilizando el producto interno con límites apropiados . Los coeficientes se obtienen entonces mediante
Un poco de cálculo nos lleva entonces a...
con . Esto forma la base del método espectral. Para distinguir la base de la base de cuadratura, la expansión a veces se denomina Representación de Base Finita (FBR).
Cuadratura
Para una base dada y un número de funciones base, se puede intentar encontrar una cuadratura, es decir, un conjunto de puntos y pesos tales que
Ejemplos especiales son la cuadratura gaussiana para polinomios y la transformada discreta de Fourier para ondas planas. Cabe destacar que los puntos de la cuadrícula y los pesos son una función de la base y del número .
La cuadratura permite una representación numérica alternativa de la función a través de su valor en los puntos de la cuadrícula. Esta representación a veces se denomina Representación de Variable Discreta (DVR) y es completamente equivalente al desarrollo en la base.
Multiplicación
Luego se realiza la multiplicación con la función en cada punto de la cuadrícula,
Esto generalmente introduce una aproximación adicional. Para comprobarlo, podemos calcular uno de los coeficientes :
Sin embargo, utilizando el método espectral, el mismo coeficiente sería . El método pseudoespectral introduce así la aproximación adicional
Si el producto se puede representar con el conjunto finito de funciones base dado, la ecuación anterior es exacta debido a la cuadratura elegida.
Esquemas pseudoespectrales especiales
El método de Fourier
Si se imponen al sistema condiciones de contorno periódicas con período , las funciones base pueden generarse mediante ondas planas,
con , donde es la función de techo .
La cuadratura para un punto de corte en se obtiene mediante la transformación discreta de Fourier . Los puntos de la cuadrícula están espaciados de manera uniforme, con un espaciamiento de , y los pesos constantes son .
Para la discusión del error, tenga en cuenta que el producto de dos ondas planas es nuevamente una onda plana, con . Por lo tanto, cualitativamente, si las funciones se pueden representar con suficiente precisión con funciones base, el método pseudoespectral brinda resultados precisos si se utilizan funciones base.
Una expansión en ondas planas suele tener una calidad deficiente y necesita muchas funciones base para converger. Sin embargo, la transformación entre la expansión base y la representación en cuadrícula se puede realizar utilizando una transformada rápida de Fourier , que escala favorablemente como . En consecuencia, las ondas planas son una de las expansiones más comunes que se encuentran con los métodos pseudoespectrales.
Polinomios
Otra expansión común es la de los polinomios clásicos. Aquí se utiliza la cuadratura gaussiana , que establece que siempre se pueden encontrar pesos y puntos tales que
se cumple para cualquier polinomio de grado o menor. Normalmente, la función de peso y los rangos se eligen para un problema específico y conducen a una de las diferentes formas de la cuadratura. Para aplicar esto al método pseudoespectral, elegimos funciones base , siendo un polinomio de grado con la propiedad
En estas condiciones, se forma una base ortonormal con respecto al producto escalar . Esta base, junto con los puntos de cuadratura, puede utilizarse para el método pseudoespectral.
Para la discusión del error, tenga en cuenta que si está bien representado por funciones base y está bien representado por un polinomio de grado , su producto se puede expandir en las primeras funciones base, y el método pseudoespectral dará resultados precisos para esa cantidad de funciones base.
Estos polinomios aparecen de forma natural en varios problemas estándar. Por ejemplo, el oscilador armónico cuántico se desarrolla de forma ideal en los polinomios de Hermite, y los polinomios de Jacobi se pueden utilizar para definir las funciones de Legendre asociadas que suelen aparecer en los problemas rotacionales.
Notas
- ^ Orszag, Steven A. (septiembre de 1972). "Comparación de la aproximación pseudoespectral y espectral". Estudios en Matemáticas Aplicadas . 51 (3): 253–259. doi :10.1002/sapm1972513253.
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