Sistema sobredeterminado

Más ecuaciones que incógnitas (matemáticas)

En matemáticas , un sistema de ecuaciones se considera sobredeterminado si hay más ecuaciones que incógnitas. ^{[1] [ cita requerida ]} Un sistema sobredeterminado casi siempre es inconsistente (no tiene solución) cuando se construye con coeficientes aleatorios. Sin embargo, un sistema sobredeterminado tendrá soluciones en algunos casos, por ejemplo, si alguna ecuación ocurre varias veces en el sistema o si algunas ecuaciones son combinaciones lineales de otras.

La terminología puede describirse en términos del concepto de recuento de restricciones . Cada incógnita puede verse como un grado de libertad disponible. Cada ecuación introducida en el sistema puede verse como una restricción que restringe un grado de libertad . Por lo tanto, el caso crítico ocurre cuando el número de ecuaciones y el número de variables libres son iguales. Para cada variable que da un grado de libertad, existe una restricción correspondiente. El caso sobredeterminado ocurre cuando el sistema ha sido sobrerrestringido, es decir, cuando las ecuaciones superan en número a las incógnitas. Por el contrario, el caso subdeterminado ocurre cuando el sistema ha sido subrestringido, es decir, cuando el número de ecuaciones es menor que el número de incógnitas. Estos sistemas suelen tener un número infinito de soluciones.

Sistemas de ecuaciones lineales sobredeterminados

Un ejemplo en dos dimensiones

#1 Un sistema de tres ecuaciones linealmente independientes, tres líneas, sin soluciones

#2 Un sistema de tres ecuaciones linealmente independientes, tres líneas (dos paralelas ), sin soluciones

#3 Un sistema de tres ecuaciones linealmente independientes, tres líneas (todas paralelas), sin soluciones

#4 Un sistema de tres ecuaciones (una ecuación linealmente dependiente de las otras), tres rectas (dos coincidentes), una solución

#5 Un sistema de tres ecuaciones (una ecuación linealmente dependiente de las otras), tres líneas, una solución

#6 Un sistema de tres ecuaciones (dos ecuaciones cada una linealmente dependiente de la tercera), tres líneas coincidentes, una infinidad de soluciones

Consideremos el sistema de 3 ecuaciones y 2 incógnitas ( X e Y ), que está sobredeterminado porque 3 > 2, y que corresponde al Diagrama #1: $${\displaystyle {\begin{aligned}Y&=-2X-1\\Y&=3X-2\\Y&=X+1.\end{aligned}}}$$

Hay una solución para cada par de ecuaciones lineales: para la primera y la segunda ecuación (0,2, −1,4), para la primera y la tercera (−2/3, 1/3) y para la segunda y la tercera (1,5, 2,5). Sin embargo, no hay ninguna solución que satisfaga las tres simultáneamente. Los diagramas n.° 2 y n.° 3 muestran otras configuraciones que son inconsistentes porque ningún punto está en todas las líneas. Los sistemas de esta variedad se consideran inconsistentes .

Los únicos casos en los que el sistema sobredeterminado tiene de hecho una solución se muestran en los diagramas 4, 5 y 6. Estas excepciones pueden ocurrir solo cuando el sistema sobredeterminado contiene suficientes ecuaciones linealmente dependientes para que el número de ecuaciones independientes no exceda el número de incógnitas. La dependencia lineal significa que algunas ecuaciones se pueden obtener a partir de la combinación lineal de otras ecuaciones. Por ejemplo, Y  =  X  + 1 y 2 Y  = 2 X  + 2 son ecuaciones linealmente dependientes porque la segunda se puede obtener tomando el doble de la primera.

Forma matricial

Cualquier sistema de ecuaciones lineales puede escribirse como una ecuación matricial . El sistema de ecuaciones anterior (en el Diagrama #1) puede escribirse de la siguiente manera: Nótese que las filas de la matriz de coeficientes (que corresponden a las ecuaciones) superan en número a las columnas (que corresponden a las incógnitas), lo que significa que el sistema está sobredeterminado. El rango de esta matriz es 2, que corresponde al número de variables dependientes en el sistema. ^[2] Un sistema lineal es consistente si y solo si la matriz de coeficientes tiene el mismo rango que su matriz aumentada (la matriz de coeficientes con una columna extra agregada, siendo esa columna el vector columna de constantes). La matriz aumentada tiene rango 3, por lo que el sistema es inconsistente. La nulidad es 0, lo que significa que el espacio nulo contiene solo el vector cero y, por lo tanto, no tiene base . $${\displaystyle {\begin{bmatrix}2&1\\-3&1\\-1&1\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}X\\Y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-1\\-2\\1\end{bmatrix}}}$$

En álgebra lineal, los conceptos de espacio fila , espacio columna y espacio nulo son importantes para determinar las propiedades de las matrices. El análisis informal de las restricciones y los grados de libertad que se ha hecho anteriormente se relaciona directamente con estos conceptos más formales.

Caso homogéneo

El caso homogéneo (en el que todos los términos constantes son cero) es siempre consistente (porque existe una solución trivial, donde todos los términos son cero). Existen dos casos, dependiendo del número de ecuaciones linealmente dependientes: o bien existe sólo la solución trivial , o bien existe la solución trivial más un conjunto infinito de otras soluciones.

Considérese el sistema de ecuaciones lineales: L _i = 0 para 1 ≤ i ≤ M , y las variables X ₁ , X ₂ , ..., X _N , donde cada L _i es una suma ponderada de las X _i s. Entonces X ₁ = X ₂ = ⋯ = X _N = 0 es siempre una solución. Cuando M < N el sistema está subdeterminado y siempre hay una infinidad de soluciones adicionales. De hecho, la dimensión del espacio de soluciones es siempre al menos N − M .

Para M ≥ N , puede que no haya otra solución que la de que todos los valores sean 0. Habrá una infinidad de otras soluciones solo cuando el sistema de ecuaciones tenga suficientes dependencias (ecuaciones linealmente dependientes) para que el número de ecuaciones independientes sea como máximo N − 1. Pero con M ≥ N el número de ecuaciones independientes podría ser tan alto como N , en cuyo caso la solución trivial es la única.

Caso no homogéneo

En sistemas de ecuaciones lineales, L _i = c _i para 1 ≤ i ≤ M , en las variables X ₁ , X ₂ , ..., X _N las ecuaciones son a veces linealmente dependientes; de hecho el número de ecuaciones linealmente independientes no puede ser superior a N +1. Tenemos los siguientes casos posibles para un sistema sobredeterminado con N incógnitas y M ecuaciones ( M > N ).

• M = N + 1 y todas las ecuaciones M son linealmente independientes . En este caso no hay solución. Ejemplo: x = 1, x = 2.
• M > N pero sólo las ecuaciones K ( K < M y K ≤ N +1) son linealmente independientes. Existen tres posibles subcasos de esto:
  • K = N + 1. En este caso no se obtienen soluciones. Ejemplo: 2 x = 2, x = 1, x = 2.
  • K = N . Este caso produce una única solución o ninguna solución; esto último ocurre cuando el vector de coeficientes de una ecuación se puede replicar mediante una suma ponderada de los vectores de coeficientes de las otras ecuaciones, pero esa suma ponderada aplicada a los términos constantes de las otras ecuaciones no replica el término constante de la ecuación. Ejemplo con una solución: 2 x = 2, x = 1. Ejemplo sin solución: 2 x + 2 y = 2, x + y = 1, x + y = 3.
  • K < N . Este caso produce infinitas soluciones o ninguna solución, ocurriendo lo último como en el subcaso anterior. Ejemplo con infinitas soluciones: 3 x + 3 y = 3, 2 x + 2 y = 2, x + y = 1. Ejemplo sin solución: 3 x + 3 y + 3 z = 3, 2 x + 2 y + 2 z = 2, x + y + z = 1, x + y + z = 4.

Estos resultados pueden ser más fáciles de entender poniendo la matriz aumentada de los coeficientes del sistema en forma escalonada por filas mediante la eliminación gaussiana . Esta forma escalonada por filas es la matriz aumentada de un sistema de ecuaciones que es equivalente al sistema dado (tiene exactamente las mismas soluciones). El número de ecuaciones independientes en el sistema original es el número de filas distintas de cero en la forma escalonada. El sistema es inconsistente (sin solución) si y solo si la última fila distinta de cero en forma escalonada tiene solo una entrada distinta de cero que está en la última columna (dando una ecuación 0 = c donde c es una constante distinta de cero). De lo contrario, hay exactamente una solución cuando el número de filas distintas de cero en forma escalonada es igual al número de incógnitas, y hay infinitas soluciones cuando el número de filas distintas de cero es menor que el número de variables.

Dicho de otro modo, según el teorema de Rouché-Capelli , cualquier sistema de ecuaciones (sobredeterminado o no) es inconsistente si el rango de la matriz aumentada es mayor que el rango de la matriz de coeficientes . Si, por el contrario, los rangos de estas dos matrices son iguales, el sistema debe tener al menos una solución. La solución es única si y solo si el rango es igual al número de variables. De lo contrario, la solución general tiene k parámetros libres donde k es la diferencia entre el número de variables y el rango; por lo tanto, en tal caso hay una infinidad de soluciones.

Soluciones exactas

Se pueden obtener todas las soluciones exactas, o se puede demostrar que no existe ninguna, mediante el álgebra matricial . Véase Sistema de ecuaciones lineales#Solución matricial .

Soluciones aproximadas

El método de mínimos cuadrados ordinarios se puede utilizar para encontrar una solución aproximada a sistemas sobredeterminados. Para el sistema, la fórmula de mínimos cuadrados se obtiene del problema cuya solución se puede escribir con las ecuaciones normales , ^[3] donde indica una matriz transpuesta , siempre que exista (es decir, siempre que A tenga rango de columna completo ). Con esta fórmula se encuentra una solución aproximada cuando no existe una solución exacta, y da una solución exacta cuando existe una. Sin embargo, para lograr una buena precisión numérica, se prefiere utilizar la factorización QR de A para resolver el problema de mínimos cuadrados. ^[4] ${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {b} ,}$ $${\displaystyle \min _{\mathbf {x} }\lVert A\mathbf {x} -\mathbf {b} \rVert ,}$$ $${\displaystyle \mathbf {x} =\left(A^{\mathsf {T}}A\right)^{-1}A^{\mathsf {T}}\mathbf {b} ,}$$ ${\displaystyle {\mathsf {T}}}$ ${\displaystyle \left(A^{\mathsf {T}}A\right)^{-1}}$

Utilizando la factorización QR

La descomposición QR de una matriz (alta) es la representación de la matriz en forma de producto, ${\displaystyle A}$

${\displaystyle A=QR,}$

donde es una matriz semiortonormal (alta) que abarca el rango de la matriz , y donde es una matriz triangular recta cuadrada (pequeña). ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle R}$

La solución al problema de minimizar la norma se da entonces como ${\displaystyle \|Ax-b\|^{2}}$

${\displaystyle x=R^{-1}Q^{T}b,}$

donde en la práctica, en lugar de calcular, se debería hacer una ejecución de sustitución hacia atrás en el sistema triangular derecho. ${\displaystyle R^{-1}}$

${\displaystyle Rx=Q^{T}b.}$

Uso de la descomposición en valores singulares

La descomposición en valores singulares (SVD) de una matriz (alta) es la representación de la matriz en forma de producto, ${\displaystyle A}$

${\displaystyle A=USV^{T},}$

donde es una matriz semiortonormal (alta) que abarca el rango de la matriz , es una matriz diagonal cuadrada (pequeña) con valores singulares no negativos a lo largo de la diagonal, y donde es una matriz ortonormal cuadrada (pequeña). ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle V}$

La solución al problema de minimizar la norma se da entonces como ${\displaystyle \|Ax-b\|^{2}}$

${\displaystyle x=VS^{-1}U^{T}b.}$

Sistemas de ecuaciones no lineales sobredeterminados

En espacios de dimensión finita, un sistema de ecuaciones puede escribirse o representarse en forma de

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{ccc}f_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n})&=&0\\\vdots &\vdots &\vdots \\f_{m}(x_{1},\ldots ,x_{n})&=&0\end{array}}\right.}$

o en forma de con ${\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {x} )=\mathbf {0} }$

${\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {x} )=\left[{\begin{array}{c}f_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n})\\\vdots \\f_{m}(x_{1},\ldots ,x_{n})\end{array}}\right]\;\;\;{\mbox{and}}\;\;\;\mathbf {0} =\left[{\begin{array}{c}0\\\vdots \\0\end{array}}\right]}$

donde es un punto en o y son funciones reales o complejas. El sistema está sobredeterminado si . Por el contrario, el sistema es un sistema subdeterminado si . ^{[5] [6]} ${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ ${\displaystyle R^{n}}$ ${\displaystyle C^{n}}$ ${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{m}}$ ${\displaystyle m>n}$ ${\displaystyle m<n}$

Como método eficaz para resolver sistemas sobredeterminados, la iteración de Gauss-Newton converge localmente de forma cuadrática a soluciones en las que las matrices jacobianas de son inyectivas. ${\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {x} )}$

De uso general

El concepto también puede aplicarse a sistemas de ecuaciones más generales, como los sistemas de ecuaciones polinómicas o las ecuaciones diferenciales parciales . En el caso de los sistemas de ecuaciones polinómicas, puede ocurrir que un sistema sobredeterminado tenga solución, pero que ninguna ecuación sea consecuencia de las demás y que, al eliminar alguna ecuación, el nuevo sistema tenga más soluciones. Por ejemplo, tiene una única solución pero cada ecuación por sí sola tiene dos soluciones. ${\displaystyle (x-1)(x-2)=0,(x-1)(x-3)=0}$ ${\displaystyle x=1,}$

Véase también

• Detección comprimida
• Prueba de consistencia
• Condición de integrabilidad
• Mínimos cuadrados
• Pseudoinversa de Moore-Penrose
• Teorema de Rouché-Capelli (o Rouché-Frobenius)

Referencias

1. Gentle, James E. (6 de diciembre de 2012). Álgebra lineal numérica para aplicaciones en estadística. Springer. ISBN 9781461206231.
2. Stevens, Scott A. "Análisis de sistemas: rango y nulidad" (PDF) . Matemáticas 220: material de apoyo sobre matrices . Universidad Estatal de Pensilvania . Consultado el 3 de abril de 2017 .
3. Anton, Howard; Rorres, Chris (2005). Álgebra lineal elemental (novena edición). John Wiley and Sons, Inc. ISBN 978-0-471-66959-3.
4. Trefethen, Lloyd; Bau, III, David (1997). Álgebra lineal numérica . ISBN 978-0898713619.
5. JM Ortega y WC Rheinboldt (1970). Solución iterativa de ecuaciones no lineales en varias variables . Reproducción de Academic Press y SIAM 2000.
6. DJ Bates, AJ Sommese, JD Hauenstein y CW Wampler (2013). Resolución numérica de sistemas polinómicos con Bertini . SIAM.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)