Condiciones de integrabilidad para sistemas diferenciales.

En matemáticas , ciertos sistemas de ecuaciones diferenciales parciales se formulan de manera útil, desde el punto de vista de su estructura geométrica y algebraica subyacente, en términos de un sistema de formas diferenciales . La idea es aprovechar la forma en que una forma diferencial se restringe a una subvariedad y el hecho de que esta restricción es compatible con la derivada exterior . Este es un posible enfoque para ciertos sistemas sobredeterminados , por ejemplo, incluidos los pares Lax de sistemas integrables . Un sistema pfaffiano se especifica únicamente mediante formas 1 , pero la teoría incluye otros tipos de ejemplos de sistemas diferenciales . En términos más elaborados, un sistema pfaffiano es un conjunto de formas 1 en una variedad suave (que se iguala a 0 para encontrar soluciones al sistema).

Dada una colección de formas 1 diferenciales en una variedad de dimensiones , una variedad integral es una subvariedad sumergida (no necesariamente incrustada) cuyo espacio tangente en cada punto es aniquilado por (el retroceso de) cada una . ${\displaystyle \textstyle \alpha _{i},i=1,2,\dots ,k}$ ${\displaystyle \textstyle n}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \textstyle p\in N}$ ${\displaystyle \textstyle \alpha _{i}}$

Una variedad integral máxima es una subvariedad sumergida (no necesariamente incrustada)

${\displaystyle i:N\subset M}$

tal que el núcleo del mapa de restricción en formularios

${\displaystyle i^{*}:\Omega _{p}^{1}(M)\rightarrow \Omega _{p}^{1}(N)}$

está abarcado por en cada punto de . Si además son linealmente independientes, entonces es ( )-dimensional. ${\displaystyle \textstyle \alpha _{i}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \textstyle \alpha _{i}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle n-k}$

Se dice que un sistema pfaffiano es completamente integrable si admite una foliación por variedades integrales máximas. (Tenga en cuenta que no es necesario que la foliación sea regular ; es decir, las hojas de la foliación pueden no ser subvariedades incrustadas). ${\displaystyle M}$

Una condición de integrabilidad es una condición para garantizar que habrá subvariedades integrales de dimensión suficientemente alta. ${\displaystyle \alpha _{i}}$

Condiciones necesarias y suficientes

Las condiciones necesarias y suficientes para la completa integrabilidad de un sistema pfaffiano vienen dadas por el teorema de Frobenius . Una versión establece que si el ideal generado algebraicamente por la colección de α _i dentro del anillo Ω( M ) es diferencialmente cerrado, en otras palabras ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$

${\displaystyle d{\mathcal {I}}\subset {\mathcal {I}},}$

entonces el sistema admite una foliación por variedades integrales máximas. (Lo contrario es obvio a partir de las definiciones).

Ejemplo de un sistema no integrable

No todos los sistemas pfaffianos son completamente integrables en el sentido de Frobenius. Por ejemplo, considere la siguiente forma única en R ³ − (0,0,0) :

${\displaystyle \theta =z\,dx+x\,dy+y\,dz.}$

Si dθ estuviera en el ideal generado por θ tendríamos, por la asimetría del producto de cuña

${\displaystyle \theta \wedge d\theta =0.}$

Pero un cálculo directo da

${\displaystyle \theta \wedge d\theta =(x+y+z)\,dx\wedge dy\wedge dz}$

que es un múltiplo distinto de cero de la forma de volumen estándar en R ³ . Por tanto, no hay hojas bidimensionales y el sistema no es completamente integrable.

Por otro lado, para la curva definida por

${\displaystyle x=t,\quad y=c,\qquad z=e^{-t/c},\quad t>0}$

entonces θ definido como arriba es 0 y, por lo tanto, se verifica fácilmente que la curva es una solución (es decir, una curva integral ) para el sistema Pfaffiano anterior para cualquier constante c distinta de cero .

Ejemplos de aplicaciones

En geometría de Riemann , podemos considerar el problema de encontrar un coframe ortogonal θ ⁱ , es decir, una colección de 1-formas que forman una base del espacio cotangente en cada punto con el que están cerrados (dθ ⁱ = 0, i  = 1, 2 , ...,  n ). Según el lema de Poincaré , θ ⁱ localmente tendrá la forma d x ⁱ para algunas funciones x ⁱ en la variedad y, por lo tanto, proporcionará una isometría de un subconjunto abierto de M con un subconjunto abierto de R ⁿ . Una variedad de este tipo se llama localmente plana. ${\displaystyle \langle \theta ^{i},\theta ^{j}\rangle =\delta ^{ij}}$

Este problema se reduce a una pregunta sobre el paquete coframe de M . Supongamos que tuviéramos un coframe tan cerrado.

${\displaystyle \Theta =(\theta ^{1},\dots ,\theta ^{n}).}$

Si tuviéramos otro coframe , entonces los dos coframes estarían relacionados mediante una transformación ortogonal ${\displaystyle \Phi =(\phi ^{1},\dots ,\phi ^{n})}$

${\displaystyle \Phi =M\Theta }$

Si la conexión en forma 1 es ω , entonces tenemos

${\displaystyle d\Phi =\omega \wedge \Phi }$

Por otro lado,

${\displaystyle {\begin{aligned}d\Phi &=(dM)\wedge \Theta +M\wedge d\Theta \\&=(dM)\wedge \Theta \\&=(dM)M^{-1}\wedge \Phi .\end{aligned}}}$

Pero es la forma Maurer-Cartan para el grupo ortogonal . Por lo tanto, obedece a la ecuación estructural y esta es simplemente la curvatura de M: Después de una aplicación del teorema de Frobenius, se concluye que una variedad M es localmente plana si y sólo si su curvatura desaparece. ${\displaystyle \omega =(dM)M^{-1}}$ ${\displaystyle d\omega +\omega \wedge \omega =0,}$ ${\displaystyle \Omega =d\omega +\omega \wedge \omega =0.}$

Generalizaciones

Existen muchas generalizaciones de las condiciones de integrabilidad de sistemas diferenciales que no necesariamente son generadas por formas únicas. Los más famosos son el teorema de Cartan-Kähler , que sólo funciona para sistemas diferenciales analíticos reales , y el teorema de prolongación de Cartan-Kuranishi . Consulte lecturas adicionales para obtener más detalles. El teorema de Newlander-Nirenberg da condiciones de integrabilidad para una estructura casi compleja.

Otras lecturas

• Bryant, Chern, Gardner, Goldschmidt, Griffiths, Sistemas diferenciales exteriores , Publicaciones del Instituto de Investigación de Ciencias Matemáticas, Springer-Verlag, ISBN  0-387-97411-3
• Olver, P., Equivalencia, invariantes y simetría , Cambridge, ISBN 0-521-47811-1 
• Ivey, T., Landsberg, JM, Cartan para principiantes: geometría diferencial mediante marcos móviles y sistemas diferenciales exteriores , Sociedad Matemática Estadounidense, ISBN 0-8218-3375-8 
• Dunajski, M., Solitones, instantáneos y torcedores , Oxford University Press, ISBN 978-0-19-857063-9