El teorema de Rouché-Capelli es un teorema de álgebra lineal que determina el número de soluciones de un sistema de ecuaciones lineales , dado el rango de su matriz aumentada y su matriz de coeficientes . El teorema se conoce como:
Un sistema de ecuaciones lineales con n variables y coeficientes en un campo K tiene solución si y sólo si su matriz de coeficientes A y su matriz aumentada [ A | b ]tener el mismo rango . [1] Si hay soluciones, forman un subespacio afín de dimensión n − rango ( A ) . En particular:
Considere el sistema de ecuaciones.
La matriz de coeficientes es
y la matriz aumentada es
Dado que ambos tienen el mismo rango, es decir, 2, existe al menos una solución; y como su rango es menor que el número de incógnitas, siendo estas últimas 3, hay infinitas soluciones.
Por el contrario, consideremos el sistema
La matriz de coeficientes es
y la matriz aumentada es
En este ejemplo, la matriz de coeficientes tiene rango 2, mientras que la matriz aumentada tiene rango 3; entonces este sistema de ecuaciones no tiene solución. De hecho, un aumento en el número de columnas linealmente independientes ha hecho que el sistema de ecuaciones sea inconsistente.
Hay varias demostraciones del teorema. Uno de ellos es el siguiente.
El uso de la eliminación gaussiana para poner la matriz aumentada en forma escalonada reducida no cambia el conjunto de soluciones ni los rangos de las matrices involucradas. El teorema se puede leer casi directamente en la forma escalonada reducida de la siguiente manera.
El rango de una matriz es el número de filas distintas de cero en su forma escalonada reducida. Si los rangos de la matriz de coeficientes y la matriz aumentada son diferentes, entonces la última fila distinta de cero tiene la forma correspondiente a la ecuación 0 = 1 . De lo contrario, la i- ésima fila de la forma escalonada reducida permite expresar la i -ésima variable pivote como la suma de una constante y una combinación lineal de las variables no pivotantes, mostrando que la dimensión del conjunto de soluciones es el número de soluciones no pivotantes. -variables pivote.
![{\displaystyle (A|B)=\left[{\begin{array}{ccc|c}1&1&2&3\\1&1&1&1\\2&2&2&2\end{array}}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/719fe63e6ea283f189df8363c1d418f0a73a5ebb)
![{\displaystyle (A|B)=\left[{\begin{array}{ccc|c}1&1&2&3\\1&1&1&1\\2&2&2&5\end{array}}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8d486765032f65d6f336123d4e956685ad6257d)
![{\displaystyle [0\ldots 0\mid 1],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c00253dd5e7b7d67ccd58deee060201e2e46c2f)