Matriz aumentada

Matriz formada añadiendo columnas de otras dos matrices

En álgebra lineal , una matriz aumentada es una matriz que se obtiene añadiendo un vector columna dimensional , a la derecha, como una columna adicional a una matriz dimensional . Esto se hace generalmente con el propósito de realizar las mismas operaciones elementales de fila en la matriz aumentada que se hacen en la original al resolver un sistema de ecuaciones lineales por eliminación gaussiana . ${\displaystyle (A\vert B)}$ ${\displaystyle k\times (n+1)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle k\times n}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (A\vert B)}$ ${\displaystyle A}$

Por ejemplo, dadas las matrices y el vector columna , donde la matriz aumentada es ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ $${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&3&2\\2&0&1\\5&2&2\end{bmatrix}},\quad B={\begin{bmatrix}4\\3\\1\end{bmatrix}},}$$ ${\displaystyle (A\vert B)}$ $${\displaystyle (A|B)=\left[{\begin{array}{ccc|c}1&3&2&4\\2&0&1&3\\5&2&2&1\end{array}}\right].}$$

Para un número dado de incógnitas, el número de soluciones de un sistema de ecuaciones lineales depende únicamente del rango de la matriz de coeficientes que representa el sistema y del rango de la matriz aumentada correspondiente , donde los componentes de consisten en los lados derechos de las ecuaciones lineales sucesivas. Según el teorema de Rouché-Capelli , cualquier sistema de ecuaciones lineales ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (A\vert B)}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle AX=B}$

donde es el vector columna componente cuyas entradas son las incógnitas del sistema es inconsistente (no tiene soluciones) si el rango de la matriz aumentada es mayor que el rango de la matriz de coeficientes . Si, por otro lado, los rangos de estas dos matrices son iguales, el sistema debe tener al menos una solución. La solución es única si y solo si el rango es igual al número de variables . De lo contrario, la solución general tiene parámetros libres donde es la diferencia entre el número de variables y el rango. En tal caso, existe un espacio afín de soluciones de dimensión igual a esta diferencia. ${\displaystyle X=(x_{1},\dots ,x_{n})^{T}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (A\vert B)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle n}$

La inversa de una matriz cuadrada no singular de dimensión se puede encontrar añadiendo la matriz identidad a la derecha de para formar la matriz aumentada dimensional . Aplicando operaciones elementales de fila para transformar el bloque de la izquierda en la matriz identidad , el bloque de la derecha es entonces la matriz inversa ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle \mathbf {I} }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n\times 2n}$ ${\displaystyle (A\vert \mathbf {I} )}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle \mathbf {I} }$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle A^{-1}}$

Ejemplo de cómo encontrar la inversa de una matriz

Sea la matriz cuadrada 2×2 ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&3\\-5&0\end{bmatrix}}.}$$

Para hallar la inversa de formamos la matriz aumentada donde es la matriz identidad . Luego reducimos la parte de correspondiente a a la matriz identidad utilizando operaciones elementales de fila en . cuya parte derecha es la inversa . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (A\vert \mathbf {I} _{2})}$ ${\displaystyle \mathbf {I} _{2}}$ ${\displaystyle 2\times 2}$ ${\displaystyle (A\vert \mathbf {I} _{2})}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (A\vert \mathbf {I} _{2})}$ $${\displaystyle (A\vert \mathbf {I} _{2})=\left[{\begin{array}{cc|cc}1&3&1&0\\-5&0&0&1\end{array}}\right]}$$ $${\displaystyle (I|A^{-1})=\left[{\begin{array}{cc|cc}1&0&0&-{\frac {1}{5}}\\0&1&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{15}}\end{array}}\right],}$$ ${\displaystyle A^{-1}}$

Existencia y número de soluciones

Consideremos el sistema de ecuaciones $${\displaystyle {\begin{aligned}x+y+2z&=2\\x+y+z&=3\\2x+2y+2z&=6.\end{aligned}}}$$

La matriz de coeficientes es y la matriz aumentada es $${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&1&2\\1&1&1\\2&2&2\\\end{bmatrix}},}$$ $${\displaystyle (A|B)=\left[{\begin{array}{ccc|c}1&1&2&2\\1&1&1&3\\2&2&2&6\end{array}}\right].}$$

Como ambos tienen el mismo rango, es decir, 2, existe al menos una solución; y como su rango es menor que el número de incógnitas, que es 3, hay un número infinito de soluciones.

En contraste, consideremos el sistema $${\displaystyle {\begin{aligned}x+y+2z&=3\\x+y+z&=1\\2x+2y+2z&=5.\end{aligned}}}$$

La matriz de coeficientes es y la matriz aumentada es $${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&1&2\\1&1&1\\2&2&2\\\end{bmatrix}},}$$ $${\displaystyle (A|B)=\left[{\begin{array}{ccc|c}1&1&2&3\\1&1&1&1\\2&2&2&5\end{array}}\right].}$$

En este ejemplo, la matriz de coeficientes tiene rango 2 mientras que la matriz aumentada tiene rango 3; por lo tanto, este sistema de ecuaciones no tiene solución. De hecho, un aumento en el número de filas linealmente independientes ha hecho que el sistema de ecuaciones sea inconsistente .

Solución de un sistema lineal

Tal como se utiliza en álgebra lineal, se utiliza una matriz aumentada para representar los coeficientes y el vector solución de cada conjunto de ecuaciones. Para el conjunto de ecuaciones, los coeficientes y los términos constantes dan las matrices y, por lo tanto, la matriz aumentada. $${\displaystyle {\begin{aligned}x+2y+3z&=0\\3x+4y+7z&=2\\6x+5y+9z&=11\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&2&3\\3&4&7\\6&5&9\end{bmatrix}},\quad B={\begin{bmatrix}0\\2\\11\end{bmatrix}},}$$ $${\displaystyle (A|B)=\left[{\begin{array}{ccc|c}1&2&3&0\\3&4&7&2\\6&5&9&11\end{array}}\right].}$$

Nótese que el rango de la matriz de coeficientes, que es 3, es igual al rango de la matriz aumentada, por lo que existe al menos una solución; y dado que este rango es igual al número de incógnitas, hay exactamente una solución.

Para obtener la solución, se pueden realizar operaciones de fila sobre la matriz aumentada para obtener la matriz identidad en el lado izquierdo, obteniendo así que la solución del sistema es ( x , y , z ) = (4, 1, −2) . $${\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|r}1&0&0&4\\0&1&0&1\\0&0&1&-2\\\end{array}}\right],}$$

Referencias

• Marvin Marcus y Henryk Minc, Un estudio de la teoría de matrices y desigualdades matriciales , Dover Publications , 1992, ISBN  0-486-67102-X . Página 31.