Forma escalonada por filas

Posible forma de una matriz

En álgebra lineal , una matriz está en forma escalonada si se puede obtener como resultado de la eliminación gaussiana . Toda matriz se puede poner en forma escalonada aplicando una secuencia de operaciones elementales por filas . El término escalón proviene del francés échelon ("nivel" o peldaño de una escalera), y se refiere al hecho de que las entradas distintas de cero de una matriz en forma escalonada parecen una escalera invertida.

En el caso de matrices cuadradas , una matriz triangular superior con elementos distintos de cero en la diagonal está en forma escalonada por filas, y una matriz en forma escalonada por filas es (débilmente) triangular superior. Por lo tanto, la forma escalonada por filas puede considerarse como una generalización de la forma triangular superior para matrices rectangulares.

Una matriz está en forma escalonada reducida si está en forma escalonada, con la propiedad adicional de que la primera entrada distinta de cero de cada fila es igual a y es la única entrada distinta de cero de su columna. La forma escalonada reducida de una matriz es única y no depende de la secuencia de operaciones elementales de fila utilizadas para obtenerla. La variante de eliminación gaussiana que transforma una matriz a forma escalonada reducida a veces se denomina eliminación de Gauss-Jordan . ${\displaystyle 1}$

Una matriz está en forma escalonada por columnas si su transpuesta está en forma escalonada por filas. Como todas las propiedades de las formas escalonadas por columnas se pueden deducir inmediatamente de las propiedades correspondientes de las formas escalonadas por filas, en el resto del artículo solo se consideran las formas escalonadas por filas.

(General) Forma escalonada por filas

Una matriz está en forma escalonada si

• Todas las filas que tienen sólo cero entradas están en la parte inferior. ^[1]
• La entrada principal (es decir, la entrada distinta de cero más a la izquierda) de cada fila distinta de cero, llamada pivote , está a la derecha de la entrada principal de cada fila superior. ^[2]

Algunos textos añaden la condición de que el coeficiente principal debe ser 1 ^[3] mientras que otros lo requieren sólo en forma de escalón reducido.

Estas dos condiciones implican que todas las entradas en una columna debajo de un coeficiente principal son ceros. ^[4]

El siguiente es un ejemplo de una matriz en forma escalonada, pero no en forma escalonada reducida (ver más abajo): ${\displaystyle 4\times 5}$

${\displaystyle \left[{\begin{array}{ccccc}1&a_{0}&a_{1}&a_{2}&a_{3}\\0&0&2&a_{4}&a_{5}\\0&0&0&1&a_{6}\\0&0&0&0&0\end{array}}\right]}$

Muchas propiedades de las matrices se pueden deducir fácilmente a partir de su forma escalonada, como el rango y el núcleo .

Forma escalonada reducida

Una matriz está en forma escalonada reducida (también llamada forma canónica por filas ) si satisface las siguientes condiciones: ^[5]

• Está en forma de escalón.
• La entrada principal en cada fila distinta de cero es 1 (llamada un uno principal).
• Cada columna que contiene un 1 inicial tiene ceros en todas sus demás entradas.

Si se verifican las dos primeras condiciones, la última condición es equivalente a:

• Cada columna que contiene un 1 inicial tiene ceros en todas las entradas por encima del 1 inicial .

Si bien una matriz puede tener varias formas escalonadas, su forma escalonada reducida es única.

Dada una matriz en forma escalonada reducida, si se permutan las columnas para tener el 1 principal de la i -ésima fila en la i -ésima columna, se obtiene una matriz de la forma

${\displaystyle {\begin{pmatrix}I&X\\0&0\end{pmatrix}},}$

donde I es la matriz identidad de dimensión igual al rango de la matriz completa, X es una matriz con filas y columnas, y los dos 0 son matrices cero de tamaño apropiado. Como una permutación de columnas no es una operación de fila, la matriz resultante es inequivalente bajo operaciones de fila elementales. En el método de eliminación gaussiana, esto corresponde a una permutación de las incógnitas en el sistema lineal original que permite una parametrización lineal del espacio de filas, en la que los primeros coeficientes no están restringidos, y los restantes se determinan como combinaciones lineales de estos. ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle n-j}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle n-j}$

Sistemas de ecuaciones lineales

Se dice que un sistema de ecuaciones lineales está en forma escalonada si su matriz aumentada está en forma escalonada. De manera similar, se dice que un sistema de ecuaciones lineales está en forma escalonada reducida o en forma canónica si su matriz aumentada está en forma escalonada reducida.

La forma canónica puede ser vista como una solución explícita del sistema lineal. De hecho, el sistema es inconsistente si y sólo si una de las ecuaciones de la forma canónica se reduce a 0 = 1; es decir, si hay un 1 inicial en la columna de los términos constantes. ^[6] De lo contrario, al reagrupar en el lado derecho todos los términos de las ecuaciones excepto los principales, se expresan las variables correspondientes a los pivotes como constantes o funciones lineales de las otras variables, si las hay.

Transformación a la forma escalonada por filas

La eliminación gaussiana es el algoritmo principal para transformar cada matriz en una matriz en forma escalonada. Una variante, a veces llamada eliminación de Gauss-Jordan, produce una forma escalonada reducida. Ambas consisten en una secuencia finita de operaciones elementales por filas ; el número de operaciones elementales por filas requeridas es como máximo mn para una matriz de m por n . ^[7] Para una matriz dada, a pesar de que la forma escalonada no es única, todas las formas escalonadas, incluida la forma escalonada reducida, tienen el mismo número de filas cero y los pivotes se encuentran en las mismas posiciones. ^[7]

Este es un ejemplo de una matriz en forma escalonada reducida, que muestra que la parte izquierda de la matriz no siempre es una matriz identidad :

${\displaystyle \left[{\begin{array}{ccccc}1&0&a_{1}&0&b_{1}\\0&1&a_{2}&0&b_{2}\\0&0&0&1&b_{3}\end{array}}\right]}$

Para una matriz con coeficientes enteros , la forma normal de Hermite es una forma escalonada por filas que se puede calcular sin introducir ningún denominador, mediante la división euclidiana o la identidad de Bézout . La forma escalonada reducida de una matriz con elementos enteros generalmente contiene elementos no enteros, debido a la necesidad de dividir por su coeficiente principal cada fila de la forma escalonada.

La no unicidad de la forma escalonada de una matriz se deriva del hecho de que algunas operaciones elementales de fila transforman una matriz en forma escalonada en otra matriz ( equivalente ) que también está en forma escalonada. Estas operaciones elementales de fila incluyen la multiplicación de una fila por un escalar distinto de cero y la adición de un múltiplo escalar de una fila a una de las filas superiores. Por ejemplo:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3&-1\\0&1&7\\\end{bmatrix}}{\xrightarrow {\text{add row 2 to row 1}}}{\begin{bmatrix}1&4&6\\0&1&7\\\end{bmatrix}}.}$

En este ejemplo, la forma escalonada reducida única se puede obtener restando tres veces la segunda fila de la primera fila:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3&-1\\0&1&7\\\end{bmatrix}}\xrightarrow {{\text{subtract 3}}\times {\text{(row 2) from row 1}}} {\begin{bmatrix}1&0&-22\\0&1&7\\\end{bmatrix}}.}$

Espacios afines de formas escalonadas reducidas

En esta sección y la siguiente, denotamos la ubicación de las columnas que contienen las entradas principales de las filas sucesivas de una matriz en forma escalonada reducida (los pivotes) como , con ${\displaystyle k\times n}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (L_{1},\dots ,L_{j})}$

${\displaystyle 0<L_{1}\cdots <L_{j}\leq n,}$

donde es la dimensión del espacio de filas de la matriz. Los datos se denominarán forma de , que tiene entradas distintas de cero a la izquierda , las entradas en la columna superior e inferior se anulan, y lo mismo ocurre con todas las que se encuentran a la izquierda de la misma dentro de la misma fila, así como todas las entradas en la fila para : ${\displaystyle j\leq k}$ ${\displaystyle (k,n,L_{1},\ldots ,L_{j})}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \{A_{i,L_{i}}=1\}_{i=1,\dots ,j}}$ ${\displaystyle L_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle i>j}$

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{i,L_{i}}=1\qquad &{\text{for }}i=1,\dots ,j,\\A_{l,L_{i}}=0\qquad &{\text{for }}l\neq i,\\A_{i,l}=0\qquad &{\text{for }}l<L_{i},\\A_{i,l}=0\qquad &{\text{for }}i>j\end{aligned}}.}$

Dado que todas las demás entradas son elementos arbitrarios del campo base , el conjunto de todas las matrices en forma escalonada reducida con forma es un espacio K -afín de dimensión ^{[8] [9]} ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle A(k,n,L_{1},\ldots ,L_{j})}$ ${\displaystyle (k,n,L_{1},\ldots ,L_{j})}$

${\displaystyle {\text{dim}}(A(k,n,L_{1},\dots ,L_{j}))=nj-{\frac {1}{2}}j(j-1)-\sum _{i=1}^{j}L_{i}.}$

Para ver esto, observe que, de las posibles entradas de la matriz dentro de las primeras filas, se determinan como 's y 's porque están en las columnas que contienen los pivotes. También se requiere que otros sean , porque están a la izquierda de los pivotes, pero de estos, ${\displaystyle nj}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle j^{2}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle (L_{1},\dots ,L_{j})}$ ${\displaystyle \sum _{i=1}^{j}(L_{i}-1)}$ ${\displaystyle 0}$

${\displaystyle \sum _{i=0}^{j-1}i={\frac {1}{2}}j(j-1)}$

también se encuentran en las columnas . Por lo tanto, el número total de entradas que no están fijadas para ser iguales o iguales es ${\displaystyle (L_{1},\dots ,L_{j})}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$

${\displaystyle nj-j^{2}+{\frac {1}{2}}j(j-1)-\sum _{i=1}^{j}L_{i}+j=nj-{\frac {1}{2}}j(j-1)-\sum _{i=1}^{j}L_{i}.}$

Rango máximo: células de Schubert

La forma escalonada por filas se puede utilizar para dar una descripción concreta de las celdas de Schubert asociadas con el Grassmanniano de subespacios -dimensionales de un espacio vectorial . ${\displaystyle k}$

Si , las matrices son de rango máximo , y determinan subespacios -dimensionales del módulo libre , como el intervalo ${\displaystyle j=k\leq n}$ ${\displaystyle A\in A(k,n,L_{1},\dots ,L_{k})}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle w\subset V}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle V:=K^{n}}$

${\displaystyle w={\text{span}}\{W_{1},\dots ,W_{k}\}}$

de combinaciones lineales

${\displaystyle W_{i}:=\sum _{l=1}^{n}A_{il}e_{l},\quad i=1,\dots ,k}$

de los vectores base elementales , con coeficientes iguales a los vectores fila. En este caso, el espacio afín es la celda de Schubert ^{[8] [9]} del Grassmanniano , que consta de subespacios -dimensionales de correspondientes a la partición entera ${\displaystyle (e_{1},\dots ,e_{n})}$ ${\displaystyle A(k,n,L_{1},\dots ,L_{k})}$ ${\displaystyle X_{\lambda }({\mathcal {V}})}$ ${\displaystyle \mathbf {Gr} _{k}(V)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle \lambda =(\lambda _{1}\geq \cdots \geq \lambda _{k}\geq 0)}$

con partes iguales a

${\displaystyle \lambda _{i}:=n-k-L_{i}+i,\quad 1\leq j\leq k,}$

relativo a la bandera completa

${\displaystyle {\mathcal {V}}=(V_{1}\subset V_{2}\cdots \subset V_{n}=V),}$

dónde

${\displaystyle V_{i}={\text{span}}\{e_{1},\dots ,e_{i}\},\quad i=1,\dots n.}$

Esto significa que consta de aquellos subespacios -dimensionales cuyas intersecciones con los subespacios tienen dimensiones ${\displaystyle X_{\lambda }({\mathcal {V}})\subset \mathbf {Gr} _{k}(V)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle w\subset V}$ ${\displaystyle \{V_{j}\}_{j=1,\dots ,n}}$

${\displaystyle {\text{dim}}(w\cap V_{j})=i,\ {\text{for }}n-k-\lambda _{i}+i\leq j\leq n-k-\lambda _{i+1}+i,\quad i=1,\dots ,k.}$

Su dimensión es entonces igual al peso del tabique ^[8] ${\displaystyle |\lambda |=\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}}$

${\displaystyle \dim({X_{\lambda }({\mathcal {V}})})=|\lambda |.}$

Una caracterización equivalente, pero más simple, de la célula de Schubert se puede dar en términos de la bandera completa dual ${\displaystyle X_{\lambda }({\mathcal {V}})}$

${\displaystyle {\tilde {\mathcal {V}}}=({\tilde {V}}_{1}\subset {\tilde {V}}_{2}\cdots \subset {\tilde {V}}_{n}=V),}$

dónde

${\displaystyle {\tilde {V}}_{i}={\text{span}}\{e_{n},\dots ,e_{n-i+1}\},\quad i=1,\dots n.}$

Entonces consta de aquellos subespacios -dimensionales que tienen una base formada por elementos ${\displaystyle X_{\lambda }({\mathcal {V}})\subset \mathbf {Gr} _{k}(V)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle w\subset V}$ ${\displaystyle ({\tilde {W}}_{1},\dots ,{\tilde {W}}_{k})}$

${\displaystyle {\tilde {W}}_{i}\in {\tilde {V}}_{n-L_{i}+1}={\tilde {V}}_{k+\lambda _{i}-i+1},\quad i=1,\dots ,k}$

de los subespacios que, en relación con la base estándar, son los vectores fila de la forma escalonada, escritos en orden inverso. ${\displaystyle \{{\tilde {V}}_{k+\lambda _{i}-i+1}\}_{i=1,\dots ,k}}$ ${\displaystyle (W_{k},\dots ,W_{1})}$

Notas

1. Expresado en términos de cada fila cero individual en Leon (2010, p. 13): "Se dice que una matriz está en forma escalonada ... (iii) Si hay filas cuyas entradas son todas cero, están debajo de las filas que tienen entradas distintas de cero".
2. León (2010, p. 13): "Se dice que una matriz está en forma escalonada por filas ... (ii) Si la fila k no consiste enteramente de ceros, el número de entradas de ceros iniciales en la fila es mayor que el número de entradas de ceros iniciales en la fila k ". ${\displaystyle k+1}$
3. Véase, por ejemplo, la primera cláusula de la definición de forma escalonada en Leon (2010, p. 13): "Se dice que una matriz está en forma escalonada (i) si la primera entrada distinta de cero en cada fila distinta de cero es 1".
4. Meyer 2000, pág. 44
5. Meyer 2000, pág. 48
6. Cheney, Ward; Kincaid, David R. (29 de diciembre de 2010). Álgebra lineal: teoría y aplicaciones. Jones & Bartlett Publishers. págs. 47–50. ISBN 9781449613525.
7. Anton, Howard; Rorres, Chris (23 de octubre de 2013). Álgebra lineal elemental: versión de aplicaciones, 11.ª edición. Wiley Global Education. pág. 21. ISBN 9781118879160.
8. Fulton, William (1997). Young Tableaux. Con aplicaciones a la teoría de la representación y la geometría, cap. 9.4 . Textos para estudiantes de la London Mathematical Society. Vol. 35. Cambridge, Reino Unido: Cambridge University Press. doi :10.1017/CBO9780511626241. ISBN 9780521567244.
9. Kleiman, SL; Laksov, Dan (1972). "Cálculo de Schubert". American Mathematical Monthly . 79 (10). Sociedad Matemática Americana: 1061–1082. doi :10.1080/00029890.1972.11993188. ISSN  0377-9017.

Referencias

• Leon, Steven J. (2010), Lynch, Deirdre; Hoffman, William; Celano, Caroline (eds.), Álgebra lineal con aplicaciones (8.ª ed.), Pearson, ISBN 978-0-13-600929-0Se dice que una matriz está en forma escalonada (i) si la primera entrada distinta de cero en cada fila distinta de cero es 1. (ii) si la fila k no consta enteramente de ceros, el número de entradas cero iniciales en la fila es mayor que el número de entradas cero iniciales en la fila k . (iii) si hay filas cuyas entradas son todas cero, están debajo de las filas que tienen entradas distintas de cero. ${\displaystyle k+1}$.
• Meyer, Carl D. (2000), Análisis matricial y álgebra lineal aplicada, SIAM , ISBN 978-0-89871-454-8.

Enlaces externos

• Formulario interactivo de escalón por filas con salida racional