equivalencia de filas

Equivalencia de matrices bajo operaciones de fila

En álgebra lineal , dos matrices son equivalentes por filas si una se puede cambiar por la otra mediante una secuencia de operaciones elementales por filas . Alternativamente, dos matrices m  ×  n son equivalentes por filas si y solo si tienen el mismo espacio de filas . El concepto se aplica más comúnmente a matrices que representan sistemas de ecuaciones lineales , en cuyo caso dos matrices del mismo tamaño son equivalentes por filas si y sólo si los sistemas homogéneos correspondientes tienen el mismo conjunto de soluciones, o de manera equivalente, las matrices tienen el mismo valor nulo. espacio .

Debido a que las operaciones elementales de renglones son reversibles, la equivalencia de renglones es una relación de equivalencia . Comúnmente se indica con una tilde (~). ^[1]

Existe una noción similar de equivalencia de columnas , definida por operaciones elementales de columnas; dos matrices son equivalentes en columnas si y solo si sus matrices transpuestas son equivalentes en filas. Dos matrices rectangulares que se pueden convertir entre sí permitiendo operaciones elementales de fila y columna se denominan simplemente equivalentes .

Operaciones de fila elemental

Una operación de fila elemental es cualquiera de los siguientes movimientos:

1. Intercambiar: intercambia dos filas de una matriz.
2. Escala: multiplica una fila de una matriz por una constante distinta de cero.
3. Pivote: suma un múltiplo de una fila de una matriz a otra fila.

Dos matrices A y B son equivalentes por filas si es posible transformar A en B mediante una secuencia de operaciones elementales por filas.

Espacio de fila

El espacio renglón de una matriz es el conjunto de todas las combinaciones lineales posibles de sus vectores renglón. Si las filas de la matriz representan un sistema de ecuaciones lineales , entonces el espacio de filas consta de todas las ecuaciones lineales que pueden deducirse algebraicamente a partir de las del sistema. Dos matrices de m  ×  n son equivalentes por filas si y sólo si tienen el mismo espacio de filas.

Por ejemplo, las matrices

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&1\end{pmatrix}}\;\;\;\;{\text{and}}\;\;\;\;{\begin{pmatrix}1&0&0\\1&1&1\end{pmatrix}}}$

son equivalentes por filas, siendo el espacio de filas todos los vectores de la forma . Los correspondientes sistemas de ecuaciones homogéneas transmiten la misma información: ${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b&b\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle {\begin{matrix}x=0\\y+z=0\end{matrix}}\;\;\;\;{\text{and}}\;\;\;\;{\begin{matrix}x=0\\x+y+z=0.\end{matrix}}}$

En particular, ambos sistemas implican todas las ecuaciones de la forma ${\displaystyle ax+by+bz=0.\,}$

Equivalencia de las definiciones

El hecho de que dos matrices sean equivalentes por filas si y sólo si tienen el mismo espacio entre filas es un teorema importante en álgebra lineal. La prueba se basa en las siguientes observaciones:

1. Las operaciones de filas elementales no afectan el espacio de filas de una matriz. En particular, cualesquiera matrices equivalentes de dos filas tienen el mismo espacio de filas.
2. Cualquier matriz se puede reducir mediante operaciones elementales por filas a una matriz en forma escalonada reducida por filas .
3. Dos matrices en forma escalonada reducida tienen el mismo espacio entre filas si y sólo si son iguales.

Esta línea de razonamiento también demuestra que cada matriz es equivalente por filas a una matriz única con forma escalonada reducida por filas.

Propiedades adicionales

• Debido a que el espacio nulo de una matriz es el complemento ortogonal del espacio de filas , dos matrices son equivalentes por filas si y sólo si tienen el mismo espacio nulo.
• El rango de una matriz es igual a la dimensión del espacio de filas, por lo que las matrices equivalentes de filas deben tener el mismo rango. Esto es igual al número de pivotes en la forma escalonada de filas reducidas.
• Una matriz es invertible si y sólo si es equivalente por filas a la matriz identidad .
• Las matrices A y B son equivalentes por filas si y sólo si existe una matriz invertible P tal que A=PB . ^[2]

Ver también

• Operaciones de fila elemental
• Espacio de fila
• Base (álgebra lineal)
• Reducción de filas
• Forma escalonada de hileras (reducida)

Referencias

1. Lay 2005, pag. 21, Ejemplo 4
2. Romano 2008, pag. 9, Ejemplo 0.3

• Axler, Sheldon Jay (1997), Álgebra lineal bien hecha (2ª ed.), Springer-Verlag, ISBN 0-387-98259-0
• Lay, David C. (22 de agosto de 2005), Álgebra lineal y sus aplicaciones (3.ª ed.), Addison Wesley, ISBN 978-0-321-28713-7
• Meyer, Carl D. (15 de febrero de 2001), Análisis matricial y álgebra lineal aplicada, Sociedad de Matemática Industrial y Aplicada (SIAM), ISBN 978-0-89871-454-8, archivado desde el original el 1 de marzo de 2001.
• Poole, David (2006), Álgebra lineal: una introducción moderna (2ª ed.), Brooks/Cole, ISBN 0-534-99845-3
• Anton, Howard (2005), Álgebra lineal elemental (versión de aplicaciones) (9ª ed.), Wiley International
• Leon, Steven J. (2006), Álgebra lineal con aplicaciones (7ª ed.), Pearson Prentice Hall
• Romano, Steven (2008). Álgebra lineal avanzada . Textos de Posgrado en Matemáticas . vol. 135 (3ª ed.). Springer Ciencia+Business Media, LLC. ISBN 978-0-387-72828-5.

enlaces externos