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Matriz elemental

En matemáticas , una matriz elemental es una matriz cuadrada obtenida de la aplicación de una única operación elemental por filas a la matriz identidad . Las matrices elementales generan el grupo lineal general GL n ( F ) cuando F es un cuerpo . La multiplicación por la izquierda (premultiplicación) por una matriz elemental representa operaciones elementales por filas , mientras que la multiplicación por la derecha (postmultiplicación) representa operaciones elementales por columnas .

Las operaciones elementales por filas se utilizan en la eliminación gaussiana para reducir una matriz a la forma escalonada por filas . También se utilizan en la eliminación de Gauss-Jordan para reducir aún más la matriz a la forma escalonada por filas reducida .

Operaciones elementales por filas

Hay tres tipos de matrices elementales, que corresponden a tres tipos de operaciones de fila (respectivamente, operaciones de columna):

Cambio de fila
Una fila dentro de la matriz se puede cambiar por otra fila.
Multiplicación por filas
Cada elemento de una fila se puede multiplicar por una constante distinta de cero. Esto también se conoce como escalar una fila.
Adición de filas
Una fila se puede reemplazar por la suma de esa fila y un múltiplo de otra fila.

Si E es una matriz elemental, como se describe a continuación, para aplicar la operación elemental de fila a una matriz A , se multiplica A por la matriz elemental de la izquierda, EA . La matriz elemental para cualquier operación de fila se obtiene ejecutando la operación sobre la matriz identidad . Este hecho puede entenderse como una instancia del lema de Yoneda aplicado a la categoría de matrices. [1]

Transformaciones de cambio de fila

El primer tipo de operación de filas en una matriz A intercambia todos los elementos de la matriz en la fila i con sus contrapartes en una fila diferente j . La matriz elemental correspondiente se obtiene intercambiando la fila i y la fila j de la matriz identidad .

Entonces T i,j A es la matriz producida al intercambiar la fila i y la fila j de A.

Coeficientemente, la matriz T i,j se define por:

Propiedades

Transformaciones de multiplicación por filas

El siguiente tipo de operación de fila en una matriz A multiplica todos los elementos de la fila i por m , donde m es un escalar distinto de cero (normalmente un número real). La matriz elemental correspondiente es una matriz diagonal, con entradas diagonales 1 en todas partes excepto en la posición i , donde es m .

Entonces D i ( m ) A es la matriz producida a partir de A al multiplicar la fila i por m .

En términos de coeficientes, la matriz D i ( m ) se define como:

Propiedades

Transformaciones de adición de filas

El último tipo de operación de filas en una matriz A suma la fila j multiplicada por un escalar m a la fila i . La matriz elemental correspondiente es la matriz identidad pero con una m en la posición ( i, j ) .

Entonces, L ij ( m ) A es la matriz producida a partir de A sumando m veces la fila j a la fila i . Y AL ij ( m ) es la matriz producida a partir de A sumando m veces la columna i a la columna j .

Coeficientemente, la matriz L i,j ( m ) está definida por:

Propiedades

Véase también

Referencias

  1. ^ Perrone (2024), págs. 119-120