Matriz elemental

Matriz que se diferencia de la matriz identidad en una operación de fila elemental

En matemáticas , una matriz elemental es una matriz que se diferencia de la matriz identidad por una única operación de fila elemental. Las matrices elementales generan el grupo lineal general GL _n ( F ) cuando F es un campo . La multiplicación por la izquierda (premultiplicación) por una matriz elemental representa operaciones de fila elementales , mientras que la multiplicación por la derecha (postmultiplicación) representa operaciones de columna elementales .

Las operaciones elementales de filas se utilizan en la eliminación gaussiana para reducir una matriz a forma escalonada de filas . También se utilizan en la eliminación de Gauss-Jordan para reducir aún más la matriz a una forma escalonada de filas reducida .

Operaciones de fila elemental

Hay tres tipos de matrices elementales, que corresponden a tres tipos de operaciones con filas (respectivamente, operaciones con columnas):

Cambio de fila

Una fila dentro de la matriz se puede cambiar por otra fila.

${\displaystyle R_{i}\leftrightarrow R_{j}}$

Multiplicación de filas

Cada elemento de una fila se puede multiplicar por una constante distinta de cero. También se le conoce como escalar una fila.

${\displaystyle kR_{i}\rightarrow R_{i},\ {\mbox{where }}k\neq 0}$

Adición de filas

Una fila se puede reemplazar por la suma de esa fila y un múltiplo de otra fila.

${\displaystyle R_{i}+kR_{j}\rightarrow R_{i},{\mbox{where }}i\neq j}$

Si E es una matriz elemental, como se describe a continuación, para aplicar la operación de fila elemental a una matriz A , se multiplica A por la matriz elemental de la izquierda, EA . La matriz elemental para cualquier operación de fila se obtiene ejecutando la operación sobre la matriz identidad . Este hecho puede entenderse como un ejemplo del lema de Yoneda aplicado a la categoría de matrices.

Transformaciones de cambio de fila

El primer tipo de operación de fila en una matriz A cambia todos los elementos de la matriz en la fila i con sus contrapartes en una fila diferente j . La matriz elemental correspondiente se obtiene intercambiando la fila i y la fila j de la matriz identidad .

${\displaystyle T_{i,j}={\begin{bmatrix}1&&&&&&\\&\ddots &&&&&\\&&0&&1&&\\&&&\ddots &&&\\&&1&&0&&\\&&&&&\ddots &\\&&&&&&1\end{bmatrix}}}$

Entonces T _i,j A es la matriz producida al intercambiar la fila i y la fila j de A.

En cuanto a los coeficientes, la matriz Ti _,j está definida por:

${\displaystyle [T_{i,j}]_{k,l}={\begin{cases}0&k\neq i,k\neq j,k\neq l\\1&k\neq i,k\neq j,k=l\\0&k=i,l\neq j\\1&k=i,l=j\\0&k=j,l\neq i\\1&k=j,l=i\\\end{cases}}}$

Propiedades

• La inversa de esta matriz es ella misma: ${\displaystyle T_{i,j}^{-1}=T_{i,j}.}$
• Dado que el determinante de la matriz identidad es la unidad, se deduce que para cualquier matriz cuadrada A (del tamaño correcto), tenemos ${\displaystyle \det(T_{i,j})=-1.}$ ${\displaystyle \det(T_{i,j}A)=-\det(A).}$
• Por consideraciones teóricas, la transformación de cambio de filas se puede obtener a partir de las transformaciones de suma y multiplicación de filas que se presentan a continuación porque ${\displaystyle T_{i,j}=D_{i}(-1)\,L_{i,j}(-1)\,L_{j,i}(1)\,L_{i,j}(-1).}$

Transformaciones de multiplicación de filas

El siguiente tipo de operación de fila en una matriz A multiplica todos los elementos de la fila i por m , donde m es un escalar distinto de cero (generalmente un número real). La matriz elemental correspondiente es una matriz diagonal, con entradas diagonales 1 en todas partes excepto en la i -ésima posición, donde es m .

${\displaystyle D_{i}(m)={\begin{bmatrix}1&&&&&&\\&\ddots &&&&&\\&&1&&&&\\&&&m&&&\\&&&&1&&\\&&&&&\ddots &\\&&&&&&1\end{bmatrix}}}$

Entonces D _i ( m ) A es la matriz producida a partir de A multiplicando la fila i por m .

En cuanto a los coeficientes, la matriz Di ₍ m ) está definida por:

${\displaystyle [D_{i}(m)]_{k,l}={\begin{cases}0&k\neq l\\1&k=l,k\neq i\\m&k=l,k=i\end{cases}}}$

Propiedades

• La inversa de esta matriz está dada por ${\displaystyle D_{i}(m)^{-1}=D_{i}\left({\tfrac {1}{m}}\right).}$
• La matriz y su inversa son matrices diagonales .
• ${\displaystyle \det(D_{i}(m))=m.}$Por lo tanto, para una matriz cuadrada A (del tamaño correcto), tenemos ${\displaystyle \det(D_{i}(m)A)=m\det(A).}$

Transformaciones de suma de filas

El último tipo de operación de fila en una matriz A suma la fila j multiplicada por un escalar m a la fila i . La matriz elemental correspondiente es la matriz identidad pero con una m en la posición ( i, j ) .

${\displaystyle L_{ij}(m)={\begin{bmatrix}1&&&&&&\\&\ddots &&&&&\\&&1&&&&\\&&&\ddots &&&\\&&m&&1&&\\&&&&&\ddots &\\&&&&&&1\end{bmatrix}}}$

Entonces Lij ( m ) A es la matriz producida a partir de A sumando m por _la fila j a la fila i . Y AL _ij ( m ) es la matriz producida a partir de A sumando m multiplicado por la columna i a la columna j .

En cuanto a los coeficientes, la matriz L _i,j ( m ) está definida por:

${\displaystyle [L_{i,j}(m)]_{k,l}={\begin{cases}0&k\neq l,k\neq i,l\neq j\\1&k=l\\m&k=i,l=j\end{cases}}}$

Propiedades

• Estas transformaciones son una especie de mapeo de corte , también conocido como transvecciones .
• La inversa de esta matriz está dada por ${\displaystyle L_{ij}(m)^{-1}=L_{ij}(-m).}$
• La matriz y su inversa son matrices triangulares .
• ${\displaystyle \det(L_{ij}(m))=1.}$Por lo tanto, para una matriz cuadrada A (del tamaño correcto) tenemos ${\displaystyle \det(L_{ij}(m)A)=\det(A).}$
• Las transformadas por suma de filas satisfacen las relaciones de Steinberg .

Ver también

• eliminación gaussiana
• Álgebra lineal
• Sistema de ecuaciones lineales.
• Matriz (matemáticas)
• Descomposición LU
• matriz de frobenius

Referencias

• Axler, Sheldon Jay (1997), Álgebra lineal bien hecha (2ª ed.), Springer-Verlag, ISBN 0-387-98259-0
• Lay, David C. (22 de agosto de 2005), Álgebra lineal y sus aplicaciones (3.ª ed.), Addison Wesley, ISBN 978-0-321-28713-7
• Meyer, Carl D. (15 de febrero de 2001), Análisis matricial y álgebra lineal aplicada, Sociedad de Matemática Industrial y Aplicada (SIAM), ISBN 978-0-89871-454-8, archivado desde el original el 31 de octubre de 2009.
• Poole, David (2006), Álgebra lineal: una introducción moderna (2ª ed.), Brooks/Cole, ISBN 0-534-99845-3
• Anton, Howard (2005), Álgebra lineal elemental (versión de aplicaciones) (9ª ed.), Wiley International
• Leon, Steven J. (2006), Álgebra lineal con aplicaciones (7ª ed.), Pearson Prentice Hall
• Strang, Gilbert (2016), Introducción al álgebra lineal (5.a ed.), Wellesley-Cambridge Press, ISBN 978-09802327-7-6