conteo de restricciones

En matemáticas , el recuento de restricciones consiste en contar el número de restricciones para compararlo con el número de variables , parámetros , etc. que pueden determinarse libremente, la idea es que en la mayoría de los casos el número de elecciones independientes que se pueden hacer es el exceso de este último sobre el primero.

Por ejemplo, en álgebra lineal , si el número de restricciones (ecuaciones independientes) en un sistema de ecuaciones lineales es igual al número de incógnitas, entonces existe precisamente una solución; si hay menos ecuaciones independientes que incógnitas, existe un número infinito de soluciones; y si el número de ecuaciones independientes excede el número de incógnitas, entonces no existen soluciones.

En el contexto de las ecuaciones diferenciales parciales , el recuento de restricciones es una forma sencilla pero a menudo útil de contar el número de funciones libres necesarias para especificar una solución a una ecuación diferencial parcial .

Ecuaciones diferenciales parciales

Considere una ecuación diferencial parcial de segundo orden en tres variables, como la ecuación de onda bidimensional

${\displaystyle u_{tt}=u_{xx}+u_{yy}.}$

A menudo es rentable pensar en una ecuación de este tipo como una regla de reescritura que nos permite reescribir derivadas parciales arbitrarias de la función utilizando menos parciales de los que serían necesarios para una función arbitraria. Por ejemplo, si satisface la ecuación de onda, podemos reescribir ${\displaystyle u(t,x,y)}$ ${\displaystyle u}$

${\displaystyle u_{tyt}=u_{tty}=u_{xxy}+u_{yyy}}$

donde en la primera igualdad apelamos al hecho de que las derivadas parciales conmutan .

Ecuaciones lineales

Para responder a esto en el importante caso especial de una ecuación diferencial parcial lineal , Einstein preguntó: ¿cuántas de las derivadas parciales de una solución pueden ser linealmente independientes ? Es conveniente registrar su respuesta utilizando una función generadora ordinaria.

${\displaystyle s(\xi )=\sum _{k=0}^{\infty }s_{k}\xi ^{k}}$

donde es un número natural que cuenta el número de derivadas parciales linealmente independientes (de orden k) de una función arbitraria en el espacio de solución de la ecuación en cuestión. ${\displaystyle s_{k}}$

Siempre que una función satisface alguna ecuación diferencial parcial, podemos usar la regla de reescritura correspondiente para eliminar algunas de ellas, porque más parciales mixtos necesariamente se han vuelto linealmente dependientes . Específicamente, la serie de potencias que cuenta la variedad de funciones arbitrarias de tres variables (sin restricciones) es

${\displaystyle f(\xi )={\frac {1}{(1-\xi )^{3}}}=1+3\xi +6\xi ^{2}+10\xi ^{3}+\dots }$

pero la serie de potencias que cuenta aquellos en el espacio de solución de algún pde de segundo orden es

${\displaystyle g(\xi )={\frac {1-\xi ^{2}}{(1-\xi )^{3}}}=1+2\xi +5\xi ^{2}+7\xi ^{3}+\dots }$

que registra que podemos eliminar un parcial de segundo orden , tres parciales de tercer orden , etc. ${\displaystyle u_{tt}}$ ${\displaystyle u_{ttt},\,u_{ttx},\,u_{tty}}$

De manera más general, el ogf para una función arbitraria de n variables es

${\displaystyle s[n](\xi )=1/(1-\xi )^{n}=1+n\,\xi +\left({\begin{matrix}n\\2\end{matrix}}\right)\,\xi ^{2}+\left({\begin{matrix}n+1\\3\end{matrix}}\right)\,\xi ^{3}+\dots }$

donde los coeficientes de la serie de potencias infinitas de la función generadora se construyen utilizando una secuencia infinita apropiada de coeficientes binomiales , y la serie de potencias para una función requerida para satisfacer una ecuación lineal de orden m es

${\displaystyle g(\xi )={\frac {1-\xi ^{m}}{(1-\xi )^{n}}}}$

Próximo,

${\displaystyle {\frac {1-\xi ^{2}}{(1-\xi )^{3}}}={\frac {1+\xi }{(1-\xi )^{2}}}}$

que se puede interpretar para predecir que una solución a una pde lineal de segundo orden en tres variables es expresable mediante dos funciones de dos variables elegidas libremente , una de las cuales se usa inmediatamente y la segunda, solo después de tomar una primera derivada , para expresar la solución.

Solución general del problema de valor inicial.

Para verificar esta predicción, recuerde la solución del problema del valor inicial.

${\displaystyle u_{tt}=u_{xx}+u_{yy},\;u(0,x,y)=p(x,y),\;u_{t}(0,x,y)=q(x,y)}$

Aplicando la transformada de Laplace se obtiene ${\displaystyle u(t,x,y)\mapsto [Lu](\omega ,x,y)}$

${\displaystyle -\omega ^{2}\,[Lu]+\omega \,p(x,y)+q(x,y)+[Lu]_{x}+[Lu]_{y}}$

La aplicación de la transformada de Fourier a las dos variables espaciales da ${\displaystyle [Lu](\omega ,x,y)\mapsto [FLU](\omega ,m,n)}$

${\displaystyle -\omega ^{2}\,[FLu]+\omega \,[Fp]+[Fq]-(m^{2}+n^{2})\,[FLu]}$

o

${\displaystyle [FLu](\omega ,m,n)={\frac {\omega \,[Fp](m,n)+[Fq](m,n)}{\omega ^{2}+m^{2}+n^{2}}}}$

Aplicando la transformada inversa de Laplace se obtiene

${\displaystyle [Fu](t,m,n)=[Fp](m,n)\,\cos({\sqrt {m^{2}+n^{2}}}\,t)+{\frac {[Fq](m,n)\,\sin({\sqrt {m^{2}+n^{2}}}\,t)}{\sqrt {m^{2}+n^{2}}}}}$

Aplicando la transformada inversa de Fourier se obtiene

${\displaystyle u(t,x,y)=Q(t,x,y)+P_{t}(t,x,y)}$

dónde

${\displaystyle P(t,x,y)={\frac {1}{2\pi }}\,\int _{(x-x')^{2}+(y-y')^{2}<t^{2}}{\frac {p(x',y')\,dx'dy'}{\left[t^{2}-(x-x')^{2}-(y-y')^{2}\right]^{1/2}}}}$

${\displaystyle Q(t,x,y)={\frac {1}{2\pi }}\,\int _{(x-x')^{2}+(y-y')^{2}<t^{2}}{\frac {q(x',y')\,dx'dy'}{\left[t^{2}-(x-x')^{2}-(y-y')^{2}\right]^{1/2}}}}$

Aquí, p,q son funciones arbitrarias (suficientemente suaves) de dos variables, por lo que (debido a su modesta dependencia del tiempo) las integrales P,Q también cuentan como funciones "libremente elegidas" de dos variables; como se prometió, uno de ellos se diferencia una vez antes de sumar al otro para expresar la solución general del problema del valor inicial para la ecuación de onda bidimensional.

Ecuaciones cuasilineales

En el caso de una ecuación no lineal, rara vez será posible obtener la solución general en forma cerrada. Sin embargo, si la ecuación es cuasilineal (lineal en las derivadas de orden más alto), entonces aún podemos obtener información aproximada similar a la anterior: especificar un miembro del espacio de solución serán "objeciones de módulo no lineales" equivalentes a especificar un cierto número de funciones. en un menor número de variables. El número de estas funciones es la fuerza de Einstein del pde. En el ejemplo simple anterior, la fuerza es dos, aunque en este caso pudimos obtener información más precisa.

Referencias

• Siklos, STC (1996). "Contar soluciones de la ecuación de Einstein". Clase. Gravedad cuántica . 13 (7): 1931-1948. Código bibliográfico : 1996CQGra..13.1931S. doi :10.1088/0264-9381/13/7/021. S2CID  250815723. Aplicación del conteo de restricciones a la geometría de Riemann y a la relatividad general.